例說幾何定值的證明方法

何昌萍

幾何定值問題，一般覺得束手無策，其原因在于題中沒有明確給出這個定值是什么，且此類題目在教材中安排分散，就題論題，沒有給出一般的證明策略。

如何發現“定值”是什么，是解決這類問題的關鍵。尋找定值的方法，一般是把圖形中的點或線段運動到特殊的位置進行分析，或將問題轉化到特殊的幾何圖形中，以發現“定值”，然后給出一般的證明。

一、從動點的臨界位置發現定值。

例1 已知四邊形ABCD中，∠B=∠D=90?，M為AC上任意一點，且MP⊥BC，MQ⊥AD，求證： 為定值。

分析：因M是AC上的動點，若M運動到AC的邊界位置A（或C）點，則有PM=AB，MQ=0

∴ 故可預測

例2 半徑分別為R和r的兩個圓⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，求證：S1-S2為定值。

分析：當⊙O1與⊙O2的交點A、B重合時，即兩圓外切，這時S1=S⊙O1，S2=S⊙O2此時定值為兩圓面積之差，故可預測。S1-S2=π（R2-r2）

證明：S1=S⊙O1-S，S2=S⊙O2-S

∴S1-S2 =S⊙O1-S-（S⊙O2-S）

=S⊙O1-S⊙O2

=π（R2-r2）

二、從圖形的特殊形狀求定值。

例3 已知OA、OB是⊙O的半徑，AD⊥OB于D，DC⊥AB于C。求證：OC2+CD2為定值。

分析：當△AOB為正三角形時，AD為OB上的中線，設OA=R，則有OD=DB= ，BC= ，

由于CD2=BD2-BC2= ，

OC2=BO2+BC2-2BO·BC·= ，

因此可以預測OC2 +DC2=R2

證明：如圖由射影定理可得

DC2=AC·CB

作OE⊥AB于E，則有

DC2=（AB+EC）（AB-EC）

=AB2-EC2

OC2=OE2+EC2

OC2 +DC2=OE2+EC2+AB2-EC2

=OE2+AB2

=OE2+AE2

=R2

例4 已知⊙O的內接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD于E，求證：AD2 +BC2=AB2+CD2=定值。

分析：若E點與圓心重合，則四邊形ABCD為正方形，設⊙O的半徑為R，則有AB=BC=CD=DA=R，因此可預測AD2 +BC2=AB2+CD2=4R2

證明：連結OA、OB、OC、OD，設∠AOB=α

由AC⊥BD可得 +?180?，則∠COD=180 ?-α

AB2=AO2+BO2-2AO·BO=2R2-2R2

CD2=CO2+DO2-2CO·DO=2R2-2R2

∴ AB2+CD2=4R2

同理可得AD2+BC2=4R2

因此AB2+CD2=AD2+BC2=4R2（定值）

證圖形中角的三角函數值為定值，常構建直角三角形，將角的三角函數轉化成兩條線段的比，進而利用平面幾何的有關定理，使問題得到解決。

例5 兩個同心圓的半徑之比為1：2，大圓的直徑AD順次交小圓于B、C，P為小圓上任一點，設∠APB=α，∠CPD=β，求證：·為定值。

證明：過點B作BE⊥PB交AP于E，過點C作CF⊥PC交PD于F

∵∠BPC=90 ?

∴

BE∥PC

CF∥PB

在Rt△BPE與Rt△CFP中， ，

∴ tgα·tgβ= = =

例6 已知B、C把線段AD三等分，以BD為直徑作半圓，過點A作半圓的割線APQ，求證：tg ∠ACP·tg ∠ACQ為定值。

證明：連結DQ、DP、BP、BQ，在Rt△BDP與Rt△BDQ中，

tg ∠ACP=tg∠ADP=

tg ∠ACQ=tg∠ADQ=

又△ABP∽△AQD ?

△ABQ∽△APD?

∴tg ∠ACP·tg ∠ACQ=