目標監測傳感器網絡中錨節點優化布設

汪 晗，王 坤，張 磊，宋樹偉

(1.陸軍工程大學 指揮控制工程學院，江蘇 南京 210007；2.94860部隊 自動化站，江蘇 南京 210018；3.陸軍參謀部，北京 100042)

0 引 言

傳感器網絡定位技術[1-3]作為無線傳感器網絡的核心支撐技術得到學術界的廣泛關注。為了獲得網絡中傳感器節點的絕對位置，通常需要布設一些位置已知的錨節點，其它位置未知的節點(待定位節點)通過測量與錨節點之間的位置約束關系，進而采用定位算法解算出自身的位置。目前傳感器網絡定位的研究工作大多集中于定位算法的設計與改進[4-7]，這些定位算法通常考慮在錨節點的數量和布設位置已知的情況下，如何提高定位算法的位置解算精度。然而從定位系統的架構層面而言，傳感器網絡中如何布設錨節點是首要解決的問題，對整個網絡的節點定位精度具有重要影響。

目前傳感器網絡錨節點優化布設已成為節點定位技術研究的重要方向，具有較大的實用價值。例如在橋梁健康監測應用中，通過優化布設少量傳感器節點，對橋梁的關鍵部位進行實時的形變監測，可以提前發現橋梁病害，降低橋梁事故概率。當錨節點布設不佳，例如錨節點與待定位節點構成的幾何形狀較差時，無論采用何種定位算法，節點定位精度的提高都將受限[8]。目前錨節點優化布設方面的研究工作大多著眼于確保節點可定位[9]，較少考慮錨節點幾何形狀對定位精度的影響。優化布設工作大多基于搜索方法[10]來提高定位精度，即在錨節點布設組合空間內搜索優化布設方案，而基于理論推導的錨節點優化布設工作較少。

本文首先從理論上分析研究了錨節點幾何形狀對定位精度的影響，基于到達時間TOA測距推導出幾何精度因子GDOP[11](geometric dilution of precision)表達式，揭示了同一定位算法在測距誤差相同的情況下節點定位精度不同的本質原因。給定待監測目標點，首先從理論上推導出錨節點最優幾何排列需滿足的充要條件，并仿真推導出錨節點幾何面積對目標位移監測精度的影響。大規模仿真實驗表明，在相同的測距誤差分布和定位算法下，錨節點優化布設算法與隨機布設算法比較而言，前者能夠顯著提高定位精度，在目標定位監測等應用中具有實用價值。

1 幾何精度因子

圖1表示測距誤差ε相同時，由于錨節點與待定位節點的幾何形狀不同，將造成待定位節點的定位誤差存在較大區別，如陰影所示，幾何形狀越好，定位誤差越小，對應的陰影面積也越小。

圖1 定位誤差

圖2表示2維空間中(D=2)單節點的定位問題，p=(x,y)表示待定位節點O的真實位置，qi=(xi,yi),(i=1,…,M)表示M個錨節點的位置，錨節點與待定位節點之間的幾何排列Ψ可用矩陣G來定量表示。

圖2 二維中的定位情形

(1)

式中:v表示信號傳播速度，ni表示對應于第i個錨節點的TOA測量誤差。

假設測量誤差n=(n1,n2,…,ni…,nM)服從均值為零的高斯分布，并且n的協方差矩陣C滿秩。那么TOA的測量值τ=(τ1,τ2,…,τi…,τM)的概率密度函數(PDF)可以表示為

(2)

據此可以求出對應的費希爾信息矩陣J

J=E{[▽lnf(τ;p)][▽lnf(τ;p)]T}

(3)

其中，▽表示對p求梯度，E(·)表示對τ求期望。根據定義及式(3)，待定位節點的定位誤差克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound，CRLB)可以表示為

(4)

其中

(5)

gi是單位長度矢量，G是D×M矩陣，tr(·)表示求跡運算。

假設測量誤差n是相互獨立的高斯分布，且均值為零，方差為σ2，那么n的協方差矩陣C可以用式(6)表示

C=σ2IM×M

(6)

