淺析兩大類型的復合方程及其解題策略

江蘇

常 蓮

(作者單位：江蘇省常州市前黃高級中學國際分校)

淺析兩大類型的復合方程及其解題策略

江蘇

常 蓮

以復合方程為載體的問題一直是高考的一大熱點.這類復合方程問題有效考查了函數與方程、數形結合、轉化與化歸、分類討論等數學思想，同時考查了學生作圖、計算與邏輯推理等綜合能力，進而能夠很好地提升數學核心素養.一般地，設y=f(u),u=g(x),當x在u=g(x)的定義域Dg中變化時，u=g(x)的值在y=f(u)的定義域Df內變化，因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系，記為y=f(u)=f(g(x))稱為復合函數，其由外函數y=f(u)和內函數u=g(x)復合而成.其中x稱為自變量,u為中間變量,y為因變量(即函數).

根據復合函數的定義，我們把形如“關于x的方程f(g(x))=m(m為實常數)”稱為復合方程，其由外方程f(u)=m和內方程u=g(x)復合而成.下面主要介紹復合方程中的兩大類型及解題策略，使學生較好的掌握兩大復合方程的類型以及相應的解題策略，教師在教學中可以不斷地滲透數形結合、轉化與化歸等數學思想，從而較好的提高學生的數學核心素養.

一、同種復合方程迭代

“f(f(x))=m”型復合方程，其由外方程f(u)=m和內方程f(x)=u復合而成，內方程和外方程都是采用同一個對應法則，研究這類復合方程的根的情況，通常可以引導學生按照由外而內原則思考，流程如下圖：

外方程f(u)=m根的情況

研究函數y=f(u)與函數y=m的圖象的交點情況

由m的情況，確定交點坐標中u的取值情況

研究方程f(x)=u根的情況

研究函數y=f(x)與函數y=u的圖象的交點情況

【解析】令f(x)=u，

∴原方程可化為f(u)=m恰有5個不同的實數解，

將研究方程f(u)=m根的情況轉化為研究函數y=f(u)與函數y=m的圖象的交點情況.

綜上，0

【解析】令f(x)=u，

∴原方程可化為f(u)=-1有4個不同的實數解.

【評注】因為同種復合方程的內方程和外方程采用同樣的對應法則，所以解題時共用的是同一個函數y=f(x) 的圖象，此時正確作圖與理解圖象就顯得至關重要，然后充分利用數形結合進行分類討論，合理地建立分類標準，問題就會迎刃而解.

二、不同種復合方程迭代

“g(f(x))=m”型復合方程，其由外方程g(u)=m和內方程f(x)=u復合而成，內方程和外方程采用不同的對應法則，筆者研究此類復合方程發現，除了采用由外而內原則，多數內方程f(x)=u的根的情況確定，此時可以引導學生按照由內而外原則思考，流程如下圖：

1.“af2(x)+bf(x)+c=0”型復合方程，外方程是二次方程

【解析】令f(x)=u∈R，∴2u2+2bu+1=0恰有8個不同的實數解.

綜上，實數k的取值范圍為(0,+∞).

【評注】因為外方程是二次方程的復合方程，所以教師在講解此類題時，應該充分運用二次方程根的判別特征，進一步轉化為二次函數的零點分布問題.

2.“f(g(x))=m”型復合方程，外方程不是二次方程

【解析】令f(x)=u,u∈(-∞,1]，則g(u)=m，

【變式】已知函數f(x)=sinx,g(x)=3x2-x, 若方程g(f(x))=m在x∈[0,2π]上有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍.

(作者單位：江蘇省常州市前黃高級中學國際分校)