平滑重構稀疏貝葉斯學習測向算法

陳璐，畢大平，潘繼飛

1. 國防科技大學 電子對抗學院, 長沙 410073 2. 安徽省電子制約技術重點實驗室, 合肥 230037

在信號處理領域中，波達方向(Direction of Arrival, DOA)估計一直是研究的熱點問題。在陣列信號處理中，大量的高分辨角度估計算法被提出，如多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification，MUSIC)算法、信號參數估計旋轉不變技術(Estimation Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)、最大似然(Maximum Likelihood , ML)算法等[1-4]。在均勻線性陣列中，對于傳統(tǒng)角度估計算法而言，被估計輻射源個數不能超過均勻線陣陣元個數，極大地限制了實際應用，而通過研究發(fā)現(xiàn)非均勻線陣能夠提高參數估計的自由度(Degrees of Freedom, DOF)，因此，非均勻線陣測向問題成為近來研究的熱點[5-7]。典型的非均勻線陣有：最小冗余陣列、互質陣列、嵌套陣列。相對于另外兩種陣列而言，嵌套陣列由于角度估計自由度高，陣元位置存在閉式表達式，因此，嵌套陣列的相關研究受到廣泛關注。

陣列信號處理技術應用于實際過程中存在許多問題，如互耦效應、陣元增益和相位失配、陣元位置誤差、模型失配、多徑效應等。其中互耦效應是由于陣元間的相互干擾造成的，陣元間隔越大，互耦效應越小[8-10]。嵌套陣列的第一級陣列為緊湊陣列，在實際應用中，必然受到互耦影響，導致測向精度嚴重下降。常用的降低互耦效應的方法是：在設計陣列時，盡量提高陣元間隔，增加陣元稀疏度，以減小互耦影響；在陣列結構固定時，建立互耦矩陣模型，通過估計互耦矩陣進行互耦補償，部分抵消陣元間的相互影響提高陣列測向魯棒性[11-12]。文獻[13]已經證明，在互耦測向模型的基礎上，已知陣列互耦矩陣的前提下，傳統(tǒng)測向算法可以有效降低互耦影響。但是對于任意結構的非線性陣列，互耦矩陣往往不存在對稱結構，因此估計較為困難。針對嵌套陣列這種非線性陣列易受互耦效應影響的問題，文獻[14-15]通過對原有嵌套陣列陣元位置的優(yōu)化，提高了陣列稀疏度，降低了陣元間的互耦效應，但是文獻中的優(yōu)化方式，僅僅將嵌套陣列稀疏化，沒有擴展其差分共陣[16]的自由度。為增加嵌套陣列陣元稀疏度的同時，提高原嵌套陣參數估計自由度，本文通過對二級嵌套陣列(Two Level Nested Array, TLNA)陣元位置進行調整，提出了兩種不同的平移嵌套陣列結構，不僅提高了陣列稀疏度，降低了陣元間的互耦效應，而且擴展了差分共陣的自由度，增大了虛擬陣列孔徑，同時保證差分共陣“無孔”。

文獻[16-17]中的嵌套陣列測向方法為空間平滑多重信號分類(Spatial Smoothness MUltiple SIgnal Classification, SS-MUSIC)算法，該算法通過對陣列接收信號協(xié)方差矩陣進行矢量化，構成新的觀測信號，通過MUSIC算法進行角度估計，該算法精度較高，但是算法易受噪聲影響，并且當陣列接收數據較多時，由于需要對協(xié)方差矩陣進行頻繁變換，使算法計算量較大。近年來，壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論被應用于角度估計領域，使陣列測向精度得到進一步提高[18-20]。壓縮感知理論的主要優(yōu)勢在于避免了對協(xié)方差矩陣的運算，但是將壓縮感知理論應用于嵌套陣列測向中主要存在觀測矩陣維度較高，計算復雜度大的問題[21-22]。