I表示單位方陣。從式(4)、式(6)可計算出待定位節點的定位誤差克拉美羅下界

(7)

當定位算法是無偏估計時，σCRLB可以近似表示σp

(8)

幾何精度因子GDOP定義為定位誤差σp與測距誤差σ的比值，見式(9)

GDOP=σp/σ

(9)

將式(8)代入式(9)可得到幾何精度因子的最終表達式

(10)

由式(10)可知，GDOP與測距誤差無關，僅與G有關。給定錨節點與待定位節點之間的幾何排列Ψ，可根據式(5)計算出矩陣G，此時在定位誤差中幾何排列Ψ對測距誤差σ的放大系數GDOP也唯一確定。

2 最優幾何排列

本文從單跳傳感器網絡中錨節點的優化布設入手，考慮當網絡中所有節點間的距離都在信號單跳傳播范圍內時，如何優化布設錨節點使得單個待定位節點的定位精度最高。

從式(8)和式(10)推導可得式(11)

σp≈σCRLB=σ·GDOP

(11)

證明：假設GGT的特征值為λi，λi>0，那么根據特征值的定義可知(GGT)-1的特征值是1/λi。由于

根據Cauchy-Schwarz不等式

所以有

(12)

由于

tr(GGT)=M

(13)

tr(GGT)=tr(λI)=λtr(I)=λD

(14)

對比式(13)、式(14)可知M=λD=>λ=M/D。

滿足條件GGT=(M/D)I的矩陣G稱為錨節點最優排列Ψopt。

根據式(5)中G的定義，tr[(GGT)-1]可以變形為式(15)

(15)

θi表示節點坐標系x軸正方向與第i個錨節點至待定位節點連線的夾角。

在2維定位情形下，即D=2時，我們對錨節點最優排列形式進行推導。在橋梁形變監測等目標點監測應用中，待監測點可以位于錨節點所構成的閉合區域內也可位于閉合區域外，下面分別對兩種情形進行推導。

(1)待監測點位于錨節點閉合區域內

待監測目標點與錨節點的位置關系如圖3所示，虛線表示錨節點形成的閉合區域，目標點O與各錨節點i(i=1,2,…,M)之間連線的夾角用θij表示。

圖3 待監測點位于錨節點閉合區域內

圖3中，由于待監測目標節點位于錨節點形成的閉合區域內，因此顯而易見相鄰錨節點之間的夾角和為2π，即

θ12+θ23+…+θM1=2π

(16)

因此在二維定位情形下(D=2)尋找圖3中的最優錨節點形狀，等價于在式(16)的約束條件下求式(15)的最小值。我們利用拉格朗日乘數法構造如下輔助函數

(17)

(18)

當θ12=θ23=…=θM1=2π/M時滿足式(18)，此時錨節點呈現均勻等角的布設形狀，即錨節點與目標節點的連線平分圓周角2π。為表述簡潔以目標點為中心建立坐標系，此時各錨節點的位置矢量可表示為

以M=4，D=2為例，其最優排列如圖4所示，此時各錨節點的方位角為

圖4 最優排列

對應的錨節點位置矢量坐標分別為：g1=[cosα,sinα]，g2=[cos(π/2+α),sin(π/2+α)],g3=[cos(π+α),sin(π+α)]，g4=[cos(3π/2+α),sin(3π/2+α)]。

(2)待監測點位于錨節點閉合區域外

圖5表示待監測點O位于閉合區域外的情形，此時M個錨節點與目標節點連線的夾角必然存在一個最大值，其它錨節點均位于該最大夾角內，且該最大夾角為其它所有相鄰錨節點間的夾角之和。在圖5中θM1最大，因此有

θ12+θ23+…+θ(M-1)M=θM1

(19)

圖5 待監測點位于錨節點閉合區域外

利用拉格朗日乘數法，構造輔助函數見式(20)

(20)

(21)

結合式(19)的約束條件θ12+θ23+…+θ(M-1)M=θM1(θM1<2π)可知：

(22)

