高中數學中拋物線的考點和題型總結

四川

譚 莉

(作者單位：四川省成都市新都一中)

高中數學中拋物線的考點和題型總結

四川

譚 莉

根據教學經驗，高中數學選擇、填空和解答題都比較偏好考查拋物線的相關性質，而且常常作為試卷的較難題甚至壓軸題出現，學生拿到這種題，經常算錯，或是無從下手，慢慢的，對這種題產生了畏懼心理，因此，對高中數學拋物線的常見考點做一個總結是非常有必要的，如果學生了解了出題人大概會從哪些方面去考查拋物線的性質，就能在平時有意識地加強這些性質的練習，以便熟練掌握和應用，再看到這類題，就不會擔心沒有思路，也不會擔心算不出來了.對于中等生和待優生而言，學生事先知道拋物線考查的方向，打有準備之仗，非常必要.

一、與拋物線相關的常見結論及證明

已知拋物線y2=2px(p>0)，過焦點F作一條直線交拋物線于A,B兩點，M為AB的中點，直線l為拋物線的準線，交x軸于E點.P，Q分別為AF，BF的中點.過點A作AA′⊥l于點A′，過點B作BB′⊥l于點B′，過點M作MM′⊥l于點M′.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，則有以下結論：

【結論四】以焦半徑|AF|或|BF|為直徑的圓與y軸相切.

【結論五】以焦點弦|AB|為直徑的圓與準線相切.

二、拋物線在選填題中的常考題型

題型一：軌跡方程

【例1】動點M(x,y)到點(2,0)的距離比到y軸的距離大2，則動點M的軌跡方程為________.

綜上，動點M的軌跡方程為y2=8x(x≥0)或y=0(x<0).

【例2】動點M(x,y)到點(2,0)的距離比到直線x=-1的距離大1，則動點M的軌跡方程為________.

∵y2≥0，∴y2=4(x-1)舍去；

綜上，動點M的軌跡方程為y2=8x(x≥0).

以上兩個問題考查的是軌跡方程，兩個題說法非常相似，僅僅在數據上有所不同，導致結果大相徑庭，例1答案由拋物線和射線兩部分組成，例2答案只有拋物線這一部分，而學生們經常看到這個題后，會想到拋物線的定義，所以直接找到焦點和準線，算出參數，得到拋物線的方程.這樣的做法，會使得例1這種題出現錯誤，學生得不到分數，所以筆者認為，這兩個題應該對比出現，讓學生們明白，有時候數據的一點點不同，會造成結果上很大的差異，所以做題的時候，一定要嚴謹，考慮周全，不能憑感覺解題.

題型二：拋物線的定義

(一)拋物線定義的簡單應用

【例3】如圖，設拋物線y2=4x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A,B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是

( )

解析：分別過A,B作y軸的垂線，垂足為A1,B1，

(二)利用拋物線定義求最值的問題

【例4】已知定點Q(2,-1)，F為拋物線y2=4x的焦點，動點P為拋物線上任意一點，當|PQ|+|PF|取最小值時，P點的坐標為________.

解析：過點P，Q分別作拋物線準線的垂線，垂足為P′,Q′，由定義可知，|PF|=|PP′|，

∴|PQ|+|PF|=|PQ|+|PP′|≥|QQ′|,

【例5】已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB,則AB的中點到x軸的最短距離為________.

以上三個題，都直接考查了拋物線的定義，在高中階段，拋物線的定義非常重要，是高考的重中之重，一定要讓學生高度重視，例3直接考查拋物線的定義，例4和例5考查的是利用拋物線的定義解決最值問題，比例3的難度大一些，但是仔細歸納一下，也能發現解題的規律，基本上考查的都是兩點間直線段最短，或者點到直線的距離最短，所以可以多從這些方面去想，便能找到解決方法.

題型三：以拋物線的焦半徑為直徑的圓與y軸一定相切

【例6】設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則拋物線C:y2=2px(p>0)的方程為________.

本題考查了以焦半徑為直徑的圓與y軸的關系，不難發現，兩者是相切的關系，如果這個題，事先不知道這個性質，學生采用硬算的方式，那么計算量非常大，當然也能得到正確答案，但是在考試的時候，不是每個學生都有時間和能力把這道題硬算出來，如果事先學生知道這個性質的話，哪怕是有一點印象，就會朝著這個方面去論證，然后解決這個題就非常方便了.所以，筆者認為，非常有必要把拋物線的常用性質歸納給學生，讓學生們事先有心理預期，這樣在考場上才能自信而高效地去攻克這些題.

