載荷作用下球軸承旋轉(zhuǎn)精度的Copula估算方法

李麗紅，李濟順，薛玉君，禹統(tǒng)帥，余永鍵

(1.河南科技大學 車輛與交通工程學院，河南 洛陽 471003；2.河南省機械設(shè)計及傳動系統(tǒng)重點實驗室，河南 洛陽 471003)

球軸承可以看做是一個由內(nèi)圈、外圈、球、保持架組成的系統(tǒng)，這些零件都有其自身的幾何精度，零件幾何精度的差異和運動副間隙及其相互作用必定會影響球軸承的旋轉(zhuǎn)精度。在載荷平衡約束和幾何協(xié)調(diào)約束作用下，軸承零件的幾何精度及其相互作用最終影響著軸承旋轉(zhuǎn)精度。球軸承零件的幾何精度可通過測量得到，而軸承旋轉(zhuǎn)精度則通過對軸承內(nèi)外圈的徑向和端面跳動等進行測量得到，很少用零件的幾何精度去估算成品軸承的旋轉(zhuǎn)精度。軸承旋轉(zhuǎn)精度與其零件的幾何精度必然存在一定的關(guān)系，但這種關(guān)系很難用數(shù)學公式來表達。因此，用統(tǒng)計的方法尋求零件尺寸精度的分布規(guī)律，再用聯(lián)合分布Copula函數(shù)建立軸承旋轉(zhuǎn)精度的聯(lián)合分布與其零件幾何精度多元分布之間的傳遞和映射關(guān)系,嘗試在裝配之前估算軸承的旋轉(zhuǎn)精度。

1 Copula函數(shù)理論

Copula函數(shù)也稱為連接函數(shù)或相依函數(shù)，是將多維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)連接起來的函數(shù)，其作用就是在多元分布中將相依性結(jié)構(gòu)從邊際特征中區(qū)分出來。這種思想來源于著名的Sklar定理：可將聯(lián)合分布分解成多個邊際分布和一個聯(lián)合的Copula函數(shù)，此函數(shù)能把多個邊緣分布聯(lián)系起來進行變量間的相依性描述。

Copula理論于1959年提出[1]，20世紀90年代以來，Copula理論和方法在國內(nèi)外迅速發(fā)展，并應用到交通、金融、保險、建筑動力風荷載、機械系統(tǒng)的可靠性分析等多個領(lǐng)域[2-14],并取得了良好效果。一般分布估算法無法構(gòu)造適當?shù)亩嘧兞柯?lián)合分布函數(shù)，使其具有指定的單變量邊緣分布函數(shù)以及多個變量之間的相關(guān)性。Copula函數(shù)可以把聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)聯(lián)系起來構(gòu)造多元分布函數(shù)對變量之間的相關(guān)性進行分析，而且與PPCA，BOA算法相比運算量小，能較好地反映優(yōu)勢群體的分布情況[13]。

設(shè)F1(x1),F2(x2),F3(x3),…,Fn(xn)為連續(xù)的邊際分布函數(shù)，其聯(lián)合分布函數(shù)為H(x1,x2,…,xn)，存在一個 Copula 函數(shù),使

C(F1(x1),F2(x2),F3(x3),…,Fn(xn))=

H(x1,x2, …,xn)，

(1)

令W1=F1(x1),W2=F2(x2),…,Wn=Fn(xn),則

C(W1,W2,…,Wn)=

(2)

常用的多元正態(tài)Copula函數(shù)和密度函數(shù)的表達式為

C(u1,u2,…,uN;ρ)=

Φρ(Φ-1(u1),Φ-1(u2),…,Φ-1(uN))，

(3)

c(u1,u2,…,uN;ρ)=

(4)

ζ=(ζ1，ζ2,…,ζN)′，ζN=Φ-1(uN)，

式中：ρ為對角線上的元素為1的對稱正定矩陣；|ρ|為矩陣相對應的行列式的值；Φρ(u)表示相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ的標準多元正態(tài)分布函數(shù)；Φ-1(u)為Φ(u)的逆函數(shù)；I為單位矩陣。

Copula方法在建立隨機變量的聯(lián)合分布時有如下優(yōu)點：1)Copula理論不限制邊緣分布的選擇，結(jié)合Copula函數(shù)可以靈活地構(gòu)建聯(lián)合分布函數(shù)；2)在運用Copula理論建立模型時，邊緣分布反映的僅是單變量的個體信息，變量間的相關(guān)信息完全由Copula函數(shù)體現(xiàn)，可以將隨機變量的邊緣分布和變量間的相關(guān)性分開研究[10]。