以M=4，D=2為例，其最優排列如圖6所示，此時各錨節點的方位角表達式見式(23)

(23)

圖6 最優排列

3 仿真分析

對于橋梁形變監測等靜態目標監測應用中，需要對特定點進行精確的定位監測，以實時發現細微的位移形變，進而提前進行預防和拯救。前面已通過理論推導出錨節點與單個待監測點的最優幾何排列形式為均勻等角布設，下面我們通過仿真進一步研究當待監測點出現微小形變時，如何優化布設錨節點進而提高待監測點的定位精度。

3.1 幾何面積的影響

仿真設計如圖7所示，3個錨節點與待監測點成均勻等角布設，假設待監測點在半徑d=3米的圓面內發生形變，且形變概率服從均勻分布，改變錨節點與待監測點間的距離值r，進而改變錨節點的幾何面積。

圖7 仿真場景

假設測距誤差服從均值為0的高斯分布N(0,δ2)，δ=0.5米，且節點間的測距誤差相互獨立；在[5,50]米的區間內均勻改變距離值r，對于每一個r值，在圓面內等概率改變待監測點的位置，蒙特卡洛仿真N=10000次取平均定位均方根誤差RMS作為距離值r對應的定位結果。

RMS的定義見式(24)

(24)

仿真結果如圖8所示，從圖可知，隨著r值的增大，錨節點幾何面積也增大，圓面區域內的定位誤差逐漸變小，這帶給我們的啟示是：為了提高待監測點的定位精度，在錨節點幾何形狀不變(均勻等角布設)的情況下，幾何面積起到了更大的作用，因而在錨節點優化布設時，要兼顧考慮幾何面積的大小，使之覆蓋盡可能大的監測區域。鑒于無線信號的傳播距離及衰減特性，在應用中要綜合考慮信號傳播、布設環境與布設面積之間關系，優化錨節點的布設。

圖8 錨節點幾何面積對定位誤差的影響

3.2 優化布設性能

前面章節已通過理論推導出錨節點與單個待監測點的最優幾何排列形式：當錨節點呈現均勻等角布設時，對應的GDOP值最小；并通過仿真指出錨節點幾何面積對目標位移監測精度的影響，錨節點幾何面積越大，對位移監測的精度越高。下面我們通過仿真實例探討錨節點優化布設與隨機布設的定位性能差異。

仿真場景如圖9所示，待監測點位于100×100米的正方形區域的中央，根據上述結論，3個錨節點的優化布設形狀為均勻等夾角布設且在區域內布設的錨節點幾何面積要盡量大。

圖9 錨節點最優排列

假設測量誤差服從均值為0的高斯分布N(0,δ2)，δ在[0,2]米之間均勻取值，且節點間的測距誤差相互獨立；對于每一個δ值，蒙特卡洛仿真N=10000次取平均定位精度值(定位均方根誤差RMS)作為測距誤差δ對應的定位結果，仿真基于MATLAB R2012b軟件平臺實現。

錨節點在區域內的優化布設位置如圖9所示。待監測點在錨節點優化布設下的定位精度與隨機布設下的定位精度對比如圖10所示，從圖10可知，在不同的測距誤差δ下，錨節點優化布設對應的定位精度明顯高于隨機布設的定位精度，并與定位誤差CRLB接近。這表明仿真實驗與理論推導相符合，對實際應用中的錨節點優化布設具有正確的指導意義。

圖10 定位精度對比

4 結束語

本文在單跳傳感器網絡中優化錨節點布設以提高待監測點定位精度，通過推導幾何精度因子的表達式指出測距誤差相同時，錨節點幾何形狀對目標節點定位誤差的乘性影響。基于此從理論上嚴格推導出錨節點最優幾何排列的充要條件，并給出最優幾何排列的實例。仿真結果表明，在錨節點幾何形狀不變的情況下，錨節點幾何面積越大，待監測點的位移監測越準確；錨節點優化布設下的定位精度遠高于隨機布設精度，這對監測應用中優化布設錨節點具有實際的應用價值。