全國(guó)高考卷提分策略
——坐標(biāo)系與參數(shù)方程難點(diǎn)探析

廣東

林紹鎵

(作者單位：廣東省肇慶市百花中學(xué))

全國(guó)高考卷提分策略
——坐標(biāo)系與參數(shù)方程難點(diǎn)探析

廣東

林紹鎵

一、問(wèn)題提出

從高考做題分布看，有50%以上的人選擇做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”，足見(jiàn)考生對(duì)此題的青睞.但從得分上看，超過(guò)50%的考生不足5分，70%的考生不足7分，滿(mǎn)分率不足7.5%，甚至超過(guò)15%的考生不得分.平時(shí)教學(xué)中教師過(guò)分強(qiáng)調(diào)用傳統(tǒng)方法解決此類(lèi)型問(wèn)題，忽視極坐標(biāo)與參數(shù)方程的功能作用，復(fù)習(xí)中教師多讓學(xué)生轉(zhuǎn)化為普通坐標(biāo)系下解決問(wèn)題，教師教得輕松，學(xué)生易理解.但是，近幾年來(lái)，高考對(duì)于“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”的要求越來(lái)越高，它不再是一道“最簡(jiǎn)單”的解答題，學(xué)生不再觸手可得，如今出題者往往對(duì)于知識(shí)的深刻理解、方法的熟練掌握、題類(lèi)的辨識(shí)鑒別上均有較高的考查要求，常表現(xiàn)為靈活、考能力、重基礎(chǔ)、講方法.故此，一味地強(qiáng)調(diào)在普通坐標(biāo)系下解決問(wèn)題，想拿到分還是有一定難度的.

二、科學(xué)備考策略

科學(xué)的備考需要備考者弄清本章節(jié)考查的核心問(wèn)題和核心知識(shí)的思想方法，才能達(dá)到預(yù)期的效果.我們要弄清楚考查問(wèn)題的本質(zhì)，明晰命題思路，設(shè)計(jì)出適合坐標(biāo)系與參數(shù)方程的備考策略.

1.明確全國(guó)卷考綱要求與試題布局

(1)極坐標(biāo)中要求理解極坐標(biāo)的產(chǎn)生背景、表示原理以及點(diǎn)的表示法，能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，會(huì)表示、能識(shí)別一些簡(jiǎn)單圖形如直線(xiàn)、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極坐標(biāo)系下圓的方程，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，能選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系表示曲線(xiàn)方程，并應(yīng)用于解題.

(2)參數(shù)方程要求了解參數(shù)方程、參數(shù)的意義，能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線(xiàn)、圓和圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程，掌握直線(xiàn)的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，能用直線(xiàn)的參數(shù)方程解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題.

從全國(guó)卷的考綱看，分析近幾年的試題特點(diǎn)，考題分為兩個(gè)層面，第一類(lèi)屬于基礎(chǔ)題，參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化，為大眾所接受的題目，第二類(lèi)是極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題.

2.深挖命題思路，提高解題意識(shí)

(1)以考查不同形式的方程互化為基礎(chǔ)

對(duì)于坐標(biāo)系與參數(shù)方程，近三年都考查了不同形式的方程之間的互化，2016年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ第23題第(1)小題是把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，卷Ⅱ由普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，卷Ⅲ是由參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以2016年全國(guó)卷Ⅰ第23題第(1)小題為例：

此題從考綱看，幾乎每年的高考都會(huì)選擇在不同坐標(biāo)系或不同方程之間做轉(zhuǎn)化，是本章節(jié)重點(diǎn)考查內(nèi)容，貼合全國(guó)卷考綱；從知識(shí)掌握來(lái)看，互化是研究坐標(biāo)系與參數(shù)方程的基礎(chǔ)，是靈活選擇坐標(biāo)系的必備條件,還是為第(2)小題的應(yīng)用準(zhǔn)備的.故此，在教學(xué)中，教師應(yīng)針對(duì)不同坐標(biāo)系下的方程互化，進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練，要求學(xué)生熟練掌握，確保萬(wàn)無(wú)一失.只有學(xué)生學(xué)會(huì)靈活轉(zhuǎn)化不同坐標(biāo)系下的方程，才能游刃有余地處理這類(lèi)問(wèn)題.

