做題與變題
——教師自我提升的有力支撐

山東

尹承利

(作者單位：山東省泰安市泰安英雄山中學(xué))

做題與變題
——教師自我提升的有力支撐

山東

尹承利

數(shù)學(xué)教師的成長(zhǎng)和自我提升離不開題目，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要題目，在題目的不斷變化中可以尋找到問題的真諦.在課堂上，教師對(duì)題目的講解如行云流水、得心應(yīng)手，這凝聚了教師課下做題、變題的心血.教師通過做題和變題，可以體會(huì)問題的價(jià)值和意義，是自我提升教學(xué)境界的有力支撐.

一、做題

數(shù)學(xué)教師離不開做題，做題是數(shù)學(xué)教師的基本功.通過不斷地做題，能提升數(shù)學(xué)教師的思維品質(zhì)，并能幫助教師在課堂上更好地教學(xué)，真正達(dá)到“要給學(xué)生一杯水，教師應(yīng)有一桶水”的境界.那么，做什么題，做多少題，怎樣做題是有很大區(qū)別的.其實(shí)，教師應(yīng)首先做透教材中的題目和高考真題.教材上的題目是編寫者配合基本知識(shí)精心編擬的問題，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，許多題目也是后面解決問題的工具.不少教師對(duì)教材上的題目疏于研究，這是本末倒置的表現(xiàn)，是不可取的.高考真題具有很強(qiáng)的典型性和思維性，是命題者精心設(shè)計(jì)的問題，是對(duì)考試大綱的具體詮釋，對(duì)教師很好地把握教學(xué)、復(fù)習(xí)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義和導(dǎo)向性，所以高考真題是教師必須做好、做透的好題目.當(dāng)然，教師做題應(yīng)倡導(dǎo)不急于看解析和答案，要在無解析、答案的狀態(tài)下思考分析，真正感受題目的本質(zhì)、體會(huì)題目的難易程度，這樣做題將使教師最貼近學(xué)生的實(shí)際，能真正體會(huì)到學(xué)生做題的感受，對(duì)教學(xué)會(huì)有很大的幫助.

【規(guī)律分析】平面向量既反映了數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)了幾何圖形的位置關(guān)系，從而將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來.向量有關(guān)問題的求解通常有兩種思路：一是“數(shù)化”，即利用平面向量的代數(shù)運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的方程、不等式等問題；二是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的特征直接進(jìn)行求解.

方法1.代數(shù)運(yùn)算方法

平面向量的代數(shù)運(yùn)算是指向量的線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘，運(yùn)算的結(jié)果還是向量)和向量的數(shù)量積運(yùn)算(運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)數(shù)量)，向量的代數(shù)運(yùn)算是最常見、最基礎(chǔ)的運(yùn)算，特別地，數(shù)量積運(yùn)算是向量實(shí)數(shù)化的橋梁.

解法1:利用數(shù)量積運(yùn)算

【點(diǎn)評(píng)】本解法從向量的模和夾角出發(fā)，巧妙地利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換求解，很富有創(chuàng)意.

方法2.坐標(biāo)運(yùn)算方法

向量坐標(biāo)法，即建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將問題用坐標(biāo)表示，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使問題簡(jiǎn)單化，程序化，坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)是目標(biāo)明確，思維難度小.

解法2:利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算

如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

【點(diǎn)評(píng)】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，我們可以把向量運(yùn)算代數(shù)化.將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，從而使許多問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算，使問題得以簡(jiǎn)化.本解法是通過建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)后轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量相等轉(zhuǎn)化求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用.

方法3.幾何方法

幾何方法就是捕捉向量“形”的特征，挖掘圖形中的幾何性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題.幾何方法往往能使難題變得簡(jiǎn)單.

解法3:利用向量的運(yùn)算法則

如圖，過C作OB的平行線交OA的延長(zhǎng)線于A′，作OA的平行線交OB的延長(zhǎng)線于B′.