本文針對將稀疏貝葉斯學習算法應用于嵌套陣列計算量大的問題，提出了平滑重構稀疏貝葉斯學習(Smooth Reconstruction Sparse Bayesian Learning, SR-SBL)算法，算法將陣列接收信號協(xié)方差矩陣矢量化之后構成的觀測信號進行重構，使單測量矢量(Single Measurement Vector，SMV)貝葉斯模型變?yōu)槎鄿y量矢量模型，縮減了觀測矩陣的維度，對新的觀測值進行奇異值分解，降低了信號空間維度，去除了部分信號噪聲，然后推導了多測量矢量稀疏貝葉斯學習迭代模型，有效降低原有稀疏貝葉斯學習(Sparse Bayesian Learning，SBL)算法的復雜度。仿真分析表明，本文提出的兩種平移嵌套陣列結構有效提高了原嵌套陣列形成的虛擬陣列的測向自由度，增大了陣元稀疏度，SR-SBL算法有效降低了原測向算法的計算復雜度，提高了測向精度。

1 嵌套陣列互耦測向模型

圖1為多級嵌套陣列結構圖，多級嵌套陣列第一級為緊湊線陣，陣元間存在互耦影響，因此，需要建立互耦測向模型。

假設嵌套陣列接收到從K個不同方向入射的窄帶信號，θi∈[-π/2,π/2](i=1,2,…,K)。在陣元間存在互耦效應的條件下，陣元數M的嵌套陣列接收輻射源信號模型為

x(n)=CA(θ)s(n)+v(n)

(1)

(2)

式中：cn m為陣元n和陣元m之間的互耦系數，其大小與陣元間距負相關，表達式為

圖1 多級嵌套陣列結構圖Fig.1 Structure diagram for multilevel nested array

其中：B為互耦效應最大間距，兩個陣元間距小于B時，相互之間存在互耦影響，大于B時，互耦影響為0；f(dn m)為互耦函數，與距離dn m為負相關。通過互耦評價函數式衡量陣列互耦效應大小:

(3)

2 平移嵌套陣列結構

二級嵌套陣列由一個緊湊陣列和一個稀疏陣列組成，在實際應用中，作為嵌套陣列的第一級緊湊陣需要滿足d≤λ/2,由于陣元位置密集，因受到互耦效應影響，導致陣列測向性能下降。本文提出一種平移嵌套陣列結構，可以通過調整原嵌套陣列的陣元位置，能夠提高陣元稀疏度，減小互耦效應影響。

假設存在一個二級嵌套陣列，每一級嵌套陣元數為N1=N2,陣元總數為M=N1+N2,第一陣元位置為dn=nd0(n=0,1,…，N1-1),第二級陣元位置為dm=[m(N1+1)-1]d0(m=1,2,…,N2)。嵌套陣陣元位置索引集合為S=S1∪S2,其中S1={n|n=0,1,…,N1-1}表示第一級陣元位置整數集合，S2={m(N1+1)-1|m=1,2,…,N2}為第二級陣元位置整數集合。將第一級嵌套陣列陣元平移到第二級嵌套陣列另一側可表示為

(4)

式中：S2(N2)為集合S2中第N2個元素。有如下性質:

(5)

其中：D{S1,S2}={i-j|i∈S2,j∈S1}表示集合S2與S1所有元素差值的集合。由此可見，平移第一級嵌套陣列到第二級嵌套陣列另一側，兩個集合之間元素的差值相同。因此，可以通過對第一級嵌套陣列的部分陣元位置進行平移，來提高陣元稀疏度，減小互耦影響。

(6)

(7)

E={N1-j|0≤j≤N1-2,j∈Z}

(8)

(9)

圖2 幾種嵌套陣型結構示意圖Fig.2 Diagrams of some nested structures

圖2(a)為每級陣元數為5的二級嵌套陣列，式(8)表示的平移方式如圖2(b)和圖2(c)，稱為連續(xù)平移嵌套陣列(Continuous Translational Nested Array，CTNA)，式(9)表示的平移方式如圖2(d)，稱為間隔平移嵌套陣列(Interval Translational Nested Array, ITNA)。根據嵌套陣列自由度計算公式，平移嵌套陣列增大了陣列自由度，且平移嵌套陣列對原嵌套陣列的第一級陣列進行了稀疏化改進，陣元間隔的增大能夠減小互耦影響，提高陣列角度估計精度。

