含參數不等式恒成立問題的破解方法

安徽

張 威 劉昌敏

(作者單位：安徽省蚌埠市五河縣高級中學)

含參數不等式恒成立問題的破解方法

安徽

張 威 劉昌敏

在高考題中，每年都要設計一道函數大題，其中有一類是研究不等式在一個區間上成立時某個參數的取值范圍問題，這類問題利用常見的基本初等函數的知識已經無能為力，此時就需要根據導數的方法進行解決．使用導數的方法研究不等式恒成立的基本思路是構造函數，通過導數的方法研究這個函數的單調性、極值和最值，利用這些函數性質推斷不等式成立的情況．因為導數的引入，為函數問題的解決提供了操作工具.因此入手時大家比較清楚，但是深入解決函數與不等式相結合的題目時，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結合點，不清楚解決技巧.本文將呈現出針對解答題恒成立問題的幾種類型和破解方法.

【方法一】分離參數，構造新函數，求其最大值或最小值

此方法的具體解題步驟是：①分離參數；②構造新函數，求其導數；③判斷新函數的單調性(一般通過一次求導或二次求導進行判斷)；④利用其單調性求出該函數所需要的最值；⑤根據不等關系，求出參數范圍.

(直接分離參數)

(構造新函數)

g′(x)=x[(x-1)ex-e2]，

(求導判斷單調性)

令h(x)=(x-1)ex-e2,h′(x)=xex≥0，

(再次構造新函數，進行二次求導)

所以h(x)=(x-1)ex-e2在[0,+∞)上單調遞增，

且當x∈(0,2)時，h(x)<0，即g′(x)<0，

當x∈(2，+∞)時，h(x)>0，即g′(x)>0，

所以g(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,+∞)上單調遞增，

所以g(x)≥g(2)=-e2，所以a≤-e2.

(根據單調性求其最小值，得到參數范圍)

【點評】此題思路明確，難度不大，關鍵點和難點是：①如何求出所構造的新函數的單調性；②一次求導后如何再次構造出新函數(有時并不是一次求導后的函數，可能選取的只是其部分解析式).

(Ⅰ)當a<0時，求函數f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若函數f(x)在x∈[1,e]上的最小值為4，求a的值.

通過上述例題和變式，可以發現利用分離參數求解含參恒成立問題，避免了對參數的討論，使問題變得更明朗，但有時也會遇到分參后，構造的新函數在端點處函數無意義，此時即使得到新函數的單調性，也無法求出最值，那么有的學生會利用大學的知識洛必達法則求其在端點處極限值，但是洛必達法則在高考中屬于超綱知識，還是要慎用，那么還有什么樣的方法可以解決這類問題呢？請繼續看下面的方法.

【方法二】分離函數，切線搭橋，柳暗花明

此方法的具體解題步驟是：①分離函數；②求切線方程；③證明兩個函數的不等關系；④得到滿足充分條件的參數范圍；⑤再證明出必要條件的參數范圍不滿足條件.

【例2】(2006·全國卷Ⅱ理·20)設函數f(x)=(x+1)·ln(x+1).若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍.

【解析】為了減少計算，進行如下換元：令t=x+1≥1，

所以原命題“對?x∈[0,+∞)，都有f(x)≥ax成立”

等價于“對?t∈[1,+∞)，恒有tlnt≥a(t-1)成立”.

(分離函數)

令g(x)=xlnx(x≥1)，則g′(x)=1+lnx，所以g(x)在[1,+∞)上單調遞增，

因為g′(1)=1,g(1)=0，所以g(x)在點(1,0)處的切線方程為y=x-1，

(求切線方程)

令h(x)=xlnx-x+1，則h′(x)=lnx，所以h(x)在[1,+∞)上單調遞增，

所以h(x)≥h(1)=0，所以xlnx≥x-1，當且僅當x=1時，取等號，

所以tlnt≥t-1，當且僅當t=1時，取等號，

(證明不等關系)

所以若對?t∈[1,+∞)，恒有tlnt≥a(t-1)成立，則a≤1一定滿足，

又當a>1時，令F(t)=tlnt-a(t-1),F′(t)=1+lnt-a，

(判斷必要性)

可得F(t)在(1,ea-1)上單調遞減，所以當t∈(1,ea-1)時，tlnt

綜上，a≤1.

【點評】此題如果利用方法一強行分參，求到最后可以發現，構造的新函數在端點處無意義.利用此方法很好的避免了對參數的討論，同時也規避了在端點處無意義的情況.利用此法的關鍵是利用切線方程搭橋得到滿足充分條件的參數范圍，再構造新函數判斷必要條件的參數范圍不滿足條件.有的學生認為借助函數的圖象，不是顯然成立嗎？還有必要進行必要性的判斷嗎？在高考的解答題中，數形結合思想解題是不嚴謹的解法，故請讀者慎用數形結合思想解主觀題.

【變式訓練】(2007·全國卷Ⅰ理·20)設函數f(x)=ex-e-x.

(Ⅰ)證明：f(x)的導數f′(x)≥2 ；

(Ⅱ)若對所有x≥0都有f(x)≥ax成立，求a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)略.(Ⅱ)由題知，f′(x)=ex+e-x，所以f′(0)=2，

所以f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，

令g(x)=ex-e-x-2x，g′(x)=ex+e-x-2，由(Ⅰ)可知g′(x)≥0恒成立，

所以g(x)在[0,+∞)上單調遞增，即ex-e-x≥2x，當且僅當x=0時，取等號，

所以當對所有x≥0，都有f(x)≥ax成立時，可得a≤2滿足條件，

又當a>2時，令h(x)=ex-e-x-ax,h′(x)=ex+e-x-a，

綜上,a≤2.

