對圓周率概念的一點質疑

侯方宏

前段時間看到小學五年級的一道判斷題：除法中除不盡的，商一定是循環小數。在與同事討論的過程中，出現了兩種意見。一種是這個說法錯誤，主要依據就是：π是無限不循環小數，而它是圓的周長與直徑的比值。另一種就是這個說法是正確的，依據是：整數和分數統稱為有理數，無限不循環小數是無理數。既然分數（除法）是有理數，就肯定不會是無限不循環小數，除不盡的話商一定就是循環小數。

細細想來，這兩種說法感覺各有各的道理道理。

首先，根據有理數和無理數的概念，有理數和無理數是相對的，也就是說一個數要么是有理數，要么是無理數，絕對不可能既是有理數，同時又是無理數。既然分數屬于有理數，而除法都可以用分數表示，那么說明除法的計算結果（不管除盡除不盡）也是屬于有理數，而不會是無理數，也就是說除法的計算結果如果除不盡的話就應該是循環小數，而不應該是無限不循環小數。因為除不盡的商，如果有無限不循環小數，就說明有的分數會是無理數了，顯然與有理數和無理數的概念相矛盾。這樣來說認為這道判斷題說法正確是有道理的。

其次，長久以來，我們在關于圓周長的計算當中，都是：周長=直徑×π，直徑=周長÷π，由此可以推算出：π=周長÷直徑。并且圓周率的概念明確說：圓周率是圓的周長和直徑的比值，同時圓周率又是一個無限不循環小數。那么這樣看來認為這道判斷題是錯誤的說法，也是正確的。

可是同一個問題，出現了兩種完全相反的說法，并且各有各的道理，這就值得我們深思了。

針對這兩種完全相反的判斷以及各自的依據，我進行了很長時間的思考。

在經過長時間的思考后，我發現了一些問題，首先，圓周率是圓的周長和直徑的比值這個說法，我們說了很久，在有關圓的計算當中也運用了很久，可是卻從來不知道它到底是哪一個具體的比算出來的。為了解決自己心中的疑惑，我在網上查閱了很久。其中，所有利用圓周長和直徑的比來計算圓周率的說法里面，最著名、最典型的說法，就是公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之得出精確到小數點后7位的結果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率<！--[if gte vml 1]> <！[endif]--><！--[if ！vml]--><！--[endif]-->和約率<！--[if gte vml 1]> <！[endif]--><！--[if ！vml]--><！--[endif]-->。其他的說法也都大致相同，就是算出了小數點后面多少位的結果。但從沒有提到哪一個人利用圓周長和直徑的比算出了圓周率。也就是說，所有運用圓的周長和直徑的比來計算圓周率的人，都只是計算出了小數點后面的幾位數，而沒有、也不可能計算出真正準確的圓周率。由此引出了我的疑問：既然圓周率是圓的周長和直徑的比值，那么圓周率π到底是哪一個比或者說哪一個除法算式計算出來的？

其次，在查閱過程中，我發現所有準確表示π值的表達式，基本都牽扯到了高等數學里面微積分之類的知識。

因為自己學識不高的原因，我不能確定那些計算圓周率的方法還是不是比。如果那些計算方法不能算是比的話，圓周率還能說是圓的周長和直徑的比值嗎？

最后，我還查閱到了：π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比，是由瑞士科學家約翰·海因里希·蘭伯特于1761年證明的。 1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更證明了π是超越數，即π不可能是任何整系數多項式的根。既然已經證明了拍不可能表達成兩個整數之比，為什么圓周率還要說成是圓的周長和直徑的比值？