直接示教機器人的位姿優化算法研究與實現*＊

凌冠耀 劉建群 高偉強

(廣東工業大學機電工程學院，廣東省微納加工技術與裝備重點實驗室，廣東廣州510006)

示教再現是目前主流的工業機器人操作控制方式。常用的示教方法包括示教盒示教、操縱桿示教、主從機器人示教和直接示教等。與其它示教方法相比，直接示教機器人能以直接拖動方式實現復雜軌跡的示教，具有操作簡單、示教方便等優點，在噴涂、弧焊、拋光等任務軌跡復雜的工業加工領域具有較高的應用價值。

對于直接示教機器人，示教過程中的人手抖動會直接反映到示教軌跡中，使機器人在再現過程中產生振動。限制了直接示教機器人在末端位姿要求較高的機器人表面加工領域中的應用，并降低了機器人的使用壽命和機械性能。因此，在最大限度地還原示教軌跡的同時減少再現過程中出現的振動對提高直接示教型機器人的適用性具有重要意義。

傳統工業機器人的軌跡研究主要集中在機器人關節空間的軌跡規劃［1］和以時間(能耗)為目標的軌跡優化問題［2－4］，但此類方法得到的末端軌跡難以滿足噴涂、弧焊等直接示教機器人應用場景的精度要求。為了獲得高精度的末端軌跡，文獻［4］提出了基于NURBS樣條的機器人笛卡爾空間軌跡規劃方法，并對末端速度進行了控制，但該方法沒有考慮任務軌跡中的姿態變化。文獻［5］利用四元數圓弧函數實現了高精度的位姿軌跡規劃，但該方法主要針對空間圓弧軌跡，無法直接適用于直接示教機器人的位姿平滑優化。

針對直接示教機器人的末端軌跡優化問題，提出了一種基于曲線擬合的位姿優化方法。分別利用B樣條曲線和四元數曲線對直接示教軌跡進行擬合，給出了一種基于泰勒展開的四元數曲線插補方法，有效地還原了示教軌跡，減小了機器人末端的加速度波動，從而減小了直接示教機器人在再現過程中的振動。

1 軌跡預處理

在直接示教過程中，機器人控制器對各關節編碼器進行高頻采樣獲得的稠密示教軌跡數據存在大量冗余信息，為了提高優化處理效率，以時間間隔為α對示教軌跡進行重采樣，得到的采樣軌跡記為 M，軌跡中的位姿信息可以用機器人末端相對于基坐標系的齊次變換矩陣表示:

式中:Ri∈!3×3為第i個軌跡點相對于機器人基坐標系的旋轉變換;Pi∈!3×1為第i個軌跡點的機器人末端坐標系相對于機器人基坐標系的平移變換。記機器人末端位置集合為旋轉變換集合為

為了更好地對采樣軌跡中的姿態信息進行處理，引入單位四元數對采樣軌跡中的姿態信息進行描述。單位四元數具有以下形式:

式(2)可以表示為以θ為旋轉角，n為旋轉軸的三維空間旋轉運動。

根據文獻［6］，可以把旋轉矩陣序列R轉換為對應的單位四元數序列

2 位姿擬合

式中:di是B樣條曲線控制頂點;Ni，3u()為定義在節點矢量U上的3次B樣條基函數。Ni，k滿足如下遞推關系:

得到位置曲線后，考慮構造四元數曲線對示教軌跡中的姿態信息進行插值擬合。四元數對數運算定義為:

其中:φi為控制頂點;Ni，3(γ)為定義在節點矢量 Γ 上的3次B樣條基函數。對序列ρ{ρi}ni=1進行弦長參數化獲得節點矢量Γ后，控制頂點φi可以根據文獻［8］進行求解。最后，利用指數映射，得到四元數曲線:

3 軌跡生成

為了獲得離散的軌跡點序列，根據采樣軌跡的時間位移關系，對擬合曲線進行插補。假設兩個時間間隔為α的采樣軌跡點的位置分別為P βi( )、P(βi+1)，由于插值曲線會經過所有的采樣點，兩個采樣點間的軌跡位移為這兩個采樣點間的曲線段弧長，則P βi( )、P(βi+1)兩點間的位移為:

