《橢圓》教材分析

摘要：圓錐曲線與方程在髙中數學課程中扮演著重要的角色，而橢圓作為選修2-1中第一個特殊的圓錐曲線，也是圓錐曲線的重要組成部分。通過建立橢圓的標準方程，進一步運用方程探究它的簡單幾何性質，并且采用坐標法解決一些實際問題或簡單幾何問題，進一步體會數形結合的數學思想方法。從實際應用方面來看，橢圓與人類的科研、生產活動以及生活都有非常密切的關系，尤其體現在研究橢圓透鏡、行星運行的軌道、旋轉體軌道等等，所以對橢圓的理解和掌握顯得尤為重要。本文將從《橢圓》的教材解讀和課程實施這兩個方面進行簡單的研究。

關鍵詞：橢圓；課程實施；解讀

一、 《橢圓》的教材解讀

（一） 橢圓

1. 橢圓的定義

把平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫作橢圓。這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距，用符號表示為：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）.注意：（1）當|F1F2|=2a時，軌跡是以點F1、F2為端點的線段.（2）當|F1F2|>2a時，軌跡不存在。

2. 橢圓的標準方程

當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程為x2a2+y2b2，其中a>b>0；當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程為y2a2+x2b2=1，其中a>b>0；若給定了橢圓的方程為mx2+ny2=1，其中m>0，n>0，要根據m，n的大小關系來判斷橢圓焦點在哪個坐標軸上。

3. 橢圓的簡單幾何性質

標準方程

x2a2+y2b2=1（a>b>0）

y2a2+x2b2=1（a>b>0）

圖形

焦點坐標

（-c，0）、（c，0）

（0，-c）、（0，c）

頂點坐標

（±a，0）、（0，±b）（±b，0）、（0，±a）

范圍

|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a

焦距2c

對稱性

對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：原點

長短軸

長軸長為2a，短軸長為2b

a，b，c關系

c2=a2-b2，a>b>0，a最大

離心率

e=ca=1-b2a2，0

（二） 橢圓的地位及作用分析

教材中2.2節的橢圓作為本章的第一個具體的圓錐曲線，學生已經學習了必修2的直線與圓的方程，對曲線和方程的概念有了一定的了解，同時，也是運用坐標法研究的第一個具體的圓錐曲線的標準方程及其基本性質，為后面雙曲線、拋物線的學習和研究提供了理論基礎，從思想上說，本節課是運用《曲線與方程》思想解決二次曲線問題的一個特殊例子；從內容上說，本節課是運用坐標法研究幾何問題的實際演練，也是研究橢圓幾何性質的基礎。同時，也為進一步研究另外兩種圓錐曲線——雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎。所以，本節內容起著承上啟下的連接作用，在本章也占據重要的地位，也是高考的重點考查內容，因此橢圓的學習在高中數學中有著舉足輕重和不可或缺的作用。

二、 課程實施

課程實施是實現預期教育結果的手段，它不僅僅是教師教的過程，更是學生學的過程。在課程實施中，要摒棄一些課堂中存在的單一、被動與封閉的學習方式，提倡和發展多樣化的學習方式，特別是要提倡自主、探究、合作的學習方式，讓學生成為學習的主人，使學生的主體意識、能動性和創造性不斷得到發展，培養學生的創新精神和實踐能力。

對于《橢圓》這一節的學習，第一小節是橢圓及其標準方程，第二小節是橢圓的簡單幾何性質。在第一課時的課程實施中，主要采用探究式、啟發式相結合的教學方法，可以借助幾何畫板等多媒體工具展示橢圓的形成過程，并且讓學生也動手操作，小組合作討論出橢圓的定義，在實際教學中，始終堅持以學生為主體，為學生的動手實踐、自主探索與合作交流的機會搭建平臺，引導學生積極思考，鼓勵學生發表自己的見解，教師進行補充后，讓學生深入體會并掌握橢圓的定義，進而達到從感性認識上升到理性認識。再運用其定義推導出它的標準方程，并解釋說明a、b、c所表示的意義。通過教材的三個例題介紹不同的求橢圓的標準方程的方法，讓學生進一步深化本節課的知識。

新課標要求，立體幾何的教學要直觀感知，操作確認。對于第二課時《橢圓的簡單幾何性質》的課程實施中，同樣借助多媒體輔助手段及實物投影，創設問題情境，并通過圖形引導學生形象直觀地體驗由數到形的過渡，便于學生觀察、認知、探求、發現、歸納。通過觀察橢圓的圖形，回答出橢圓的橫、縱坐標的取值范圍、對稱性、頂點坐標、橢圓的長軸和短軸等等。利用幾何畫板，固定a的大小，改變c的大小，讓學生觀察橢圓的扁平程度和a、c的值的關系，進而導出離心率e的范圍：0

在整個課程實施中，始終堅持學生為主體，教師為主導的作用，讓學生養成自主學習的習慣，貫徹數學學科的核心素養，達到提高教學質量的目的。

參考文獻：

[1]劉紹學，錢佩玲，章建躍.人教A版數學選修2-1[M].北京：人民教育出版社，38-45.

作者簡介：

林雪，四川省南充市，西華師范大學。