改進(jìn)跟蹤微分器設(shè)計

劉志高

（北京航天微系統(tǒng)研究所，北京100094）

0 引言

實際工程中，常需要從給定信號中提取微分信號，而獲得準(zhǔn)確的微分信號對控制器設(shè)計，尤其對基于準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)代控制理論設(shè)計的作用十分重要。獲取微分信號，通常可用1階慣性環(huán)節(jié)或差分法，但是當(dāng)信號中含有噪聲時，用如上兩種方法取得微分信號的同時，也會將噪聲放大（一般噪聲的變化率快于有用信號的變化率）。特別情況下，取得噪聲微分信號甚至?xí)⑺栊盘柕奈⒎中盘栄蜎]。文獻(xiàn)[1]利用2階最速開關(guān)系統(tǒng)構(gòu)造了一種提取近似微分信號的機構(gòu)，并據(jù)此提出了非線性跟蹤微分器的概念，給出了非線性跟蹤微分器的一般形式，所設(shè)計的非線性跟蹤微分器改變了以前采用1階慣性環(huán)節(jié)或差分法求微分的做法，能較好地跟蹤給定信號的微分信號。但該方法含有開關(guān)函數(shù)，不利于系統(tǒng)的證明及穩(wěn)定分析。據(jù)此，文獻(xiàn)[2]提出把文獻(xiàn)[1]中非線性跟蹤微分器中函數(shù)的指數(shù)，用分子、分母均大于零的奇數(shù)的分?jǐn)?shù)形式表示，取代帶有開關(guān)函數(shù)的形式得出當(dāng)時間尺度趨于正無窮大時輸出信號逐點跟蹤輸入信號的結(jié)論。該方法的優(yōu)點是在平衡點附近收斂速度較快，缺點是系統(tǒng)狀態(tài)在遠(yuǎn)離平衡點時收斂速度卻較慢，導(dǎo)致初始階段跟蹤曲線抖振嚴(yán)重。文獻(xiàn)[3]設(shè)計了一種系統(tǒng)狀態(tài)在遠(yuǎn)離和接近平衡點時，都能自動以較快速度收斂的全程快速非線性跟蹤微分器，雖然取得了有益的成果，但由于在系統(tǒng)極點附近使用了非光滑的分?jǐn)?shù)指數(shù)函數(shù)，導(dǎo)致跟蹤信號發(fā)生了明顯震顫。文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]設(shè)計的跟蹤微分器雖然減小了這種震顫，但所設(shè)計的方法易產(chǎn)生復(fù)數(shù)解，其位于虛軸上的解使得跟蹤微分器系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定或輸出結(jié)果有較大震顫[6-10]。

為改善跟蹤微分器性能，去除跟蹤微分器復(fù)數(shù)解，尤其是去除位于虛軸上的解，同時滿足跟蹤微分器全程收斂較快這一需求，不抖振[10-17]，本文設(shè)計了一種改進(jìn)的跟蹤微分器。應(yīng)用Lyapunov定理證明了改進(jìn)后的跟蹤微分器的穩(wěn)定性，理論分析和仿真證明其在遠(yuǎn)離平衡點和接近平衡點時均能加速收斂。

1 改進(jìn)跟蹤微分器設(shè)計

設(shè)對于系統(tǒng)S1[1，7]，有：

式中，X（t）＝[x1（t），x2（t）]，有如下定理：

定理 1：對于系統(tǒng)S1，如果其解x1（t）、x2（t）滿足：，那么，會有系統(tǒng)S2對于任意給定的有界可積函數(shù)v（t）以及常數(shù)T，式（2）的解滿足：（或者－v（t）），。 證明見參考文獻(xiàn)[1]。

選取微分跟蹤器的關(guān)鍵是選取f[x1（t），x2（t）]，令：

則有如下定理：

定理2：對系統(tǒng)S3，當(dāng)a1＞0、b1＞0、b2＞0、n＞0，且n為奇數(shù)時，式（5）的解滿足定理1中系統(tǒng)S1的結(jié)論，系統(tǒng)S3漸進(jìn)穩(wěn)定，且穩(wěn)定于（x1，x2）T＝（0，0）T，

定理2的證明如下所示：

選擇Lyapuvov能量函數(shù)V，令V＝a1x1（t）2/2＋x2（t）2/2＋1，因a1大于 0，則函數(shù)V各項系數(shù)均大于 0，又因為xi（t）2≥ 0（i＝1，2），所以對于任意狀態(tài)的（x1，x2）T都有V＝a1x1（t）2/2＋x2（t）2/2＋1＞0。

對V兩邊求導(dǎo)，得：

又因為：

將式（8）和式（9）帶入式（7），有：

整理得：

因b1、b2、n均大于0，則函數(shù)?V各項系數(shù)均小于 0，又因為n為大于0 的奇數(shù)，故有x2（t）n＋1≥0，所以對于任意狀態(tài)的（x1，x2）T都有?V＝－b1x2（t）2－b2x2（t）n＋1≤0。 也就是說系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即可認(rèn)為x1（t）最終趨于某個穩(wěn)定值不再變化，那么此時必有?x1≡0，x2＝?x1≡0。因為x2≡0，則有?x2≡0。

