基于RomaxCLOUD的角接觸球軸承軸向剛度計算分析

嚴小云，朱永生，牛青波，李江艷，張進華

(1.西安交通大學 現代設計與轉子軸承系統教育部重點實驗室，西安 710049;2.洛陽軸承研究所有限公司，河南洛陽 471039;3.沈機集團昆明機床股份有限公司，昆明 650203;4.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710049)

角接觸球軸承作為機械回轉結構的核心支承組件，廣泛應用于精密機床、汽車、航空飛機等重大設備中。軸承剛度對于系統支承性能有重要影響，接觸角作為精密角接觸球軸承結構設計中的重要結構參數，不僅會影響軸承的受力、潤滑、壽命，也會對其剛度產生顯著影響。

目前，很多學者在角接觸球軸承接觸特性與剛度方面做了大量的研究工作。文獻[1-2]建立了軸承靜力學及接觸測試等分析模型；文獻[3]以軸承擬靜力學模型為基礎，研究了軸承作用力和電主軸轉速對軸承剛度的影響；文獻[4]結合Hertz接觸理論和軸承套圈控制理論，考慮軸承運行中鋼球的離心力和陀螺力矩建立了球軸承擬靜力學模型；文獻[5]基于軸承擬靜力學與溝道控制理論研究了軸承裝配過程中過盈配合量、預緊力對于高速角接觸球軸承徑向、軸向以及角剛度的影響規律；文獻[6]在擬靜力學的基礎上分析了預緊力和接觸角對軸承剛度的影響；文獻[7]基于溝道控制理論的5自由度擬靜力學模型對角接觸球軸承進行建模，分析了預緊力以及轉速對軸承剛度的影響；文獻[8-10]采用有限元法對比分析了軸承接觸應力分布、變形及剛度變化的特征；文獻[11]基于BP神經網絡方法研究分析了接觸角和轉速對軸承軸、徑向剛度的影響。

在高速運行條件下，軸承的接觸角對其剛度性能的影響顯著，文中基于RomaxCLOUD建立高速精密角接觸球軸承模型，利用計算較為快速且準確的軸承擬靜力學計算方法分析接觸角對軸承剛度的影響，并與經驗公式計算結果對比。

1 軸承剛度計算經驗公式

軸承剛度是軸承內外圈在載荷方向上產生單位彈性位移量所需要的外載荷，可表示為

(1)

式中：F為載荷；δ為軸承內外圈在載荷方向上發生的彈性位移。

角接觸球軸承在純軸向載荷Fa的作用下，假定受力后接觸角仍為初始接觸角，則軸承所受載荷與位移的關系為[12]

(2)

式中：Kn為軸承剛度系數；Z為球數；α0為初始接觸角；δa為軸向位移。

軸承軸向剛度計算公式為

(3)

計算時不僅需要軸承接觸角和球數等參數，還需計算軸承剛度系數Kn。由文獻[13]可知，軸承的軸向剛度還可用經驗公式表示為

Ka=16.5×104Z(Dwδasin5α0)1/2,或

Ka=0.344×104(DwFaZ2sin5α0)1/3,

(4)

式中：Dw為球直徑。

但在實際應用中受載后接觸角將發生變化，(4)式并未充分考慮軸承在受載情況下接觸角的變化，故公式存在一定偏差。為分析經驗公式的適用范圍，可將經驗公式與軸承擬靜力學計算的軸承剛度結果進行對比。

2 擬靜力學分析方法

擬靜力學方法在分析軸承力學性能時，考慮了慣性力作用下的軸承穩態運轉特性，可以有效預測球的自轉和公轉速度、軸承變形和剛度。軸承受軸向、徑向、離心載荷的作用，接觸角會發生變化，從而影響軸承的剛度。

2.1 軸向載荷對軸承接觸角的影響

假設軸承勻速運動，忽略球與保持架之間的作用力，軸承受到純軸向載荷作用時各個球受力相同。根據Hertz接觸理論，球與套圈之間的接觸載荷和彈性變形的關系為

Fa=kδ3/2,

(5)

式中：k為球與套圈之間的載荷-變形系數。

各個球所受載荷均勻分布，每個球所受載荷為

(6)