3 平移嵌套陣列單測量矢量測向模型

根據式(1)，在嵌套陣列基礎上，進一步推導陣列測向模型。由于空域中的K個信號源之間相互獨立，信號源s(t)的協(xié)方差矩陣為Rss=diag(ρ1,ρ2,…，ρK),其中ρk為第k個信號源的功率。由式(1)可得，接收信號x(t)的協(xié)方差矩陣為

Rxx=E{x(n)xH(n)}=

CA(θ)E{s(n)sH(n)}CHAH(θ)+

E{v(n)vH(n)}=

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

4 平滑重構稀疏貝葉斯學習角度估計

4.1 平滑重構稀疏模型

為解決平移嵌套陣列SMV模型計算復雜度高的問題，本文提出SR-SBL角度估計算法。

Y=ΨP+E

(15)

圖3 虛擬陣列劃分方法Fig.3 Partition method for virtual array

4.2 奇異值分解

為進一步縮小計算量，可以對觀測矩陣Y進行奇異值分解，設Y=UΓVT,Γ為Y的奇異值矩陣，U、V分別為左、右正交矩陣。則式(15)的稀疏模型可以化簡為

Ys=ΨPs+Es

(16)

式中：Ys=YVD,Ps=PVD,Es=EVD,D=[IK0]。通過式(16)，能夠將數據中的噪聲部分去除，提高信噪比，減小計算量，降低噪聲的影響。

4.3 多測量矢量SBL算法

在式(16)的基礎上，使用多測量矢量SBL算法求解。假設K個輻射源方向在觀測矩陣Ψ中對應的列索引集為K，則有

K={k∈N|Pkl≠0}

(17)

Ψ中這K列組成的測量矩陣可表示為ΨK。

假設式(15)中Es為復高斯白噪聲，方差為σ2,則觀測值Ys的概率密度為

Pr(Ys|Ps;σ2)=

(18)

假設稀疏信號矩陣中各元素相互獨立，且服從零均值復高斯分布，Ps先驗概率密度函數可表示為

(19)

式中：Λ=diag(γ),γ=[γ1γ2…γA]T,γi為Ps中第i行[Ps]i的方差。當γi為零時，對應的[Ps]i行也為零。

根據貝葉斯準則，在已知觀測值Ys的前提下，Ps后驗概率密度函數可表示為

(20)

作為歸一化因子，忽略分母。因此，有

Pr(Ps|Ys;γ,σ2)∝Pr(Ys|Ps;σ2)Pr(Ps;γ)∝

CN(μP,ΣP)

(21)

將式(18)和式(19)代入式(21)，可得稀疏信號矩陣Ps的后驗均值μP和方差ΣP為

(22)

(23)

式中：

(24)

根據矩陣求逆引理可得

σ-2IL-σ-2ΨΣPΨHσ-2

(25)

根據式(22)可知，Λ的對角線元素決定了μP的稀疏度，從而決定了稀疏信號矩陣Ps的稀疏度，因此，稀疏信號矩陣Ps的非零行索引可表示為

K={k∈N|γm>0}

(26)

式(20)中分母可表示為

(27)

對式(27)取對數可得

(D-L+1)lg detΣY∝

(28)

其中觀測數據的協(xié)方差矩陣為

(29)

超參數γ,σ2可以通過最大化式(28)獲得

(30)

由于

(31)

(32)

式中：Ψm為觀測矩陣Ψ的第m列，對式(30)求導可得

(33)

(34)

與稀疏信號矩陣Ps的非零行對應的觀測值協(xié)方差矩陣可表示為

(35)