將x2≡0，?x2≡0帶入式（5）中，則有：

解得：

即系統(tǒng)穩(wěn)定值為：

至此，定理2得證。

綜合定理1和定理2，可得改進(jìn)跟蹤微分器的形式：

式中，a1＞0，b1＞0，b2＞0，n＞0，n是奇數(shù)。

對于任意給定的有界可積函數(shù)v（t）和常數(shù)T，

需要對式（15）所示的改進(jìn)跟蹤微分器做出如下3點說明：

1）對于式（15），當(dāng) e＝x1（t）－v（t）較大時，加速度信號?x1（t）（或x2（t））亦會較大，使系統(tǒng)能以較快速度跟蹤v（t），滿足這時，起主要作用，使（x1－v，x2）T→（0，0）T，加速跟蹤v（t）過程。

2）當(dāng)e＝x1（t）－v（t）較小時，即x1（t）接近v（t）時，x1（t）變化趨緩，也即斜率變小，加速度信號?x1（t）（或x2（t））變小，這時仍需要加速度盡量大，才能使系統(tǒng)以較快速度跟蹤v（t），滿足

這時，恰有b1x2（t）/R＞b2x2（t）n/Rn（此時（x1－v，x2）T→（0，0）T，b2x2（t）n/Rn斜率貼近x軸），b2x2（t）/R起主要作用。

綜合1）和2）可知，所設(shè)計的改進(jìn)跟蹤微分器使得狀態(tài)量在遠(yuǎn)離平衡點和接近平衡點時均能加速收斂。

3）若令：

f＝－a1x1（t）－a2x1（t）m－b1x2（t）－b2x2（t）n，是不是可以保證式（15）在e＝x1（t）－v（t）較大時，除依靠b2x2（t）n/Rn外，同 時 也 依 靠 非 線 性 環(huán) 節(jié)－a2x1（t）m加速跟蹤v（t）的過程，使系統(tǒng)能以較快速度跟蹤v（t），滿足呢？答案是否定的，從理論上計算可知，（x1，x2）T除了收斂于（0，0）T外，還收斂于 [（－a1/a2）1/（m－1），0]T（其 中，a1、a2、m大 于 0，m為 正 奇 數(shù)，則（－a1/a2）1/（m－1）是復(fù)數(shù)解，位于虛軸上，致使跟蹤微分器系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。選Lyapuvov能量函數(shù)V，令V＝a1x1（t）2/2＋a2x1（t）m＋1/（m＋1）＋x2（t）2/2，可證得使系統(tǒng)收斂的兩個解是x1（t）＝0，x1（t）＝（－a1/a2）1/（m－1））。

2 改進(jìn)微分跟蹤器仿真

2.1 改進(jìn)微分跟蹤器與非線性跟蹤微分器效果比較

仿真中，讓改進(jìn)微分器和文獻(xiàn)[1]經(jīng)典的非線性跟蹤微分器比較，其參數(shù)設(shè)置如下：ADRC的TD設(shè)置[1]為r＝12、d＝0.05。

改進(jìn)跟蹤微分器設(shè)置：R＝5、a＝5、b1＝b2＝1、n＝3。

如圖1、圖2所示，改進(jìn)跟蹤微分器跟蹤效果平穩(wěn)，且抖振小，同時跟蹤的微分信號其值較大，符合階躍信號瞬間變化時，其變化率極大的情形。

2.2 改進(jìn)微分跟蹤器估計系統(tǒng)狀態(tài)性能仿真

研究對象為：

輸入信號：階躍信號，幅值為10，起始時間為1s；研究內(nèi)容：研究改進(jìn)的3階微分器估計系統(tǒng)狀態(tài)x1、1、2，3的性能（據(jù)此法，將2階跟蹤微分器拓展為三階跟蹤微分器）。

如圖3～圖5所示，當(dāng)輸入幅值10的階躍信號時，系統(tǒng)實際狀態(tài)變量x1、1（或x2）、2（或x3），與以y＝x1作為輸入信號v（t）的改進(jìn)跟蹤微分器輸出的估計值1、1（或2）、2（或3）幾乎重合，這也證明了改進(jìn)微分器在估計系統(tǒng)狀態(tài)變量時的有效性。

3 結(jié)論

本文所設(shè)計的改進(jìn)跟蹤微分器是Lyapunov意義下穩(wěn)定的系統(tǒng)，具有全局穩(wěn)定性和快速收斂性。通過仿真比較及驗證，證明了改進(jìn)跟蹤微分器具有較好的跟蹤效果，且其形式簡單，跟蹤時無抖振現(xiàn)象，是一款較好的跟蹤微分器。