【點(diǎn)評(píng)】本解法利用向量加法的平行四邊形法則，并結(jié)合三角形中的余弦定理，將問題幾何化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

方法4.利用向量三點(diǎn)共線定理和等積法

由S△AOC′+S△BOC′=S△AOB，得

【點(diǎn)評(píng)】本解法巧妙地構(gòu)造三點(diǎn)共線模型，并利用三角形的等面積法求解，思維獨(dú)特、匠心獨(dú)具，對(duì)拓展學(xué)生的解題思維頗有裨益.

模型提煉

這是一類高考中常出現(xiàn)的向量問題，相關(guān)的高考題還有：

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

【規(guī)律分析】解析幾何問題的本質(zhì)是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)，圖形問題代數(shù)化是解析幾何的本質(zhì).利用函數(shù)建模能為解答最值問題增添一抹亮色.解析幾何的關(guān)鍵在于找到最好的方法解決問題.借助數(shù)形結(jié)合，大膽運(yùn)用平面幾何相應(yīng)地性質(zhì)，相比用固定解題程序，則能更快地找到簡(jiǎn)捷的解題方法.即解析幾何問題要注重對(duì)問題本質(zhì)的提煉，并與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系(如平面幾何、向量、函數(shù)、方程、不等式等)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，就會(huì)有精彩的解答.

方法1.解析法視角

(Ⅱ)聯(lián)立直線AP與BQ的方程

所以|PA||PQ|=-(k-1)(k+1)3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力，通過表示|PA|與|PQ|的長(zhǎng)度，構(gòu)造函數(shù)f(k)=-(k-1)(k+1)3求解|PA|·|PQ|的最大值.

方法2.幾何法視角

解法2：構(gòu)建幾何模型，利用二次曲線的相切求解

(Ⅰ)略；

根據(jù)相交弦定理，得

根據(jù)圖形，當(dāng)以C為圓心的圓與拋物線相切于點(diǎn)P時(shí)，|CP|取得最小值.

設(shè)直線l與以C為圓心的圓與拋物線相切于點(diǎn)P(t,t2).由y=x2，得y′=2x，切線l的斜率為2t.

【點(diǎn)評(píng)】本解法運(yùn)用了平面幾何中圓的有關(guān)性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角為直角、圓中的相交弦定理等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合優(yōu)化思維、簡(jiǎn)化計(jì)算；然后利用公切線解決二次曲線相切問題、因式分解等技巧.其中對(duì)于三次式的因式分解是需要認(rèn)真領(lǐng)悟和掌握的.

解法3：構(gòu)建幾何模型，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解

同解法2，得|PA|·|PQ|=2-|CP|2.

則f′(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2.

令f′(x)=0，得x=1.

【點(diǎn)評(píng)】本解法與解法2相近，在運(yùn)用平面幾何中圓的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得最值.

解法4：構(gòu)建幾何模型，配方利用非正數(shù)的性質(zhì)求解

【點(diǎn)評(píng)】本解法沒有像解法3那樣，得到關(guān)于x的四次函數(shù)式后，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解最值.而是運(yùn)用常見的配方法解決了高次函數(shù)的最值問題.角度新穎，思維深刻，幾何背景搭臺(tái)，代數(shù)方法唱戲，實(shí)有創(chuàng)新.

方法3.向量法視角

解法5：構(gòu)建向量模型，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解或配方利用非正數(shù)的性質(zhì)求解

以下利用導(dǎo)數(shù)求最大值的過程同解法3或利用配方求最大值的過程同解法4.

方法4.參數(shù)法視角

解法6：構(gòu)建參數(shù)方程模型，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解或配方利用非正數(shù)的性質(zhì)求解

以下利用導(dǎo)數(shù)求最大值的過程同解法3或利用配方求最大值的過程同解法4.

【點(diǎn)評(píng)】此解法最為簡(jiǎn)單，線段長(zhǎng)度之積，考試時(shí)聯(lián)想到參數(shù)方程解答這道題會(huì)更簡(jiǎn)潔利索些.

