引導學生關注數學運算能力的自育
——例談培養學生數學運算素養的實踐

安徽

顏 軍

浙江

余繼光

(作者單位：安徽省滁州市明光市第二中學 浙江省紹興市柯橋中學)

引導學生關注數學運算能力的自育
——例談培養學生數學運算素養的實踐

安徽

顏 軍

浙江

余繼光

一、數學運算能力的現象與關注

1.最近根據某校高三多項統考數學解答題答題卡(幾千份)仔細逐題逐個思維鏈的研究統計數據顯示，80%以上的解題失誤是由于運算出錯(數字計算、代數式計算、方程求解、不等式求解、運算性質的運用、計算方法的繁雜等).

2.為什么會出現大面積如此嚴重的數學運算能力下降現象？一是低年級階段計算器的普遍使用，數字運算中的結構意識未訓練，小學數字運算還沒有畢業就升學到初中；二是初中階段，在減負指標促使下，減少了代數式變形的訓練，代數式運算的結構意識也非常弱，初中數學代數式運算還沒有畢業就升學到高中；初高中雖有一周時間的銜接，但無法在短時間內彌補指數運算和對數運算需要螺旋上升才能進入學生的腦海中的現狀.為此特呼吁教材專家在課程大綱制定中進行調整，使小學、初中、高中直到大學，整體上設計好數學知識層次要求，傾聽一線數學教師的實踐要求.

3.數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題.主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果.運算是構成數學抽象結構的基本要素，是演繹推理的重要形式，是得到數學結果的重要手段.數學運算是計算機解決問題的基礎.通過數學運算核心素養的培養，學生能夠提高解決數學問題和實際問題的能力，提升邏輯推理能力，形成程序化思考問題的習慣，養成實事求是、一絲不茍的科學精神.

二、數學運算能力的引導與策略

為了彌補上述已經出現在數學運算中的嚴重問題，一線教師在課堂教學中采取了一系列的補救措施，使教學目標能夠艱難地落實.

1.引導學生關注自己的運算能力

不同層次的學生運算能力不同，統計調查表明，特別優秀的學生(如春季生、實驗班、競賽班等)在運算能力方面明顯優于普通學生，因此，對于普通學生引導其關注自身的運算能力，如運算過程在草稿上落筆，以便發現自己是在“運算法則、運算方向、運算方法、運算程序”中的哪一個環節上問題更多，以便采取對策，及時糾正或調整.

2.在關鍵處強化學生的運算能力

在方程、不等式求解中，既強化規則，又提倡靈活；在函數性質教學中，加大代數式變形能力的訓練量；在指數與對數運算教學中，加大教學力度與訓練量；在三角函數教學中，加大三角恒等變換與變形的訓練量；在平面向量教學中，注意形的運算不能代替數的運算；在空間圖形教學中，三大角的坐標數字運算要快準；在圓錐曲線的方程與性質教學中，強化代數式運算.

3.估算、簡算、計算順序不能變

識字是語文的基礎，運算是數學的基礎，沒有了基礎，問題層出不窮.識字的關鍵是拼音，運算的關鍵是順序，比如加減乘除與括號的混合運算，就要按照運算規則的順序執行，數學運算中能心算就不要筆算，能估算就不要計算，能簡算就不要繁算，如要計算不錯盡量落地(草稿)生根，持之以恒，運算的正確率才能提升！

三、數學運算能力的自育與體驗

數學運算能力的自我培養就是在教師的引導下，學生學會自己監控數學運算中可能出現的障礙，如數字加減乘除時不守規則；代數式變形運算時不化簡而繁算；解方程與不等式時不化簡且不檢驗；指數與對數運算時不遵守運算規則；三角函數求值或三角恒等變換時不注意運算方向；所有運算不在草稿紙上落筆等，并及時糾正，學會比較一個問題的兩種算法(繁算與簡算)；養成先化簡后計算的習慣；面對復雜結構運算時先識別再計算；多種運算途徑時，先明確方向再計算；當算式繁雜時，整體把握簡化運算.

1.繁算與簡算比較

解法二：設C(x1,y1)，D(x2,y2)，

【解讀】解法一，從代數角度理解題意，借助于方程思想求解，過程繁雜，但彰顯通法運算能力；解法二，抓住切線方程的特點，借助于代數與幾何關系，減少了部分運算，更顯示綜合分析能力，直線與圓錐曲線的綜合問題離不開復雜的運算過程，只有駕馭了這一能力，才能遇“事”(運算障礙)不慌！

2.先化簡后再計算

【解讀】這是2016年浙江高考數學圓錐曲線題中的一個片段，專家多次強調要在圓錐曲線問題中檢測考生的運算能力，其中解方程與解不等式是主旋律，上述的每一步都是學生在初高中數學學習中必須掌握的內容，但在綜合運算時，由于運算方向不明確，變形能力弱而導致止步不前，失分嚴重.

【學習對策】不論是方程求解還是代數式變形，復雜的代數式運算中，第一有公因式要首先提出來或約去；第二遇無理式化有理式、分式化整式、多元化一元都是必須堅持的優先原則；第三不斷地觀察所面對的復雜代數式中的特點，以便采取下一步的運算方向.

3.先識別后再計算

代數式的結構識別，比如方程組中是否有特殊結構，它隱藏著什么？

解法一：代入消元思想(求解過程相當復雜).

解法二：加減消元思想.

【解讀】這是一個在探求長腿上樓梯的方法數時遇到的一個方程組，此方程組最大特點是字母具有對稱性或稱輪換式，不僅如此，每個方程之間聯系緊密，結構特點明顯，開始求解時，若運用代入消元思想，不僅過程相當復雜，而且難到無法表達問題解的程度，此例充分說明方法對于求解方程組或不等式的重要性.

4.明確方向再運算

( )

分析：根據題意，設PF1=r1，PF2=r2，可列方程組

現象二：配方出錯為4c2=(r1-r2)2-3r1r2.

【解讀】初中學到的解方程及代數式變形方法，到高中后，由于方程或代數式的復雜程度提升，在變形過程中每一個細小的失誤都可能導致大的解題失敗，上述三個現象都說明了這一點.

【對策】把握運算方向；正確使用運算規則；時時觀察代數式的結構特點，不論所面對的數學運算式子有多復雜，都要堅持這三條.

5.整體把握并檢驗

(Ⅱ)若sinC+sin(B-A)=3sin2A，求△ABC的面積.

則a=2RsinA=2，b=2.

這種方法運算量大，運算過程復雜，若挖掘條件時整體把握運算方向，可簡化過程.

解得a=b=2.

(Ⅱ)因為sinC=sin(B+A)，所以sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=2sinBcosA，

所以2sinBcosA=3sin2A=6sinAcosA(*)

因此cosA=0或sinB=3sinA，

【解讀】高三統考此題，解方程(*)中有78.6%的學生漏掉cosA=0，一方面可能有許多學生錯誤地判斷cosA≠0，另一方面可能許多學生已經養成約分習慣，因此，整體把握試題并進行檢驗很重要.

四、總結

(作者單位：安徽省滁州市明光市第二中學 浙江省紹興市柯橋中學)