一種新型3-RPS并聯機構的剛度特性分析

（山東理工大學 機械工程學院，淄博 255049）

0 引言

并聯機構由于并聯支鏈的存在，使其具有承載能力強、定位精度高等一系列優點[1～3]。隨著研究人員對并聯機構研究的深入，人們發現機構靜剛度對機構的定位精度等方面具有重要影響[4]。目前，針對并聯機構靜剛度的分析方法有有限元法[5]、解析模型法[6～8]。欒玉亮等[5]基于有限元法對3-PPSR柔性并聯機器人的靜剛度進行了分析。對于解析模型法，最早是由Gosselin[6]基于機構速度雅克比矩陣提出的靜剛度解析模型。在此基礎上，Wang等[7]對一種滑塊式并聯加載機構的靜剛度進行了分析。趙福群等[8]提出了一種支鏈含有閉環單元的3-5RS并聯機構，基于速度雅可比矩陣建立了該機構的靜剛度模型。

有限元法雖然方便快捷，但是無法建立機構靜剛度與機構尺寸參數、位姿參數之間的數學關系。對于以3自由度為代表的少自由度并聯機構，其速度雅可比矩陣并非6階方陣[9～11]。因此，基于速度雅可比矩陣所建立的靜剛度解析模型不能定量描述動平臺非自由度方向上的位姿變形量。胡波等[12]基于虛設機構法建立了傳統3-RPS并聯機構的完整靜剛度模型，但對于其他同類型的少自由度并聯機構，文獻對如何虛設運動副并未給與詳細說明，該方法在實際應用過程中也會受到一定限制。

對于轉動副軸線平行布置的新型3-RPS并聯機構，本文從支鏈單元柔度矩陣角度出發，所建立的機構靜剛度模型能夠完整描述動平臺在機構自由度方向以及非自由度方向上的位姿變形量，更加符合動平臺位姿變形的實際情況，尤其適用于少自由度并聯機構的靜剛度分析。

1 3-RPS并聯機構結構描述

3-RPS并聯機構由動平臺、定平臺以及連接動平臺和定平臺的三條支鏈組成，如圖1所示。

圖1 3-RPS并聯機構簡圖

每條支鏈由下往上分別為轉動副R、移動副P和球鉸副S，動力輸入為各支鏈移動副。轉動副按頂角為120°的等腰三角形布置（腰為R1R2和R1R3），球鉸副轉動中心按等邊三角形布置，并且等邊三角形S1S2S3的高與等腰三角形R1R2R3底邊高相等。以定平臺底邊R2R3的中點O1為原點建立定坐標系O1x1y1z1，以動平臺幾何中心點O2為原點建立動坐標系O2x2y2z2。轉動副軸線平行布置且與定坐標系軸O1y1平行。因此，由機構的結構關系可知，動平臺的自由度為沿坐標系軸O1x1、O1z1的平移和繞坐標系軸O2y2的轉動。動平臺的位姿可表示為[x，z，θ]T，其中x和z為動平臺參考點O2在定坐標系中的坐標分量，θ為動平臺外法線與定坐標系軸O1x1的夾角。

2 單條支鏈末端變形量

在建立機構靜剛度模型過程中，將定平臺和動平臺視為剛體，僅考慮三條支鏈彈性變形，且忽略各運動副的間隙和摩擦對機構靜剛度模型的影響。因為球鉸副S對構件j的末端存在約束力，支鏈發生彈性變形，如圖2所示。構件i和構件j的變形屬于彈性極限范圍之內的小變形，因此符合小變形疊加原理。在坐標系Ojxjyjzj中，整條支鏈在點Oj處的變形量可由構件i和構件j的變形量疊加而成。

圖2 單條支鏈受力變形

2.1 構件j的變形量

為了推導過程中表達的方便性，現對過程中出現的符號做出如下規定，為構件B對構件A在c點的作用力，為柔性構件A上c點處的變形量，為剛性構件B上c點處的位移量。

在坐標系Ojxjyjzj中，設動平臺（構件k）在點Oj處對支鏈的作用力為因此把構件i剛化時，構件j在點Oj處的變形量可由結構力學中的單元柔度矩陣進行定量分析，即：

式(1)中，Cj為構件j的單元柔度矩陣，根據其局部坐標系的建立情況可得：

式(2)中，Lj為構件j的長度，mm；E和G分別為構件j的彈性模量和切變模量，GPa；Ix和Iy為構件j繞其局部坐標系Ojxjyjzj對應坐標軸的轉動慣量，kg.mm2；IP為構件j對其局部坐標系坐標原點Oj的極慣性矩，kg.mm2。

