基于QT+OpenGL的彈簧參數(shù)化實(shí)體建模*＊

李 凡 王德成 張 林 程 鵬② 付 濤

(①機(jī)械科學(xué)研究總院，北京100044;②北京科技大學(xué)，北京100083)

彈簧是一種重要的工業(yè)基礎(chǔ)零部件，已有螺旋彈簧、板類彈簧、桿類彈簧、彈性元件等四大類近1 800個品種［1］。我國彈簧行業(yè)受限于數(shù)字化水平，在進(jìn)行彈簧加工時，長期采用面向機(jī)床的加工方式，必須由人工將彈簧形狀參數(shù)轉(zhuǎn)化為機(jī)床各軸運(yùn)動進(jìn)給參數(shù)［2］，這種方式對調(diào)機(jī)者依賴程度高，且數(shù)字化、自動化水平與生產(chǎn)效率低下，因此企業(yè)對于基于數(shù)控系統(tǒng)的彈簧參數(shù)化在線建模軟件的需求日益增加［3－4］。目前已有文獻(xiàn)對彈簧建模進(jìn)行了研究，但主要集中于針對螺旋彈簧單一結(jié)構(gòu)建模研究或基于各類商業(yè)三維造型軟件平臺［5－7］(如 AutoCAD、Pro/E、SolidWorks 等)，存在價(jià)格昂貴、體系龐大且封閉、專業(yè)性強(qiáng)和操作復(fù)雜等缺點(diǎn)，而且也很難與彈簧加工數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行集成，無法很好地滿足企業(yè)目前需求，限制了彈簧行業(yè)數(shù)字化智能化發(fā)展。

任何復(fù)雜壓簧、拉簧、扭簧和異形彈簧，其幾何結(jié)構(gòu)均可分解成圓柱、折角和螺旋3種基本結(jié)構(gòu)特征單元，本文通過建立參數(shù)化數(shù)學(xué)模型對單元特征描述和表達(dá)，基于QT和OpenGL圖形庫［8］，以C++實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)特征單元的參數(shù)化實(shí)體建模程序編寫，各結(jié)構(gòu)特征單元之間通過空間變換自由拼接組合，最終實(shí)現(xiàn)參數(shù)化彈簧零件整體的三維建模。

1 彈簧結(jié)構(gòu)特征單元模型構(gòu)造

OpenGL利用點(diǎn)、線、三角形或四邊形面片等基本幾何圖元來構(gòu)造復(fù)雜的幾何形體。在構(gòu)建圓柱、折角和螺旋3種彈簧結(jié)構(gòu)特征單元實(shí)體時，需要對其進(jìn)行離散化處理，將實(shí)體表面離散為無數(shù)的三角形或四邊形面片，通過一系列首尾相接的空間面片，最終形成實(shí)體三維造型。OpenGL在模型局部坐標(biāo)系下構(gòu)建彈簧結(jié)構(gòu)特征單元三維實(shí)體，起點(diǎn)坐標(biāo)為局部坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)，起點(diǎn)方向沿y軸正方向。

彈簧結(jié)構(gòu)特征單元模型構(gòu)造時，采用面向特征的參數(shù)化建模思想，建模時輸入相應(yīng)的特征參數(shù)，系統(tǒng)自動實(shí)現(xiàn)特征造型。對于圓柱特征單元，其主要特征參數(shù)為圓柱底面直徑d和圓柱長度length;折角特征單元的主要特征參數(shù)為曲率半徑R、折彎角度angle和截面圓直徑d;螺旋特征單元的主要特征參數(shù)為螺旋中徑R、節(jié)距t、圈數(shù)n和截面圓直徑d。

基于OpenGL進(jìn)行圓柱、折角與螺旋特征建模時，沿特征中心線軸向?qū)⑵潆x散為β個小圓柱段，各小圓柱段兩截面圓沿其周向進(jìn)一步離散為α個均勻點(diǎn)陣。以截面圓圓心和圓周均勻點(diǎn)陣上相鄰兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別依次連接形成α個連續(xù)小三角形面片，擬合成小圓柱段兩底面實(shí)體;取兩截面圓上相對應(yīng)的四點(diǎn)均勻點(diǎn)陣，依次連接形成α個小四邊形面片，離散的四邊形面片沿圓周方向拼接，擬合成小圓柱段側(cè)面實(shí)體。只要α和β取得合適，將離散的小圓柱段沿特征中心線軸向拼接，便能夠形成真實(shí)感較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)特征單元實(shí)體模型，如圖1所示。各結(jié)構(gòu)單元起點(diǎn)坐標(biāo)均為局部坐標(biāo)oxyz坐標(biāo)原點(diǎn)［0 0 0］，起點(diǎn)方向向量為y軸正方向［0 1 0］，下底面位于xoz平面，成形方向默認(rèn)沿y軸向x軸負(fù)方向偏移。