2 軸承旋轉(zhuǎn)精度

滾動軸承運轉(zhuǎn)時，為了保證傳動零件的旋轉(zhuǎn)精度，需要將軸承內(nèi)、外圈和端面的跳動控制在一定范圍內(nèi)，因此軸承的旋轉(zhuǎn)精度涉及內(nèi)外圈的徑向跳動、內(nèi)外圈端面對滾道的跳動、內(nèi)圈基準端面對內(nèi)徑的跳動、外圈素線對基準端面傾斜度變動量以及內(nèi)外圈滾道對底面厚度的變動量。對于球軸承，軸承外圈的徑向跳動與端面跳動是判斷軸承旋轉(zhuǎn)精度的重要指標[15-16]。

影響滾動軸承旋轉(zhuǎn)精度的因素很多，滾動軸承旋轉(zhuǎn)精度除受載荷影響外，主要受滾動軸承零件的幾何精度(外圈的尺寸精度、形狀精度，內(nèi)圈的尺寸精度、形狀精度，滾動體的尺寸精度等)、徑向游隙、滾動體個數(shù)等參數(shù)的影響。滾動軸承運轉(zhuǎn)時，其旋轉(zhuǎn)精度還會受到安裝方式、預緊力、工作載荷、溫度及潤滑等多種因素的影響。

3 數(shù)學模型

3.1 隨機變量

軸承裝配合套前，各零件在幾何精度分布上是獨立的，存在一定的自相關(guān)性，但裝配后，彼此相互影響，為互相關(guān)。由于加工的偶然因素影響，軸承的內(nèi)圈、外圈及滾動體尺寸和形狀在其公差范圍內(nèi)的誤差是隨機變量，將其組合在一起是一個隨機過程。

以6204深溝球軸承為例進行分析，僅對影響其旋轉(zhuǎn)精度的重要指標外圈徑向跳動Kea與端面跳動Sea進行分析，不考慮保持架的影響。內(nèi)圈溝道直徑、外圈溝道直徑、球直徑對軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響組成各零件對軸承旋轉(zhuǎn)精度的整體影響，將內(nèi)圈溝道直徑下偏差Xir、外圈溝道直徑上偏差Xer、軸承所有球中直徑最大值與最小值之差的絕對值Xr作為隨機變量。取100套軸承零件進行測量，裝配后由軸承外圈和端面跳動測量儀測量Kea，Ssa[16]。向測試儀芯軸施加40 N·m的扭矩，得到100組原始數(shù)據(jù)，考慮測量時試驗設(shè)備自身的誤差，對原始數(shù)據(jù)進行誤差分離得到100組測量數(shù)據(jù),由于篇幅所限，僅給出部分數(shù)據(jù)，見表1。

表1 測量數(shù)據(jù)

3.2 數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析

3.2.1 隨機變量分布參數(shù)估計及檢驗

表2 參數(shù)估計及正態(tài)檢驗結(jié)果

圖1 Xer，Xir，Xr的直方圖及核密度圖

圖2 跳動量Sea，Kea的直方圖及核密度圖

3.2.2 隨機變量的相關(guān)性分析

上述5種隨機變量之間的協(xié)方差矩陣見表3，可以看出，軸承的外圈徑向跳動、端面跳動與軸承外圈溝道、內(nèi)圈溝道和球的尺寸有很強的相關(guān)性，由于球尺寸的差異，在軸承運行過程中必然會造成軸承外圈跳動，差異越大，跳動程度越嚴重。此外，內(nèi)圈溝道比外圈溝道與軸承徑向跳動的相關(guān)程度更強。軸承外圈溝道、內(nèi)圈溝道和球尺寸在未裝配之前相互獨立，但裝配后其對軸承整體性能的影響彼此相關(guān)。變量Xer，Xir，Xr，Kea，Sea兩兩之間的相關(guān)性如圖3所示(橫、縱坐標單位均為mm)，從圖中可以看出，Kea，Sea與Xir，Xer，Xr都具有相關(guān)性，尤其是與Xr有很強的相關(guān)性，這說明軸承的旋轉(zhuǎn)精度與球尺寸的均勻性有很大關(guān)系，在其公差范圍內(nèi)，尺寸差值越小，即越均勻，軸承跳動程度就越小。

表3 隨機變量的協(xié)方差矩陣

圖3 Xir，Xer，Xr和Kea，Sea兩兩相關(guān)的關(guān)系圖

3.2.3 模型建立

軸承內(nèi)外圈溝道以及球的尺寸偏差對軸承的運動精度都存在相關(guān)性，且組合在一起會產(chǎn)生聯(lián)合作用，形成多維隨機變量。可以用Coupla函數(shù)來估計。為方便起見，將變量Xer，Xir，Xr和Kea，Sea分別用u，v，w，y1，y2表示。由于u，v，w服從正態(tài)分布，設(shè)其分布函數(shù)及密度函數(shù)分別為

(5)

(6)

