“分與合”的啟示

程政武

大家都知道，傳統《實驗數學》版本的教材，在一年級1-10以內數的認識的教學編排上，“數的組成”的教學是其中一重點內容，是學生認識數的主要目標之一，同時也是學生口算10以內加法的重要基礎。一直以來，本人正是本著這種認識，這種宗旨去實施教學的，直到后來，人教版新教材的逐步推行，突然發現“數的組成”這一內容雖然本質上還是數的組成，但在表現形式上，至少在小標題的命名上，不再叫“數的組成”，而是叫“分與合”。起初，對為何要作這一更改，我百思不得其解。隨著教學的深入，才慢慢體會到這個“分與合”的奧妙所在，意義之深遠。

首先，在命名上“數的組成”相比“分與合”意義偏狹，它體現的僅僅是“合”──數的組成，兩個數合成某一個數，而忽略了“分”──數的分成。雖然我們在教學時也兼顧了數的分成，涉及到了一個數分成某個數和另一個數，但它的命名是有所側重的，可能會造成我們教與學的側重與偏頗。但“分與合”是并列關系的，分與合地位并重，就“分”“合”雙修，兼顧了數的組成與分成的教學，讓師生能從分、合兩方面都引起重視。

其次，“數的組成”是我們計算加、減法的重要基礎，我們在初學加、減法時，想數的組成進行口算是重中之重，但也僅僅停留在這個層面而已。而“分與合”則不光是我們計算加、減法的重要基礎，更重要的是它是一種數學思想──“分與合”的思想，它是我們理解加、減法，理解乘、除法，是我們應用四則運算解決實際問題的根本所在。

從事小學數學教學的老師們大概都有一個體會：小學數學基礎知識不難教、學生也不難學，難的是怎么靈活運用我們所學的數學知識解決各種各樣的實際問題。而解決問題最關鍵的是分析問題中復雜的數量關系，而正確分析復雜的數量關系的前提就是掌握最基本的數量關系。怎樣更簡單、更系統的理解、把握我們小學階段最基本的數量關系呢？之前，我也曾不斷地思索、總結，但總覺不夠完美、不夠簡潔。隨著“分與合”這一小標題的提出，結合我對它的理解與思考，猛然發現“分與合”才是我需要的。“分與合”三個字，多簡潔的概括、多辯證的概括。我個人理解，“分與合”是對我們小學數學四則運算意義理解的升華，是對數學實際問題各種基本數量關系最簡潔的概括。

加法，把兩個數合并成一個數的運算，是“合”。

減法，加法的逆運算，把一個總數分成一個數和另一個數，是“分”。正是合與分意義的互逆，才有加、減法運算的互逆。（在課堂上我就用雙手的合攏與分開來形象的展示合與分，幫助學生理解加、減法的意義）

乘法，求幾個相同加數和的簡便運算，是“同數‘合”。

除法，乘法的逆運算，把一總數平均分成幾個相同的部分數，是“平均‘分”。也正是“同數‘合”與“平均‘分”意義的互逆，才有乘、除法運算的互逆。

有了對四則運算意義理解的升華，對于數學實際問題種種基本數量關系我也作出如下概括：

①部分數“合”成總數的關系，用加法解決：

例：一次植樹活動中，五年級植樹96棵，六年級植樹120棵，五、六年級共植樹多少棵？

*五、六年級植樹棵數兩個并列的部分數相合；

一次愛衛活動中，四年級掃街40米，五年級比四年級多掃16

米，五年級掃街多少米？

*同四年級相比，相同部分數與多掃部分數相合；

一次愛心捐贈中，小明將自己積攢的零花錢捐出80元后，還剩16元，小明同學一共積攢了多少零花錢？

*捐贈部分數同未捐部分數相合。

②總數“分”成部分數的關系，用減法解決：

例：一次安全知識競賽中，六年級男、女隊共答對了86題，其中男隊答對了40題，女隊答對了多少題？

*答對題總數分成男隊部分數和女隊部分數；

搶修一條公路，甲隊修了1200米，乙隊修了800米，乙隊比甲隊少修多少米？丙隊修的比甲隊少300米，丙隊修了多少米？

*同甲隊相比，甲隊修路總數分成（同乙、丙隊）相同部分數和少修部分數，不同的是一個求少修部分數，一個求相同部分數；

二年級今天的寫字作業是一共寫20個大字，小華已寫了15個，還要寫幾個？小花還有6個未寫，小花已寫了多少個？

*作業總數分成已寫部分數和未寫部分數，區別是一個求未寫部分，一個求已寫部分。

③若干個相同部分數合成總數的關系，用乘法解決：

例：幸福小學開展幫扶活動，每位老師都要幫扶5名差生，幸福小學共有12個老師，此次活動一共可幫扶多少名差生？

*12個相同部分數（5名）相合；

新希望小學三年級有27名留守兒童，四年級留守兒童是三年級的3倍，新希望小學四年級有多少名留守兒童？

*3個相同部分數（27名）相合。

④總數平均分成若干個（份數）相同部分數（每份數）的關系，用除法解決：

例：幸福新村計劃2018年給本村的5個生產小組投入120萬元修建光伏發電機組，平均每個小組要投入多少萬元？

*投入總數（120萬元）平均分成5個相同部分數，也就是將投入總數平均分成5份，求每份數；

陽新縣城關實驗小學學生總數是5400人，富川小學學生總數是3600人，陽新縣城關實驗小學學生總數是富川小學的幾倍？

*實驗小學學生總數平均分成了多少個相同部分數（3600人），也就是每份是3600人，求份數（求5400里有多少個3600）。

隨著五、六年級分數的學習，分與合的思想又延伸到了數的認識上：把單位1平均分成若干份，取這樣的一份或幾份的數叫分數，是“平均‘分”的產物。那么對于六年級學習的分數乘除法，用“分與合”來理解和體會，就是分合思想的疊加了。如60× ，則是將60按分數的意義平均分成5份，再按乘法的意義2份這樣每份數相合；而60÷ ，則是將60按除法的意義平均分成2份，再按分數的意義5份這樣每份數相合，都是先分再合，只不過分合的意義不同。我們分數乘除法算理的理解不就是這種分合思想的體現嗎？我就有一位學生對分數乘除法問題的建模不夠，剛開始解決分數問題時總是用這種分與合的思想來解答：張大爺去年種植棉花收入了21000元，他將其中的 存入銀行，張大爺要存入銀行多少錢？列式：21000÷7×5=15000（元）。

有了以上的理解，我試著將這種分合思想編成小歌謠，來結束我的諸多啟示：

小學數學奧妙多，

分與合來很重要，

合是加法分是減，

同數相合用乘法，

平均分來須得除，

分合分清莫要錯。