韋達(dá)定理的風(fēng)采

劉蘭芝

中學(xué)學(xué)習(xí)的韋達(dá)定理，在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直都起著很重要的作用，它在中學(xué)階段的學(xué)習(xí)和考題中都是重點(diǎn)內(nèi)容，因此，對(duì)此定理要給以重視，要學(xué)好用好。下面看看韋達(dá)定理與其它知識(shí)的合作風(fēng)采。

一、韋達(dá)定理與中點(diǎn)坐標(biāo)公式聯(lián)袂合作

例1.（2008·陜西卷）拋物線 ，直線 交C于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M做x軸的垂線交C于點(diǎn)N。

（Ⅰ）證明：拋物線C在N處的切線與AB平行；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k使 ，若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

[解析]（Ⅰ）設(shè)A（x1，2x12）， B（x2，2x22） ，

因?yàn)?， ，把 代入 得 ，即拋物線C在N處的切線的斜率為k，亦即拋物線C在N處的切線與AB平行。（第（Ⅱ）問(wèn)在例3中解答）

[評(píng)析]在解題過(guò)程中，若涉及到直線與圓錐曲線，線段的中點(diǎn)時(shí)，一般就用韋達(dá)定理和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)求解。

例2.（2005·湖北卷）設(shè)A、B是橢圓 上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，AB的垂直平分線與橢圓交于C、D。

（Ⅰ）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；（Ⅱ）題目略。

[解析]設(shè)直線AB的方程為 ，

A（x1，y1）， B（x2，y2） ，

得 ，故

由中點(diǎn)公式得 代入 ，得λ>12。

所以，λ的取值范圍是λ>12，直線AB的方程為 。

[評(píng)析] 一般地，解含常數(shù)的一元二次方程時(shí)，常設(shè)出方程的兩根，通過(guò)整體代換得到需要的答案，而其兩根不需要求出，即設(shè)而不求。

二、韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式親密聯(lián)合

例3 .（2008·陜西卷）拋物線 ，直線 交C于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M做x軸的垂線交C于點(diǎn)N。

（Ⅰ）證明拋物線C在N處的切線與AB平行；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使 ，若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （此題為例1）

[解析]（Ⅱ）設(shè)A（x1，2x12）， B（x2，2x22） ，由（Ⅰ）得 ，

[評(píng)析]在與圓錐曲線題目里，遇到線段時(shí)，常用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式聯(lián)合解決問(wèn)題。

三、韋達(dá)定理與垂直向量的交匯

例4.（2008·遼寧卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0， 、（0， 的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線 與C交于A、B兩點(diǎn)。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若 ，求k的值。

[解析]（Ⅰ）設(shè)P （x，y）， A（x1，y1）， B（x2，y2） ，

[評(píng)析]若兩向量垂直，則 ，明顯需要用到韋達(dá)定理求解。

四、韋達(dá)定理與數(shù)列的協(xié)調(diào)對(duì)接

例5.（2008·全國(guó)I卷）雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別是 ，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于 的直線分別交 于A、B點(diǎn)。已知 ， ， 成等差數(shù)列，且 與 同向。

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設(shè)AB被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程。

[解析]（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程為 ，右焦點(diǎn)

[評(píng)析]該題目里給出了直線與圓錐曲線相交所成線段的等量關(guān)系，需按題意列出等式，代入韋達(dá)定理對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，解出參數(shù)的值，則可得到題目所要的答案。

韋達(dá)定理在解析幾何的解題中應(yīng)用比較廣泛，其算理簡(jiǎn)單，算法單一，只需在化簡(jiǎn)計(jì)算時(shí)仔細(xì)認(rèn)真點(diǎn)，則可輕松拿到解析幾何的高分。