式中：μu，μv，μw分別為u，v，w的均值；σu，σv，σw分別為u，v，w的均方根。

同理，外圈的徑向跳動量和端面跳動量也服從正態(tài)分布，可以將其分布函數(shù)分別寫為F(y1)和F(y2)，則其與u，v，w的聯(lián)合分布函數(shù)F(u,v,w)之間的關(guān)系為

(7)

隨機變量u，v，w雖說聯(lián)合起作用，但對外圈的徑向跳動和端面跳動的影響不同，從圖3可以看出，其影響相當復雜。為便于參數(shù)估計，將這種復雜關(guān)系進行簡化，先考慮尺寸誤差兩兩之間相互作用的影響，再輔以修正參數(shù)對模型進行修正，設(shè)u，v，w的兩兩聯(lián)合分布函數(shù)分別為F(u,v)，F(xiàn)(v,w)，F(xiàn)(w,u)，建立模型

(8)

式中：λ1,λ2,λ3，κ1，κ2，κ3均為估計參數(shù)。

4 構(gòu)建Copula函數(shù)

Copula可以解釋為相依函數(shù)或連接函數(shù)，是把多維隨機變量的聯(lián)合分布用其一維邊際分布連接起來的函數(shù)。以F(u,v)為例進行分析，其邊緣分布函數(shù)分別為F(u),F(v)，存在一個Coupla函數(shù)C(F(u)，F(xiàn)(v))使

F(u,v)=C(F(u)，F(xiàn)(v))。

(9)

由圖2可以看出，軸承的外圈徑向跳動和端面跳動接近于正態(tài)分布，在構(gòu)建Coupla函數(shù)時可使用高斯Copula函數(shù)。存在高斯Copula函數(shù)使

F(u,v)=C(F(u),F(v))=

CG(F(u)，F(xiàn)(v)),

(10)

變換得

CG(F(u)，F(xiàn)(v))=Φ(F-1(u),F-1(v)),

(11)

式中：Φ為二元正態(tài)分布函數(shù)；F-1為一維正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。則

(12)

式中：ρuv為u，v的相關(guān)系數(shù)。

用極大似然函數(shù)方法對Coupla函數(shù)進行參數(shù)估計。通過CG(F(u)，F(xiàn)(v))的密度函數(shù)c(F(u)，F(xiàn)(v))和邊緣密度函數(shù)φ(u),φ(v)可以求出聯(lián)合分布函數(shù)F(u,v)的密度為

f(u,v,ρuv)=c(F(u)，F(xiàn)(v))φ(u)φ(v)，

(13)

則

(14)

其對數(shù)似然函數(shù)為

lnL(f(u,v,ρuv))=Πf(u,v,ρuv)=

(15)

通過計算可得到參數(shù)估計值ρuv=0.036 4。

同理可得：ρvw=0.191 2，ρwu=0.263 8。

由(8)和(10)式得到其概率密度模型為

(16)

由于隨機變量y1服從正態(tài)分布，其概率密度為

(17)

將(13)式代入(16)式得

(18)

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，通過概率密度最小二乘法使等式兩邊最接近時估計參數(shù)λi(i=1,2,3)為λ1=0.276 1，λ2=-0.081 6，λ3=0.018 3。同理對(16)式進行參數(shù)估計可得κ1=0.067 5，κ2=-0.264 3，κ3=0.197 4。

將λi和κi代入(8)式和(16)式得變量之間的數(shù)學模型為

(19)

概率密度的數(shù)學模型為

(20)

從該模型中可以看出，在載荷作用下軸承內(nèi)外圈溝道的相互作用對外圈徑向跳動影響最大，其次是外圈溝道與球之間的相互配合。而外圈溝道與球的相互作用對外圈端面跳動影響最大，其次是球與內(nèi)圈的相互作用。

5 試驗驗證

為檢驗所建立數(shù)學模型的有效性和精確性，另外隨機抽取100套6204深溝球軸承進行試驗，部分數(shù)據(jù)見表4。模型計算數(shù)據(jù)與測量值的對比結(jié)果見表5。由表可知，數(shù)學模型模擬出來的結(jié)果與實際測量結(jié)果接近。

表4 測量數(shù)據(jù)

表5 實測與計算結(jié)果對比

6 結(jié)束語

將軸承視為多個零件組合在一起的系統(tǒng)，各零件相互作用、相互配合。軸承零件幾何精度及其相互作用影響著軸承的旋轉(zhuǎn)精度。基于Coupla函數(shù)分布估算法，通過研究軸承內(nèi)外圈溝道和球的尺寸精度對軸承外圈徑向與端面跳動量的關(guān)系，用概率密度構(gòu)建其數(shù)學模型，將滾動軸承旋轉(zhuǎn)精度與零件的幾何精度聯(lián)系起來，通過該理論可以對軸承的精度等級進行預測。但建立的模型僅適應于單一型號軸承旋轉(zhuǎn)精度的估算，其他型號軸承旋轉(zhuǎn)精度的估算需另外建立模型。