上述積分可以通過常用的辛普森積分公式進行求解。記 P βi+1( )處的累計位移為Li=Li－1+ΔL，P βi+1( )在示教軌跡中對應的運動時間為Ti=Ti－1+α，以時間及對應的累計位移作為約束，利用三次樣條插值［9］對位移進行插值，并根據時間分割法獲得每個時間間隔對應的末端空間位移增量序列。姿態角位移增量序列的計算方法與之類似，在此不再贅述。

得到位移增量以后，采用泰勒展開法對位姿擬合曲線進行插補。參數τ在τ=τi處的一階泰勒展開式為:

式中:ΔT為機器人運動插補周期，HOT為泰勒余項。

為了簡化計算，采用一階泰勒展開式進行插補。對于位置擬合曲線P(u)，在t=ti時刻瞬時速度可表示為:

把公式(11)代入公式(10)可得，機器人位置曲線的插補參數迭代式為:

為了對機器人姿態曲線的運動速度進行控制，對位置軌跡的插補方法進行推廣，給出了一種四元數曲線插補方法。假設四元數曲線角位移關于參數γ的函數為Θ(γ)，角速度關于時間t的函數為ω( t)，由復合函數求導法則可知:

根據文獻［10］，單位四元數曲線角速度關于參數γ的函數可以表示為:

把式(14)代入式(13)，得到的四元數曲線姿態瞬時角速度可以通過公式(15)表示:

令τ=γ，把式(15)代入式(10)，可得四元數曲線插補式為:

4 實驗

以自行研制的六關節直接示教噴涂機器人為實驗平臺，對所研究的軌跡優化算法進行評估驗證。機器人如圖1所示。

以一個實際噴涂工序為例。在示教階段，機器人以固定的時間間隔實時對各關節編碼信息進行采樣，通過所獲示教關節角序列可以生成末端示教軌跡。截取該示教軌跡中一段總位移為3 222.237 mm的連續示教軌跡片段作為實驗對象，經過算法處理得到優化軌跡。下面分別從軌跡誤差和運動情況兩個方面對上文提出的算法進行分析驗證。

示教軌跡與優化軌跡的末端位置對比如圖2。示教軌跡與優化軌跡末端姿態歐拉角對比如圖3。其中，實線為示教軌跡，虛線為優化軌跡。從圖2、圖3中可以看出，經過優化處理后的機器人末端位姿優化軌跡與原示教軌跡基本保持一致。

進一步對軌跡誤差進行評價，以示教軌跡點Pi與優化軌跡點P'i之間的距離e作為位置誤差進行計算:

機器人優化軌跡與示教軌跡末端位置誤差分布如圖4，歐拉角誤差分布如圖5。經過計算，優化軌跡最大位置誤差為3.197 mm，平均軌跡誤差為0.229 mm，標準差為0.468 mm。從圖4的位置誤差分布中可以看出，優化軌跡與示教軌跡整體誤差較小，且在平均誤差附近的分布較為集中，雖然個別軌跡點與示教軌跡存在較大的位置誤差，但考慮到示教軌跡中可能存在孤立的噪聲點，而且這些點在總體上占比較小，可以忽略其影響。

優化軌跡的歐拉角誤差如表1所示。從表1可以看出優化軌跡的歐拉角誤差較小，能夠滿足機器人實際使用要求。

表1 優化軌跡的歐拉角誤差 rad

對上述結果進行綜合分析，算法處理后的優化軌跡與原始示教軌跡間的誤差較小，能夠很好地對示教軌跡進行還原。

為了對算法的優化效果進行驗證，分別對示教軌跡與優化軌跡的位姿速度、加速度曲線進行分析對比。機器人末端軌跡位置的速度、加速度對比如圖6、圖7所示，機器人末端姿態的速度、加速度對比如圖8、圖9所示，其中，虛線為示教軌跡，實線為優化軌跡。

可以直觀地看出，經過優化處理后的機器人末端軌跡運動速度曲線具有更好的光順性，并顯著地減小了機器人末端位姿軌跡的加速度波動。將優化軌跡轉換為關節角序列，在機器人上進行再現，實驗結果顯示，所提出的算法有效減小了再現過程中的振動。

5 結語

針對機器人直接示教軌跡平滑性差、加速度變化頻繁導致機器人在再現過程中出現振動的問題，提出了基于曲線擬合的位姿優化算法。實驗結果表明，該算法能在還原示教軌跡的同時有效減小機器人再現過程中的振動，對提高直接示教機器人在工業加工領域的適用性具有一定的實際應用價值。在進一步的研究中，將對擬合方法進行改進，實現對軌跡誤差的控制。