如圖1a所示，對圓柱特征單元離散模型，P為第i個圓柱段上第j個等分點(diǎn)，其坐標(biāo)可表示為:

式中:length為圓柱長度;d為截面圓周直徑;θ為圓柱截面圓離散為α個均勻點(diǎn)陣后每份對應(yīng)的圓心角，θ=2π×i/α;l為第 i個圓柱段距底面高度。

如圖1b所示，對折角特征單元離散模型，P為折角第i個圓柱段上的第j個等分點(diǎn)，其坐標(biāo)可表示為

式中:R為折角曲率半徑，d為截面圓周直徑;θ為折角截面圓周離散為α份后每份對應(yīng)的角度，θ=2π×j/α，σ為折角離散為β份小圓柱段后，每段上截面圓圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)連線與 x軸正方向夾角，σ=angle×i/β;angle為折角折彎角度。

如圖1c所示，對螺旋特征單元離散模型，P為螺旋第i個圓柱段上的第j個等分點(diǎn)，其坐標(biāo)可表示為

式中:R為螺旋體螺旋半徑;d為截面圓周直徑;θ為螺旋體截面圓周離散為α份后每份對應(yīng)的角度，θ=2π×j/α;σ為螺旋離散為β份圓柱段后每段上截面圓圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)連線在xoy平面投影與x軸正方向夾角，σ=2π×i/β;t為每段圓柱段所對應(yīng)的螺旋升量，t=j×T/β;T為螺旋體旋轉(zhuǎn)一圈的節(jié)距。

構(gòu)建彈簧結(jié)構(gòu)特征單元三維實(shí)體時，以螺旋特征為例，按軟件系統(tǒng)提示，依次輸入螺旋中徑、節(jié)距、圈數(shù)和鋼絲直徑，默認(rèn)螺旋體螺旋徑向離散份數(shù)為100，截面圓周離散份數(shù)為360，并利用 OpenGL接口函數(shù)glColor()對螺旋體三維實(shí)體模型進(jìn)行著色處理，操作過程、離散模型與三維實(shí)體效果如圖2所示。

2 彈簧結(jié)構(gòu)特征單元拼接

根據(jù)要求構(gòu)建完成彈簧零件各結(jié)構(gòu)特征單元后，需要完成各特征單元之間的拼接，以形成完整的彈簧零件三維模型。彈簧結(jié)構(gòu)特征單元三維模型均構(gòu)建在其本地局部坐標(biāo)系下，而完整的彈簧零件需要在世界坐標(biāo)系下進(jìn)行三維實(shí)體建模，因此需要實(shí)現(xiàn)各結(jié)構(gòu)特征單元由本地局部坐標(biāo)系向世界坐標(biāo)系下的圖形坐標(biāo)變換，并按序?qū)κ澜缱鴺?biāo)系下的各結(jié)構(gòu)特征單元按照一定的規(guī)則進(jìn)行拼接，最終實(shí)現(xiàn)彈簧零件的三維實(shí)體造型。基本流程如下:

(1)在OpenGL世界坐標(biāo)系OXYZ下，構(gòu)建本地局部坐標(biāo)系oxyz，對于第一段彈簧基本結(jié)構(gòu)特征單元，其局部坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)坐標(biāo)重合;其他段結(jié)構(gòu)特征單元將上一段結(jié)構(gòu)特征單元世界坐標(biāo)系下的終點(diǎn)坐標(biāo)和方向作為新起點(diǎn)坐標(biāo)與方向，構(gòu)建本地局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，y軸正方向與起點(diǎn)方向一致。