(2)數(shù)形結(jié)合思想是能力提升的橋梁

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科，所以數(shù)與形緊密相連，新課標(biāo)注重考查學(xué)生的能力和思維，例如，2016年全國(guó)卷Ⅰ第23題第(2)小題中求參數(shù)a的值，若正確掌握直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)在坐標(biāo)系下觀察問(wèn)題，無(wú)論用直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，都可靈活得出答案.2016年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第23題的第(2)小題，如果借助圖形，則很容易求出直線(xiàn)的斜率，若用單純的代數(shù)方法，則需要設(shè)直線(xiàn)方程，代入圓的方程進(jìn)行運(yùn)算，比較麻煩，其他年份的題目也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.以2016年全國(guó)卷Ⅰ第23題第(2)小題為例：

【例2】直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為θ=a0,其中tana0=2，若曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.

評(píng)析：理解θ=a0及tana0=2,易有C3:y=2x，條件是曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,即是C2與C3的公共點(diǎn)都在C1上，利用數(shù)形結(jié)合，顯然C1與C2的公共點(diǎn)所在的直線(xiàn)就是直線(xiàn)C3:y=2x.

(3)凸顯幾何圖形性質(zhì)，著重考查坐標(biāo)系與方程的思想

近幾年高考中，大部分試題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，交點(diǎn)與弦長(zhǎng)等幾何量，在不同的坐標(biāo)系下，解題思路與過(guò)程都存在著區(qū)別，大多數(shù)同學(xué)習(xí)慣先將其轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，研究其位置關(guān)系與幾何量后，再返回到極坐標(biāo)系中，這樣做費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且有時(shí)會(huì)帶來(lái)煩瑣的計(jì)算，如2016年全國(guó)卷Ⅱ第23題第(2)小題，將直線(xiàn)l轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系方程，很容易得出答案.若用普通方程求解，則需要花費(fèi)大量精力計(jì)算.所以我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該在不同的坐標(biāo)系下，凸顯幾何圖形性質(zhì)，針對(duì)性解決同類(lèi)型的問(wèn)題，讓學(xué)生自己體會(huì)選擇坐標(biāo)系的重要性，進(jìn)而引導(dǎo)他們合理選擇坐標(biāo)系，應(yīng)用相關(guān)知識(shí)直接解決問(wèn)題.

(4)體現(xiàn)參數(shù)的化繁就簡(jiǎn)優(yōu)點(diǎn)，解決最值問(wèn)題更便捷

近幾年的全國(guó)卷都是利用橢圓的參數(shù)方程求最值的問(wèn)題，屬于基本題型，如曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)上的最值問(wèn)題.繼而轉(zhuǎn)化到求坐標(biāo)等問(wèn)題，看上去題目復(fù)雜，但只要抓住本質(zhì)，大膽嘗試，其實(shí)是可以完成的，這個(gè)類(lèi)型的特點(diǎn)是通過(guò)橢圓的參數(shù)方程，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值進(jìn)而處理.需和學(xué)生講明白參數(shù)是輔助參數(shù)，它是主要變數(shù)關(guān)系的紐帶.視“參數(shù)”為變數(shù)，就處于相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，轉(zhuǎn)化為“范圍” “軌跡”，更方便解決問(wèn)題.

三、備考建議

圍繞以上命題思路的分析，我們可明晰以下解題思想

1.掌握坐標(biāo)間的互化型問(wèn)題.互化型是指曲線(xiàn)的參數(shù)方程與普通方程的互化和直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化這兩類(lèi)，其解法要重視互化的前提條件，特別是極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化僅適用于三同前提，一是極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，二是極軸與直角坐標(biāo)系正半軸重合，三是坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位必須相同，這是教學(xué)中教師應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)的.

2.練習(xí)中注重多種方法解決，此處針對(duì)本題第(2)小題的設(shè)置.我們可以先嘗試轉(zhuǎn)化為普通方程，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.若遇到計(jì)算麻煩，譬如最值、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，往往運(yùn)用極坐標(biāo)和參數(shù)方程來(lái)解決會(huì)更簡(jiǎn)潔.

(作者單位：廣東省肇慶市百花中學(xué))