題型四：拋物線焦點弦的兩端點的橫坐標之積為定值，縱坐標之積為定值

【例8】斜率為k(k>0)的直線l經過點F(1,0)交拋物線y2=4x于A，B兩點，若△AOF的面積是△BOF面積的2倍，k的值為________.

【例9】如圖，拋物線y2=4x的一條弦AB經過焦點F，取線段OB的中點D，延長OA至點C，使得|OA|=|AC|，過點D,C作y軸的垂線，垂足分別為E，G，則|EG|的最小值為________.

解析：設A(xA,yA)，B(xB,yB)，

由于A，B是焦點弦的兩端點，∴yAyB=-p2=-4，

題型五：拋物線的焦點弦被分成的兩條焦半徑的倒數和為

【例10】斜率為k(k>0)的直線l經過點F(1,0)交拋物線y2=4x于A，B兩點，若△AOF的面積是△BOF面積的2倍，則k的值為________.

解析：∵AM，BN都是焦點弦，

∴|AF|+|BF|=20，

由韋達定理得y1+y2=4n，

以上兩個題，都可以應用同一條焦點弦的兩個焦半徑的倒數和為定值來解決，例10屬于簡單題，它和例8是同一個題，有多種解題方法，但是例11屬于難題，這個題如果不應用這個性質，硬算是算不出結果的，學生容易選擇放棄，但是如果學生知道拋物線的這個性質，并且通過題目，發現此題應該是和焦半徑的倒數相關的題，由此對題目中的等式進行化簡，即可得到|AF|+|BF|=20，再應用焦半徑的公式，可得|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=n(y1+y2)，聯立方程組，利用韋達定理，即可得到答案.

題型六：與拋物線的切線有關的問題

由圖可知，當AP與拋物線相切時，∠APB最大，cos∠APB最小.

此題也是一個常考題，求m的最值，轉化成了求角的三角函數的最值，對應的剛好是直線和拋物線相切的時候，聯立方程組，令Δ=0即可，知道這個思路之后，其實做起來很順利，但是如果不知道思路，這道題往往在選擇題8題以后出現，學生在心理上就認為這道題比較難.但是如果已經對這種類型的題的考點有預期的話，其實學生們就只需要靜下心來，把一個個環節操作出來即可，所以筆者認為提前給學生們歸納一下考題類型，其實是為了穩定學生心理，讓學生們心中有數，心態穩定.

題型七：拋物線的焦半徑

【例13】已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4)是拋物線C:y2=8x上的點，F是拋物線C的焦點，若|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|=20，則x1+x2+x3+x4=________.

解析：由題意，拋物線C的準線為x=-2，由拋物線定義知|P1F|=x1-(-2)=x1+2，

|P2F|=x2+2，|P3F|=x3+2，|P4F|=x4+2.

∵|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|=20，

∴x1+2+x2+2+x3+2+x4+2=20，

∴x1+x2+x3+x4=12.

此題是一道容易題，考的是焦半徑公式，直接用定義把焦半徑換成坐標，即可得到答案，但是如果不從這個方向想，而采用硬算的方式，計算量就會非常大，還不容易求解出來，所以學生們快速篩選出正確簡潔的方法至關重要.

題型八：拋物線的參數方程

【例14】過拋物線C:y2=2px(p>0)，作兩個相互垂直的弦OA，OB，弦AB的中點M的軌跡方程為________.

∵A，B不是原點，∴t1≠0,t2≠0，

∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=-1,

∵M為AB的中點，

∴M的軌跡方程為y2=px-2p2.

此題如果采用常規方法來求解的話，會比較復雜，但是如果采用拋物線的參數方程把點設出來，把求解的目標表示出來，再采用消參的方式就能順利求解.而拋物線的參數方程，本質就是引入一個參數t，一個坐標表示成t的一次方，另一個坐標表示成t的二次方，再用點進行計算，或者表示求解目標，最后算出參數的值或者消掉參數，題目不好求解的時候，拋物線的參數方程往往是一種很好的選擇.

題型九：聯立方程組，利用韋達定理來解決問題

得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，

∴直線MN與x軸的交點坐標為(-2,0).

此題是圓錐曲線部分的典型題型，就是直線和圓錐曲線相交于兩點，聯立方程組，利用韋達定理是解決問題的基本方法，直接進行相應的運算即可，學生對此進行過很多訓練，所以不再贅述這種方法.

三、歸納和總結

(作者單位：四川省成都市新都一中)