(2)基于局部坐標(biāo)系oxyz，從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，沿y軸正方向構(gòu)建彈簧零件基本結(jié)構(gòu)特征單元幾何信息模型，對彈簧結(jié)構(gòu)特征單元各參數(shù)進(jìn)行賦值。

(3)基于局部坐標(biāo)系下的彈簧結(jié)構(gòu)特征單元幾何信息模型參數(shù)，計(jì)算局部坐標(biāo)系下該結(jié)構(gòu)特征單元終點(diǎn)坐標(biāo)和方向，經(jīng)過坐標(biāo)變換后，得出該單元在世界坐標(biāo)系下的終點(diǎn)坐標(biāo)和方向向量。

(4)在局部坐標(biāo)系oxyz下，按彈簧基本結(jié)構(gòu)特征單元類型和參數(shù)，構(gòu)建彈簧基本結(jié)構(gòu)特征單元三維實(shí)體模型。

(5)將在局部坐標(biāo)系下構(gòu)建的彈簧結(jié)構(gòu)特征單元模型，經(jīng)過圖形坐標(biāo)變換，移動至世界坐標(biāo)系下的起點(diǎn)位置，對單元進(jìn)行拼接，并根據(jù)方向向量調(diào)整拼接時的擺放姿態(tài)。

(6)添加新結(jié)構(gòu)特征單元，將計(jì)算得到的該單元世界坐標(biāo)系下的終點(diǎn)坐標(biāo)和方向賦值為新結(jié)構(gòu)特征單元的起點(diǎn)坐標(biāo)和方向，基于新的起點(diǎn)坐標(biāo)和方向，進(jìn)行下一階段彈簧基本結(jié)構(gòu)特征單元的幾何信息模型與三維實(shí)體造型的構(gòu)建。

(7)經(jīng)過連續(xù)遍歷拼接，生成彈簧零件完整的幾何模型。

在局部坐標(biāo)系下構(gòu)建彈簧結(jié)構(gòu)特征單元簡化模型，如圖3所示。S'為第n－1段彈簧結(jié)構(gòu)特征單元起點(diǎn)，E'為第n－1段彈簧結(jié)構(gòu)特征單元終點(diǎn)，圖3三分圖分別對應(yīng)圓柱、折角和螺旋3種結(jié)構(gòu)特征單元。局部坐標(biāo)系下，起點(diǎn) S'坐標(biāo)為原點(diǎn)［0 0 0］，方向向量Vs'為 y軸 正方向［0 1 0］;終點(diǎn) E'坐標(biāo)為

根據(jù)圓柱、折角和螺旋的參數(shù)方程與起點(diǎn)坐標(biāo)、方向，可以求出在局部坐標(biāo)系下，第n－1段彈簧基本結(jié)構(gòu)特征單元起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)與方向向量如表1所示。

表1 彈簧基本結(jié)構(gòu)特征單元起點(diǎn)和終點(diǎn)的局部坐標(biāo)與方向向量

如圖4所示，局部坐標(biāo)系 oxyz向世界坐標(biāo)系OXYZ的坐標(biāo)變換為組合變換，將世界坐標(biāo)系下的局部坐標(biāo)系oxyz視為一空間物體，首先將其經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換繞世界坐標(biāo)系X軸和Z軸分別旋轉(zhuǎn)ψ和ω角度，得到坐標(biāo)系o'x'y'z';然后再將局部坐標(biāo)系經(jīng)過平移變換移動至世界坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)位置，得到與世界坐標(biāo)系重合的局部坐標(biāo)系 o″x″y″z″。其中，角度 ω 為將起點(diǎn)方向向量旋轉(zhuǎn)至世界坐標(biāo)系XOY平面后與Y軸夾角，角度ψ為起點(diǎn)方向向量在世界坐標(biāo)系YOZ平面投影與Y軸夾角，夾角角度ω和ψ均可由方向向量經(jīng)過計(jì)算得出:

對于終點(diǎn) E的全局坐標(biāo)，將局部坐標(biāo) E'［xe' ye' ze'］首先繞世界坐標(biāo)系X軸旋轉(zhuǎn)ψ角度，然后繞世界坐標(biāo)系Z軸旋轉(zhuǎn)ω角度，最后平移至世界坐標(biāo)系原點(diǎn)位置，其空間變換矩陣Me為:

將局部坐標(biāo)E'［xe' ye' ze'］經(jīng)過平移旋轉(zhuǎn)組合變換Me得到世界坐標(biāo)系下的全局坐標(biāo)E為:

對于終點(diǎn)E的全局方向向量，只需將局部方向向量Ve'［nxe' nye' nze'］依次繞世界坐標(biāo)系X軸旋轉(zhuǎn)ψ角度、繞Z軸旋轉(zhuǎn)ω角度即可旋轉(zhuǎn)到與世界坐標(biāo)系Y軸重合位置，其空間變換矩陣Mve為:

局部方向向量Ve'［nxe' nye' nze'］經(jīng)過平移旋轉(zhuǎn)組合變換得到世界坐標(biāo)系下的全局方向向量Ve為:

3 程序?qū)崿F(xiàn)

根據(jù)坐標(biāo)平移與旋轉(zhuǎn)變換原理，基于C++編寫三維坐標(biāo)空間坐標(biāo)變換Matrix類，Matrix類包含接口函數(shù) translate(float x，float y，float z)、rotateX(float angle)、rotateY(float angle)、rotateZ(float angle)等，分別用于三維空間坐標(biāo)的平移變換和繞XYZ軸的旋轉(zhuǎn)變換。OpenGL通過MODELVIEW模型視圖變換矩陣實(shí)現(xiàn)從模型本地坐標(biāo)向世界坐標(biāo)系的空間坐標(biāo)變換，并提供接口函數(shù) glTranslate{fd}、glRotate{fd}、glScale{fd}接口函數(shù)分別用于對模型的平移、旋轉(zhuǎn)與縮放［9］。

基于QT和OpenGL三維圖形庫，采用C++語言編寫彈簧零件三維實(shí)體造型實(shí)現(xiàn)程序。設(shè)置系統(tǒng)運(yùn)行環(huán)境，在 QT工程文件中添加 OpenGL模塊和opengl32.lib、glu32.lib和glut.lib靜態(tài)庫函數(shù)文件，包含gl.h和glu.h頭文件，可實(shí)現(xiàn)QT工程對OpenGL三維圖形庫函數(shù)的調(diào)用。

在用戶窗口中進(jìn)行三維圖形繪制時，通過子類化QGLWidget來實(shí)現(xiàn)對OpenGL的調(diào)用，重寫QGLWidget類三個虛函數(shù)initializeGL()、resizeGL()和paintGL()實(shí)現(xiàn)基于OpenGL的繪制。編寫自定義函數(shù)drawLine()、drawCircle()和drawHelix()分別用于實(shí)現(xiàn)直線、折角和螺旋結(jié)構(gòu)特征單元繪制;函數(shù)draw()用于實(shí)現(xiàn)彈簧整體三維實(shí)體造型;函數(shù)coorTrans()用于實(shí)現(xiàn)各彈簧基本結(jié)構(gòu)特征單元由局部坐標(biāo)向世界坐標(biāo)的變換;函數(shù) translate{XYZ}{PM}()、rotate{XYZ}{PM}()和scale{PM}()分別用于實(shí)現(xiàn)觀察時對三維模型視圖的平移旋轉(zhuǎn)和縮放。按照以上步驟編寫代碼并運(yùn)行，即可完成彈簧三維實(shí)體造型，如圖5所示為系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的包含段直線、折角與螺旋結(jié)構(gòu)特征的彈簧三維實(shí)體模型參數(shù)化建模過程。

4 結(jié)語

通過對彈簧幾何特征的分析，將彈簧結(jié)構(gòu)均可分解為圓柱、折角和螺旋三種基本結(jié)構(gòu)特征單元，本文通過離散化方法，基于OpenGL構(gòu)建了彈簧結(jié)構(gòu)特征單元的三維實(shí)體模型，并通過空間坐標(biāo)變換實(shí)現(xiàn)了各結(jié)構(gòu)特征單元間的組合拼接，完成了彈簧三維實(shí)體模型整體構(gòu)建。在QT開發(fā)環(huán)境下，基于OpenGL三維圖形庫，對彈簧參數(shù)化三維實(shí)體造型進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)。該建模方法操作方便、效果逼真，具備良好移植性，為彈簧成形機(jī)數(shù)控系統(tǒng)在線可視化編程奠定了技術(shù)基礎(chǔ)。