【點評】此題和例2解法一樣，解題的關鍵點還是要把握解法的充要性，有的學生可能只進行充分性解題，沒有進行必要性的判斷，那么這個解法是不完整的，在考試中，只能得一半分.

上述方法如果運用到客觀題中，再結合數形結合思想，那么就沒有必要進行必要性判斷，但是主觀題中，還是必須進行必要性判斷，保證解法的嚴謹性.下面請讀者繼續品讀破解恒成立問題的其他解法.

【方法三】利用有效的“探路”點，得到滿足條件的必要條件，減少對參數的討論次數

高考中有的恒成立(任意性)問題進行直接分參求解時，往往計算量很大，可能有的題目利用高中的知識無法解決，所以只能對其直接構造，對參數進行分類討論，我們知道對參數進行分類討論是一個煩瑣和易錯的過程，如何減少對參數的討論次數就顯得至關重要.此方法就是利用特殊點函數值，減少對參數的討論的次數.具體解題步驟是：①直接構造新函數；②利用有效的“探路”點，求出參數的一個必要條件；③在②中求出的必要條件下對參數進行討論，求其單調性、最值；④下結論.

【例3】(2017·全國卷Ⅱ文·21)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性；

(Ⅱ)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)略.(Ⅱ)由已知可知，當x≥0時，ax+1+(x2-1)ex≥0恒成立，

令g(x)=ax+1+(x2-1)ex，由題意可得g(1)≥0恒成立，即a≥-1，所以滿足條件a的集合是{a|a≥-1}的子集，故只需討論a≥-1的情況即可.

(利用端點值，把參數范圍縮小，減少討論情況)

則g′(x)=a+(x2+2x-1)ex，設h(x)=a+(x2+2x-1)ex，

則h′(x)=(x2+4x+1)ex>0，所以g′(x)在[0,+∞)上單調遞增，

又g′(x)min=g′(0)=a-1，當a≥1時，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,+∞)上單調遞增，所以g(x)≥g(0)=0，此時滿足條件；

當-1≤a<1時，g′(0)<0,g′(1)=2e+a>0,

(此時發現縮小a的范圍的好處)

所以g′(0)·g′(1)<0,且g′(x)在[0,+∞)上單調遞增，所以存在唯一x0∈(0,1)，

使得g′(x0)=0，所以g(x)在[0,x0]上單調遞減，在[x0,+∞)上單調遞增，

所以當x∈[0,x0]時，g(x)≤g(0)=0，此時不滿足條件.

綜上所述,a≥1.

【點評】此類型題目，思路很明確，就是構造函數，分類討論求單調性、最值.但是如果不利用特殊點進行有效的“探路”，那么就復雜多了，在高考這個爭分奪秒的時刻，能使得計算簡便、減少解題時間是多么的難能可貴.對于這個有效的“探路”點的選取有時選擇區間端點，有時是其他點，無論是哪個點，只要能達到減少對參數討論的次數，那么它都是有效的“探路”點.

(Ⅰ)求a的值及f(x)的最大值；

(Ⅲ)設g(x)=b(ex-x)，若g(x)≥f(x)恒成立，求實數b的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)略.(Ⅱ)略.

(Ⅲ)“不等式g(x)≥f(x)恒成立”等價于“當x>-1時,F(x)=g(x)-f(x)≥0恒成立”，

由題意可得,F(0)≥0，即b≥0，

即滿足條件的b的集合是{b|b≥0}的子集，接下來只需要考慮b≥0的情況即可.

對b≥0進行分類討論，即可求出b≥0.

【點評】此題選取的有效的“探路”點并不是區間端點值，而是x=0，極大地簡化了計算.

方法三的思想給了我們很大的啟發，任何題目的解法并不是一成不變，但是大致的解題方向一定有通法可循，關鍵在通法的基礎上要形成自己的解題意識，要形成方法的遷移，只有這樣，在高考中才能立于不敗之地.

【方法四】直接構造函數，對參數分類討論，巧借端點值，得到參數范圍

對于方法三我們可以利用有效的“探路”點，減少對參數的討論次數，但是有的題目選取的點不能達到其有效性，或者很難找到有效的“探路”點，此時只能對參數進行全部討論，具體的步驟和方法三一樣.

(Ⅰ)設a>0，討論y=f(x)的單調性；

(Ⅱ)若對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)略.

(Ⅱ)直接對函數f(x)進行求導有點麻煩，故對其兩邊取對數，再構造函數進行求解.

令g(x)=ln(x+1)-ln(1-x)-ax，

①當0≤a≤2時，ax2+2-a>0，所以g(x)在(0,1)上單調遞增，

即g(x)>g(0)=0，此時滿足條件；

綜上所述,a≤2.

【點評】1.此題通過解析，可以發現在x∈(0,1)內很難找到有效的“探路”點，使得參數a≤2，即使找到一點使得a≤t(t>2)，通過解析可以發現x∈(2,t)這一區間依然需要進行討論，達不到減少對參數的討論次數；2.通過對端點值代入，可以得到g(0)=0，此時只要g(x)在(0,1)上單調遞增，就一定滿足條件.而如果在(0,1)范圍內先減后增或單調遞減，此時都不滿足條件.若在(0,1)范圍內，先單調遞增，再單調遞減，只要在單調遞減的區間內找到至少一個x，使得g(x)<0，也是不滿足的.

【變式訓練】(2010·全國新課標卷理·21)設函數f(x)=ex-1-x-ax2(a∈R).

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若當x≥0時,f(x)≥0，求a的取值范圍.

【點評】此題和例4的特點一樣，只是在求解過程中，需要利用ex≥1+x這個結論進行放縮.

(作者單位：安徽省蚌埠市五河縣高級中學)