式中：ΨK為與集合K元素對應的觀測矩陣Ψ的列組成的矩陣。式(35)與式(24)表示的值完全相同，當ΛK與σ2達到最優(yōu)解時，需滿足：

(36)

將式(35)代入式(36)中，可得

(37)

根據式(37)求得σ2為

(38)

表1 SR-SBL角度估計算法Table 1 Direction finding algorithm based on SR-SBL

該算法的計算復雜度主要集中于式(38)對矩陣ΨK的求逆上，其計算復雜度為O(KL2),顯然，其復雜度小于單測向矢量稀疏貝葉斯學習的復雜度O((A+1)D2)。SR-SBL算法估計目標個數的上限為L,L影響計算復雜度，L越大，該算法計算復雜度越大，而SMV-SBL算法估計目標個數為D,且D≥L。

5 仿真實驗

對圖2中的4個嵌套陣列和文獻[14]中的超級嵌套陣列(Super Nested Array, SNA)進行仿真，得到對應的差分共陣，其虛擬陣元的位置如圖4所示，由圖中可以看出，文獻[14] 中的SNA與TLNA的虛擬陣元數相同，而本文提出的3種不同結構的平移嵌套陣列的虛擬陣元數均大于TLNA和SNA，因此能夠增加處理輻射源的數目，提高陣列的測向自由度。

為對比5種嵌套陣列的陣元稀疏度，利用式(3)作為衡量互耦效應大小的函數，互耦矩陣C中的元素為

x,y為均勻分布在[-0.5,0.5]區(qū)間上的隨機變量。在不同陣元個數條件下，根據式(3)，得到互耦函數值M(d)與陣元個數之間的關系，如圖5。

從圖5可以看出， TLNA的陣元間的互耦效應最大。CTNA1和CTNA2的陣元間的互耦效應接近，并且隨陣元個數的增加互耦效應逐漸增大。ITNA與SNA的互耦效應接近，并且隨陣元個數的增加互耦效應逐漸減小。

圖4 幾種嵌套陣列的差分共陣Fig.4 Difference co-array of several nested arrays

圖5 幾種嵌套陣列互耦效果對比Fig.5 Comparison of mutual coupling effects of several nested arrays

結合圖4和圖5的仿真結果可知，本文提出的CTNA1和CTNA2的虛擬孔徑大于文獻[14] 提出的SNA，但陣元稀疏度小于SNA。本文提出的ITNA的虛擬孔徑大于SNA，并且陣元稀疏度與SNA接近。

由圖6可以看出，兩種算法均能夠得到較好的測向結果，但通過對比圖6(a)和圖6(b)可以看出，SR-SBL算法在部分角度處的峰值(P)要明顯高于SMV-SBL算法，便于輻射源角度的識別。

圖6 兩種算法角度估計結果對比Fig.6 Comparison of results of two angle estimation algorithms

在K=10個輻射源的條件下，針對圖 2中的TLNA、CTNA、ITNA 3種結構，利用SS-MUSIC[16]，SMV-SBL，SR-SBL 3種算法，在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)和不同采樣數條件下進行測向性能對比，進行N=500次蒙特卡羅實驗，得到不同信噪比和采樣數條件下，3種陣列、3種測向算法的測向根均方誤差值(Root Mean Square Error，RMSE)，得到圖7和圖8。均方誤差定義為

從圖7(a)可以看出，在SNR相同條件下，當陣列結構相同時，SR-SBL算法的測向精度高于SS-MUSIC算法，這是由于SR-SBL算法通過奇異值分解步驟，去除了部分噪聲，而基于子空間搜索的SS-MUSIC算法受噪聲子空間的影響較大。在SNR相同條件下，當測向算法相同時，CTNA、ITNA的測向精度高于TLNA，這是由于平移嵌套陣列對應的差分共陣虛擬孔徑大于TLNA。

圖7 不同SNR條件下測向結果對比Fig.7 Comparison of direction finding results under different SNR conditions