二、變題

教師自我發(fā)展的途徑可能有多條，其中對(duì)題目進(jìn)行變式就是一條切實(shí)可行的途徑，經(jīng)常想著如何將題目橫向、縱向拓展，以一當(dāng)十、觸類旁通，可以有效地提高教學(xué)效率.那么，教師如何對(duì)典型題目進(jìn)行變式呢？變題主要靠的是聯(lián)想，要浮想聯(lián)翩，思緒萬千，沿著蛛絲馬跡，尋芳采獵，刨根問底.試探、猜想、組拼、嫁接、改編、重塑、加工、修補(bǔ)、完善.也要勤閱讀，在閱讀中思考，不時(shí)會(huì)有靈感，隨時(shí)記錄，便可形成一些新題目.

提倡要在做題的基礎(chǔ)上變題，要想變式出上乘的好題，做題功夫至關(guān)重要.在做題中悟道，促發(fā)聯(lián)想，揣摩原編題者的意圖，設(shè)計(jì)變式措施，窺視各個(gè)題目的聯(lián)系，找出題根，實(shí)現(xiàn)遷移.要注重對(duì)題目多解、多思，引申拓寬，提綱挈領(lǐng)，居高臨下，橫聯(lián)縱串.記錄采摘，挖本質(zhì)、掘內(nèi)涵、勤思考，為題目的變式積累豐富資源.

解法1：

解法2：

【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明等問題中三角恒等變換的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).本題的兩種解法，變角、變名和變式等常用的變換技巧都得到了體現(xiàn)和應(yīng)用.

若結(jié)合應(yīng)用二倍角公式改變所化簡(jiǎn)的式子，可有如下變式：

【分析】先逆用二倍角的余弦公式，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式變角、變名后，即化為例題的形式.

【點(diǎn)評(píng)】本變式在例題的基礎(chǔ)上作了引申，逆用二倍角余弦公式和應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為例題求解的.

若改變化簡(jiǎn)式子的形式，可有如下變式：

【分析】首先切化弦，變角、變名后利用二倍角正弦公式通分，再變角應(yīng)用兩角和的正弦公式展開.也可以利用10°=60°-50°與兩角和的正切公式展開，再進(jìn)行切化弦，最后統(tǒng)一角和函數(shù)即可.

解法1：

解法2：

【點(diǎn)評(píng)】與例題相比，本變式的變換更為多樣——解法1首先切化弦，變角、變名并應(yīng)用二倍角正弦公式通分，拆角40°=30°+10°，應(yīng)用兩角和的正弦公式展開即可；解法2“曲徑通幽 ”，首先變角10°=60°-50°，后利用兩角差的正切公式，再切化弦轉(zhuǎn)化到解法1的過程，雖然“繞道”，但也值得玩味.

若將所化簡(jiǎn)的式子滲透參數(shù)，逆向求參，可有如下變式：

以下同變式3的解法3.

【點(diǎn)評(píng)】這兩個(gè)變式以考查學(xué)生能力立意為起點(diǎn)，改變了三角恒等變換的考查層次，把問題放在學(xué)生既熟悉、又陌生的環(huán)境中；它源于課本，又高于課本，難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本，在問題的處理過程中，很好地利用了處理三角函數(shù)問題的基本思想方法.本變式的處理方法靈活多樣，是一道提升學(xué)生能力的好題.

若設(shè)計(jì)為探索性問題，可有如下變式：

【分析】在假設(shè)存在的前提下，按變式3的方法進(jìn)行變換求解.

【點(diǎn)評(píng)】本變式設(shè)計(jì)為探索性問題，不落窠臼，使對(duì)三角恒等變換的知識(shí)、基礎(chǔ)和思維能力的考查更為深入，是一道精彩的變式題.

(作者單位：山東省泰安市泰安英雄山中學(xué))