2.2 構件i的變形量

在坐標系Oixiyizi中，將構件j視為剛體而構件i為柔性體時，構件i在點Oi處的變形量為：

式(3)中，Ci為構件i的單元柔度矩陣，其建立方法與式(2)同理。為求得力需要對構件j進行受力分析。

以構件j為研究對象，在節點Oi處建立如下力平衡方程：

由式(4)可得：

由式(3)和式(5)得：

根據理論力學中力的平移定理，將構件k在點Oj處對構件j的作用力平移到點Oi處為：

力平移時，在點Oi處所附加的力偶矩為：

由于點Oi是構件i和構件j的公共節點，由式(6)和式(7)可得：

構件i的彈性變形引起了構件j的位移變化，但構件j在點Oi處和點Oj處的位移變化量是不同的，根據理論力學中剛體上任意兩點的運動規律可得：

式(9)中，

將式(8)代入式(9)中可得：

2.3 單條支鏈末端變形量

在坐標系Ojxjyjzj中，基于式(1)和式(10)，根據小變形疊加原理可得單條支鏈的末端變形量為：

3 機構整體剛度矩陣

對于單條支鏈，在坐標系Ojxjyjzj中，由于點Oj是構件j和構件k（動平臺）的公共節點，則：

其中θ為軸O1x1和軸Ojxj的夾角，且在坐標變換過程中從軸O1y1正向看逆時針方向為正。

在定坐標系中，構件k的位移可以由剛體上任意一點的位移進行描述，且構件k在點Oj處和點O2處的位移量存在如下關系：

式(14)中，

由式(11)～式(14)可得：

對于全部支鏈，根據式(15)可得：

由式(16)可得構件k對各支鏈的作用力為：

根據理論力學中力的平移定理，將各支鏈在點Oj處對構件k的反作用力由點Oj平移到構件k的幾何中心點O2處：

式(18)中：

力的平移過程中，在點O2處所附加的力偶矩為：

當機構靜止時，動平臺受力平衡，由式(17)、式(18)可在構件k的幾何中心點O2處建立如下力平衡方程：

其中Ffz為動平臺所受工作載荷：

由式(19)可得：

其中K為機構的靜剛度矩陣。

4 算例分析

機構參數如下：構件i和構件j的材料均選用45號鋼，其彈性模量E=200GPa，切變模量G=80GPa。動平臺邊長為300mm，定平臺底邊長為900mm，各支鏈轉動副到對應移動副的距離為360mm。構件i的橫截面積為2500mm2，轉動慣量Ixi=50154.85kg.mm2，Iyi=50157.46 kg.mm2。構件j的橫截面積為900mm2，對應的轉動慣量為Ixj=18476.39kg.mm2，Iyj=18476.39kg.mm2。設工作載荷為[100N，100N，100N，80N.m，80N.m，80N.m]T，任選動平臺位姿[0mm，550mm，90°]T，則在定坐標系O1x1y1z1中，動平臺的理論位姿變形量和基于ANSYS的測量值如表1、表2所示。

表1 線變形理論值和ANSYS測量值對比

表2 角變形理論值和ANSYS測量值對比

由表1、表2可知，雖然機構只有三個自由度，但動平臺在機構非自由度方向上也存在位姿變形。動平臺參考點的線位移在沿軸O1y1的方向上最大，動平臺的角位移在繞軸O1y1的方向上最大。動平臺的位姿變形以線變形為主。

為分析機構靜剛度在定姿態工作空間中的變化情況，令x的變化范圍為-50mm～50mm，z的變化范圍為500mm～600mm，θ=90°，該機構的靜剛度特性曲面如圖3～圖8所示。

圖3 機構沿軸O1x1線剛度

圖4 機構沿軸O1y1線剛度

圖5 機構沿軸O1z1線剛度

圖6 機構繞軸O1x1角剛度

圖7 機構繞軸O1y1角剛度

圖8 機構繞軸O1z1角剛度

由圖3～圖8可知，機構靜剛度隨動平臺參考點x值的改變而平穩變化，但是z值的改變使機構沿軸O1y1和O1z1的線剛度、繞軸O1x1和O1y1的角剛度存在波動。

5 結論

針對本文提出的新型3-RPS并聯機構，從單元柔度矩陣角度出發，結合小變形疊加原理、剛體上任意兩點的運動規律以及力的平移定理，建立了該機構的靜剛度模型。根據數值算例中動平臺的理論位姿變形量和ANSYS的有限元測量值驗證了該建模過程的正確性。

基于靜剛度模型繪制了機構在定姿態工作空間中的靜剛度特性曲面，并給出了機構靜剛度的變化規律。整個分析過程并未基于雅可比矩陣，能夠定量描述動平臺在機構自由度和非自由度方向的位姿變形量，對于其他少自由度并聯機構的靜剛度建模分析同樣具有普遍適用性。