從圖7(b)可以看出，在SNR相同條件下，當陣列結構相同時，SR-SBL算法的測向精度高于SMV-SBL算法,這是由于SR-SBL算法在重構多測量矢量模型時，通過奇異值分解去除了部分噪聲，而SMV-SBL沒有抑制噪聲的步驟。在SNR相同條件下，當測向算法相同時，CTNA、ITNA的測向精度高于TLNA。

從圖8(a)可以看出，在采樣數相同條件下，當陣列結構相同時，SR-SBL算法的測向精度高于SS-MUSIC算法,這是由于SR-SBL算法將部分數據重疊，能夠更充分利用數據。在采樣數相同條件下，當測向算法相同時，CTNA、ITNA的測向精度高于TLNA，這是由于平移嵌套陣列對應的差分共陣虛擬孔徑大于TLNA。

從圖8(b)可以看出，在采樣數相同條件下，當陣列結構相同時，SR-SBL算法的測向精度高于SMV-SBL算法。在采樣數相同條件下，當測向算法相同時，CTNA、ITNA的測向精度高于TLNA。

圖8 不同采樣數條件下測向結果對比Fig.8 Comparison of results of direction finding with different sampling numbers

在10個輻射源的條件下，針對CTNA，在采樣數為1 000，信噪比為0 dB條件下，當收斂門限ε不同時，對比SMV-SBL，SR-SBL 2種算法的收斂速度和測向精度，得到圖9。從圖9(a)可以看出，在門限相同條件下，SR-SBL算法的收斂時間小于SMV-SBL算法，這是由于SR-SBL算法的觀測矩陣維度通過變換之后，遠遠小于SMV-SBL的觀測矩陣維度，使算法復雜度比SMV-SBL低，因此相同門限條件下，SR-SBL算法的運算時間較短。

從圖9(b)可以看出，在門限相同條件下，SR-SBL算法測向精度高于SMV-SBL算法。這是因為，SR-SBL算法通過奇異值分解，去除了數據中的部分噪聲，而SMV-SBL算法會受到數據噪聲影響。

圖9 收斂門限對算法的影響Fig.9 Effect of convergence threshold on algorithm

考慮陣元間互耦效應影響，利用上面實驗的互耦模型，分別在不同信噪比和采樣數條件下，對前文10個角度進行估計，進行500次蒙特卡羅實驗，得到不同信噪比和采樣數條件下，3種陣列SR-SBL測向算法的測向均方誤差值中，得到圖10。

由圖10(a)可以看出，存在互耦效應條件下，當SNR相同時，CTNA和ITNA的測向精度高于TLNA，并且ITNA高于CTNA。由圖 10(b)可以看出，在考慮互耦效應的條件下，當采樣數相同時，CTNA和ITNA的測向精度高于TLNA，并且ITNA高于CTNA。這是因為，ITNA陣元稀疏度高于CTNA和TLNA，因此ITNA受互耦效應影響較小，測向精度較高。

圖10 互耦條件下SR-SBL算法測向性能Fig.10 Performance of SR-SBL algorithm for direction finding in presence of mutual coupling

6 結 論

1) 本文提出的嵌套陣列的兩種陣元結構變換方式：連續(xù)平移嵌套陣列和間隔平移嵌套陣列，這兩種陣列的差分共陣均“無孔”，并且測向自由度和陣元稀疏度均得到提高。

2) 本文提出了SR-SBL算法，將單測量矢量模型變?yōu)槎鄿y量矢量模型，并且對變換后的觀測矩陣進行奇異值分解，從而達到降低維度、減少計算復雜度的目的。

3) 仿真實驗表明，在信噪比、采樣數相同的條件下，本文提出的SR-SBL算法收斂速度比SMV-SBL算法快，且測向精度比SMV-SBL算法和SS-MUSIC算法高；在存在互耦影響的條件下，當使用相同測向算法時，本文提出的兩種平移嵌套陣列結構的測向結果均優(yōu)于原二級嵌套陣列。