式中：α為軸承受載后的實際接觸角。

角接觸球軸承受到軸向載荷時接觸角將增大，如圖1所示。受載后，球與套圈之間的接觸變形δ等于內外溝曲率中心之間距離的變化量。

圖1 接觸角變化示意圖

由圖1幾何關系可知

NL′=NL+δ=BDw+δ,

(7)

B=fi+fe-1，

LC=NLcosα0=NL′cosα,

(8)

式中：fi，fe分別為內、外圈溝曲率半徑系數。

根據(7)，(8)式可得

(9)

(10)

式中：kp為載荷-變形常數。

由(9)，(10)式可知，軸承受到軸向載荷時，接觸角變化會對球的受力以及軸承的軸向位移有直接影響。

2.2 徑向載荷對接觸角的影響

在受徑向載荷時，內圈相對于外圈發生軸向位移δa和徑向位移δr。不同位置的球承受的載荷及變形量不同，每個球接觸角不同。軸承中每個球的相對角位置ψ如圖2所示。

圖2 球的角位置

角位置ψj處第j個球的彈性變形量為

δj=[(Bsinα0+δa)2+(Bcosα0+

(11)

以內圈為分析對象，軸承處于平衡狀態時

(12)

由(11),(12)式得

sinαj=

(13)

cosαj=

(14)

由(13)，(14)式可知，軸承受徑向載荷時，軸承每個角位置處球的受載不同，導致對應不同位置的球的接觸角發生變化。

2.3 離心載荷對接觸角的影響

當軸承高速運轉時，球離心力和陀螺力矩的作用不能被忽略，第j個球的離心力為

(15)

陀螺力矩為

(16)

式中：m為單個球的質量；Dpw為球組節圓直徑；ω為軸承的角速度；J為球對質心軸的轉動慣量；ωm/ω，ωR/ω分別為軸承的自旋比和旋滾比。

β可表示為

(17)

由于離心力和陀螺力矩的作用，球與內外溝道的接觸角發生了變化，使得內、外圈曲率中心點與球心不再共線(圖3)，內圈接觸角由αi增大為αij，外圈接觸角由αe減小為αej。圖3中，A1j為兩溝道曲率半徑中心距；X1j為球與外溝道溝曲率中心水平距離。

圖3 球心與溝道曲率中心的位置

軸承高速運轉時，球在軸向和徑向需保持受力平衡，其平衡方程為

λejcosαej)=0，

(18)

λejsinαej)+Fcj=0，

(19)

由(18)，(19)式可得軸承內外圈接觸角為

(20)

由以上分析可知，軸承受到離心載荷作用時，球的接觸角發生變化。

3 基于RomaxCLOUD的軸承參數計算

基于RomaxCLOUD的軸承瀏覽與設計功能可得到軸承的主要參數[14],根據已有標準軸承的參數，輸入目標設計參數，即可得到不同設計參數下軸承的其他參數以及標準圖紙。以7014C軸承為例，其主要參數見表1。

表1 主要設計參數

為分析軸承初始接觸角與軸承剛度之間的關系，在利用擬靜力學方法計算軸承剛度時，除表1中的參數外，還需要確定在不同接觸角下軸承外圈溝底直徑de以及軸承的球組節圓直徑Dpw。基于RomaxCLOUD的設計功能得到7014C軸承在幾種常見接觸角下的外圈溝底直徑de以及球組節圓直徑Dpw，見表2。

表2 不同接觸角下7014C軸承的de和Dpw

4 剛度計算結果及分析

假定軸承受載后內外接觸角相等,用經驗公式和擬靜力學方法分別計算軸承在不同初始接觸角時的軸向剛度，擬靜力學軸承剛度計算方法可參考文獻[7]。

4.1 經驗公式和擬靜力學方法計算軸向剛度

在初始接觸角為15°,25°,30°,40°,60°狀態下，設定徑向載荷為0，分別用經驗公式和擬靜力學方法計算角接觸球軸承的軸向剛度，計算結果如圖4所示。

從圖4可以看出，角接觸球軸承初始接觸角為15°,25°,30°時，經驗公式與擬靜力學計算的軸承軸向剛度結果之間存在較大的誤差，經驗公式計算值比擬靜力學計算角偏小，隨軸向載荷增大，誤差逐漸增大。接觸角為40°時，經驗公式與擬靜力學計算的軸向剛度結果之間誤差最小。接觸角為60°時，經驗公式與擬靜力學計算的軸向剛度結果之間誤差較小，經驗公式計算值比擬靜力學計算值偏大。

