不同改進的ARIMA模型在水文時間序列預測中的應用

杜 懿，麻榮永

(1.廣西大學土木建筑工程學院，廣西南寧530004;2.廣西大學工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西南寧530004;3.廣西大學廣西防災減災與工程安全重點實驗室，廣西南寧530004)

0 引 言

ARIMA模型全稱為自回歸差分滑動平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model)，是由Box和Jenkins于20世紀70年代初提出的一種時間序列預測方法[1- 2]。該模型具有較強的物理基礎，由于結構簡單、理論完備，在時間序列的預測中得到廣泛應用。

近年來，隨著全球氣候變暖以及區域下墊面的劇烈變化，相當一部分水文時間序列表現出了高度的非線性特點。然而，傳統ARIMA模型結構單一，不具備自適應學習能力，也難以挖掘出序列的原始信息，在應用中精度逐漸無法滿足要求。對此，相關學者也進行了大量改進研究，但研究的重點往往集中在如何與其他預測模型(如灰色理論、神經網絡、支持向量機等)進行加權組合，并通過優化算法(如遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等)來確定最佳分配權重，進而提高模型預測精度；但并未涉及模型本身。基于此，筆者在具有高效線性預測能力的傳統ARIMA模型基礎上，結合新興的非線性預測方法，對模型本身進行改進，以期獲得更高精度。

1 模型介紹

1.1 ARIMA模型

模型的建模原理文獻[3- 4]已有詳細介紹，在此不再贅述。該模型具有3個參數，分別是自回歸階數(p)、差分次數(d)以及滑動平均階數(q)，通常記作ARIMA(p，d，q)，表達式為

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+
εt-(θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q)

(1)

式中，Xt為研究的時間序列數據；φ1，φ2，…，φp為自回歸系數；p為自回歸階數；θ1，θ2，…，θq為滑動平均系數；q為滑動平均階數；εt為白噪聲序列。

建模步驟主要包括數據預處理、模式識別、參數識別和模型檢驗四個部分，具體操作參見文獻[5- 6]。

1.2 EMD-ARIMA模型

經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition)方法是由Huang等[7]人于1998年提出的一種信號分析方法。該法是對一個復雜的序列進行平穩化處理，將一系列具有不同層次的波動從原始序列中提取出來，得到若干個具有不同尺度的IMF分量[8- 9]。

對時間序列進行EMD分解，將所得的各項分別建立最合適的ARIMA(p，d，q)模型，再將各項的模擬結果進行累加求得最終的預測值。

1.3 WA-ARIMA模型

小波分析在時域和頻域上同時具有良好的局部化特征，在處理非平穩時間序列中體現出很大的優越性[10]。小波分解時采用的小波種類很重要，目前常用的有Haar正交小波、Daubechies正交小波、樣條小波、雙正交小波等。本文選用db4小波，分解水平取4。

對時間序列進行小波分解，將所得的各項分別建立最合適的ARIMA(p，d，q)模型，再將各項的模擬結果進行累加求得最終的預測值。

1.4 BP-ANN-ARIMA模型

該模型是利用ARIMA模型來描述原始時間序列的線性關系，而用神經網絡來擬合時間序列的非線性規律[11]。具體建模思路如下：

圖1 BP-ANN-ARIMA模型建模過程

2 實例應用

本文選用南寧市1961年～2015共55年降水量資料進行預測研究，所用數據均來源自于廣西壯族自治區統計局提供的《廣西統計年鑒》及《廣西水資源公報》。

2.1 ARIMA建模

借助SPSS 20.0統計分析軟件對南寧市年降水量序列建立ARIMA(p，d，q)模型。先對整體序列進行自相關檢驗(見圖2)。顯然，原始序列即為平穩序列，無需進行差分處理，故差分次數d=0。為確定最佳自回歸階數p和滑動平均階數q，分別初定不同取值進行比較，最終確定選用精度最高的ARIMA(1，0，1)模型。

圖2 南寧市年降水量序列的平穩性檢驗

2.2 EMD-ARIMA和WA-ARIMA建模

利用MATLAB 7.0編程軟件對南寧市年降水量序列分別進行經驗模態分解和db4小波分解，結果見圖3、圖4。

圖3 南寧市年降水量的EMD分解結果

圖4 南寧市年降水量的db3小波分解結果

由圖3、4可以看出，兩種分解方法結果類似，均存在1個低頻成分(res項、s項)和4個高頻成分(imf項、d項)，其中低頻成分顯示了時間序列的整體變化趨勢。觀察圖3和圖4，res項基本為一水平直線，而s項呈現出微弱的波動上升趨勢，相比更能反映實際情況。

將兩種分解模式下的各子項分別進行ARIMA建模，再將各子項的預測結果進行累加，得到最終的擬合值。在本例中由于s項、d4項、imf4項及res項為非平穩序列(經自相關、偏相關檢驗)，需要進行差分處理。分析得出，s項最適應ARIMA(1，2，1)模型，d4項、imf4項及res項適合ARIMA(1，1，1)模型，其余各項適應于ARIMA(1，0，1)模型。

2.3 BP-ANN-ARIMA建模

在BP-ANN-ARIMA模型的建模過程中，先利用ARIMA(1，0，1)模型對原始降水序列進行預測，經與實際值比較得到擬合殘差。再以擬合殘差為基礎，建立經L-M算法優化的BP神經網絡預測模型，模型設置2個歷史節點，學習率取用0.075。最后將神經網絡的預測結果與ARIMA(1，0，1)模型的預測結果疊加得出最終的擬合值(見圖5)。

圖5 各模型擬合過程比較

計算得，4種擬合模型的平均相對誤差分別為11.2%、10.1%、6.8%、5.1%。其中BP-ANN-ARIMA模型表現最佳，擬合誤差最小，說明了BP神經網絡具有強大的非線性映射能力，十分適用于非平穩時間序列的預測。小波分解較經驗模態分解效果要好，WA-ARIMA模型的擬合誤差小于EMD-ARIMA模型，造成差別的原因在于對趨勢項的提取，db4小波分解出的趨勢項為波動緩幅上升趨勢，更符合實際情況，而EMD分解沒有體現出來。

3 結 論

以上模型在本次預測研究中均有較好表現，都達到了《水文情報預報規范》的規定。由于ARIMA是一種嚴格的線性預測方法，而絕大多數水文序列屬于線性與非線性的綜合，因而應用起來往往精度不高。為克服這一缺點，必須將其與非線性預測方法結合，這樣既保留了模型本身的線性預測能力又彌補了其在非線性預測方面的不足。

本文將ARIMA模型分別與db4小波、EMD方法以及BP神經網絡相結合，建立了3種不同的改進模型。實例表明，3種模型的預測精度均有不同程度的提高，尤其是結合了BP神經網絡的ARIMA模型，平均相對誤差僅為5.1%，這是基于神經網絡強大的容錯性與自適應性。