圖4 不同接觸角下軸承軸向剛度

不同接觸角下經驗公式與擬靜力學計算軸承軸向剛度誤差如圖5所示，從圖5可以看出在角接觸球軸承接觸角為15°，25°，30°，60°時，經驗公式與擬靜力學方法計算的軸承軸向剛度之間的誤差隨著軸承所受軸向載荷的增大逐漸增大。而接觸角為40°時，經驗公式與擬靜力學方法計算的軸承剛度之間的誤差隨著軸承所受軸向載荷的增大逐漸減小。

圖5 不同接觸角下經驗公式與擬靜力學計算軸承軸向剛度誤差

4.2 軸承接觸角變化分析

由于軸承擬靜力學剛度計算方法考慮軸承在受到軸向載荷后接觸角的變化，計算的剛度結果更為準確。經驗公式與軸承擬靜力學方法計算的剛度之間的誤差可能是由于經驗公式未能考慮軸承在受載后接觸角變化。

4.2.1 軸向載荷對軸承接觸角的影響

擬靜力學計算方法中角接觸球軸承所受軸向載荷會使軸承接觸角發生變化。設定軸承所受徑向載荷為0，對其施加軸向載荷，計算不同初始接觸角時，軸承接觸角隨軸向載荷變化如圖6所示。

圖6 不同接觸角下實際接觸角隨軸向載荷的變化

由于擬靜力學計算中轉速設置為0，所以計算結果中軸承內外圈接觸角相等。從圖6可知，隨初始接觸角增大，軸承在受到相等軸向載荷時，軸承接觸角的變化逐漸減小。

4.2.2 徑向載荷對軸承接觸角的影響

初始接觸角為15°，軸承軸向載荷為1 000 N，轉速為1 000 r/min，在不同徑向載荷時，分析每個球與內、外圈之間接觸角的變化趨勢。

軸承受徑向載荷時，不同位置處球的彈性變形不同，每個球與內、外圈之間的接觸角也不同，19個球接觸角的變化趨勢如圖7所示。球接觸角的變化隨球在軸承中位置角的變化而變化，受載最大的球，內外圈對球壓的最緊，使得接觸角最小；受載最小的球，內外圈對球壓得最松，接觸角最大。隨徑向載荷的增加，接觸角的變化范圍增大。

圖7 不同位置球接觸角隨徑向載荷的變化

4.2.3 離心力對軸承接觸角的影響

初始接觸角為15°，軸向載荷為1 000 N，徑向載荷0時，分析軸承在不同轉速下球與內、外圈之間接觸角的變化趨勢。

球受離心力和陀螺力矩的作用，使其與軸承內、外圈之間的接觸角隨轉速變化，如圖8所示，外圈接觸角隨轉速的增大而減小，內圈接觸角隨轉速增大而增大。

圖8 軸承內、外圈接觸角隨轉速的變化

5 結論

1)通過分析角接觸球軸承在初始接觸角為15°，25°，30°，40°，60°時，經驗公式與擬靜力學方法計算的軸承軸向剛度之間的誤差，得出角接觸球軸承在初始接觸角較小時，經驗公式與擬靜力學方法計算的軸向剛度結果之間有較大的誤差。經驗公式的計算結果較擬靜力學方法的計算結果偏小。在接觸角為40°時，兩者計算結果誤差最小，接觸角為60°時，兩者計算的軸承軸向剛度結果之間的誤差較小，經驗公式較擬靜力學的計算結果偏大。

2)在已知某型號軸承的主要設計參數時，若要估算該型號軸承在其他初始接觸角狀態下軸承的軸向剛度性能。初始接觸角較大時，可使用經驗公式快速計算出軸承的軸向剛度。軸承初始接觸角較小時，經驗公式的計算結果只能作為參考值。軸向載荷、徑向載荷、離心力及陀螺力矩都會對軸承初始接觸角產生較大的影響，經驗公式未考慮這些參數的影響，應采用擬靜力學方法計算軸承在不同接觸角時的軸向剛度。