方程應(yīng)用題中尋找等量關(guān)系的呈現(xiàn)類(lèi)型與應(yīng)用

摘要：列方程解決實(shí)際問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，尋找等量關(guān)系又是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。因此，在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)應(yīng)用題具體意義，方程結(jié)構(gòu)，尋找合適的等量關(guān)系。本文基于方程應(yīng)用題中尋找等量關(guān)系的呈現(xiàn)類(lèi)型，進(jìn)行適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用和拓展，巧妙應(yīng)用，從而巧解方程應(yīng)用題。

關(guān)鍵詞：方程應(yīng)用題；等量關(guān)系；類(lèi)型應(yīng)用

一、 根據(jù)數(shù)量關(guān)系寫(xiě)出等量關(guān)系

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，足見(jiàn)數(shù)量關(guān)系在小學(xué)階段的重要地位。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行專(zhuān)門(mén)教學(xué)，內(nèi)容主要有速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)之間的關(guān)系，工作效率、工作時(shí)間和工作總量的關(guān)系等常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系。根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系可直接寫(xiě)出等量關(guān)系列出方程。

學(xué)校印制畫(huà)冊(cè)一共用去2240元，畫(huà)冊(cè)的印刷費(fèi)是3.6元/本，其余費(fèi)用是800元。學(xué)校印制了多少本畫(huà)冊(cè)？

結(jié)合題意我們知道學(xué)校印制畫(huà)冊(cè)分為兩種費(fèi)用，一種是印刷費(fèi)，另一種是其余費(fèi)用，同時(shí)一共用去2240元，引導(dǎo)學(xué)生找出等量關(guān)系：印刷費(fèi)+其余費(fèi)用=一共費(fèi)用。繼續(xù)可以把3.6元/本看作單價(jià)，設(shè)學(xué)校印制了x本畫(huà)冊(cè)看作數(shù)量，根據(jù)數(shù)量關(guān)系單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，得出印刷費(fèi)是3.6x元。所以方程是3.6x+800=2240。

基于題型教師引導(dǎo)學(xué)生找出題目中的主體等量關(guān)系，巧用個(gè)體數(shù)量關(guān)系架構(gòu)出方程，從而完成解題，達(dá)到思維的全面構(gòu)架和提升。

二、 借助幾何圖形顯示等量關(guān)系

借助幾何可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象、直觀，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要的作用。借助幾何圖形的對(duì)比思考出等量關(guān)系，快速準(zhǔn)確的定位出對(duì)應(yīng)的方程，從而提升解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

北京頤和園占地290公頃，其中水面面積大約是陸地面積的3倍。頤和園的陸地和水面面積大約各有多少公頃？

根據(jù)題意水面面積是陸地面積的3倍，我們可以把陸地面積看作1份，水面面積就可以看作3份，頤和園占地290公頃，繼續(xù)分析后發(fā)現(xiàn)占地面積分為水面面積和陸地面積，所以我們可以根據(jù)題意和理解畫(huà)出線段圖后找出等量關(guān)系。

用方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不必操之過(guò)急，可以根據(jù)題意整理出線段圖。水面面積是土地面積的3倍，可以設(shè)土地面積為x公頃，水面面積是3x公頃，再根據(jù)一共290公頃可以得到等量關(guān)系土地面積+水面面積=290公頃。

教學(xué)中采用畫(huà)線段圖來(lái)分析數(shù)量關(guān)系正是基于高年級(jí)學(xué)生“直觀形象”的學(xué)情特點(diǎn)而采取，特別是解決問(wèn)題中的和倍問(wèn)題和差倍問(wèn)題更是可以利用線段圖或幾何圖形來(lái)思考問(wèn)題，找出合適的等量關(guān)系。

三、 依據(jù)常用公式確立等量關(guān)系

小學(xué)階段，我們系統(tǒng)學(xué)習(xí)平面圖形的計(jì)算公式，三年級(jí)長(zhǎng)方形和正方形面積和周長(zhǎng)公式，五年級(jí)平行四邊形、三角形、梯形面積公式，同時(shí)五年級(jí)學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，學(xué)生可以根據(jù)圖形對(duì)應(yīng)的字母公式進(jìn)行有效地找出確實(shí)的等量關(guān)系。

三角形的面積是216平方厘米，底是24厘米。底邊上的高是多少厘米？

看到三角形的面積可以想到面積公式：底×高÷2=三角形面積，根據(jù)面積公式找出等量關(guān)系。設(shè)底邊上的高是x厘米，寫(xiě)出方程24x÷2=216，從而求出底邊上的高的長(zhǎng)度。

面積公式是小學(xué)階段學(xué)生經(jīng)常接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生可以根據(jù)公式的特點(diǎn)找出對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系，逐步的根據(jù)等量關(guān)系對(duì)應(yīng)合適的方程，從而提高解決問(wèn)題的實(shí)效性和針對(duì)性。

四、 抓住不變量揭示等量關(guān)系

列方程解應(yīng)用題首先要讀，再想找出題目中的“不變量”看它與已知條件的等量關(guān)系列方程。不變量對(duì)于解決方程問(wèn)題至關(guān)重要，是解決方程問(wèn)題的金鑰匙，通過(guò)這把鑰匙可以開(kāi)啟思考維度的門(mén)鎖，從而提升學(xué)生的理解力、思考力。

六（1）班同學(xué)合買(mǎi)一件禮物送給母校留作紀(jì)念。如果每人出6元，則多48元；如果每人出4.5元，則少27元。六（1）班有多少學(xué)生？

設(shè)立未知數(shù)是列方程的首要條件，設(shè)六（1）班有學(xué)生x人。找出適量的等量關(guān)系式是列方程的關(guān)鍵，本題中看似等量關(guān)系不明顯，但只要根據(jù)條件，細(xì)心分析一下就能看出，六（1）班學(xué)生買(mǎi)的是同一件物品，從而找出題中的不變量，同一件物品的價(jià)格是一定的。所以可以得出同一件物品用了兩種不同的分法，這樣在等量關(guān)系的兩邊都是這件物品的價(jià)格，然后列出方程。

教學(xué)不只是教知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的能力，教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，尋找解答問(wèn)題的竅門(mén)是獲取知識(shí)的途徑，類(lèi)如抓住不變量尋找等量關(guān)系的途徑，可以進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)教學(xué)的探究，再將其應(yīng)用于教學(xué)之中，相信必能收到可喜的教學(xué)成果。

五、 辨析題中“關(guān)鍵詞”凸顯等量關(guān)系

在教學(xué)中，為了讓學(xué)生能夠掌握理解關(guān)鍵詞或句子的意思和能力，進(jìn)而能夠分析理解題意，找出題中等量關(guān)系，針對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練很有必要，

獵豹是世界上跑得最快得動(dòng)物，時(shí)速能達(dá)到110千米，比貓的最快時(shí)速的2倍還多20千米。貓的最快時(shí)速是多少千米？

根據(jù)題意“比貓的最快時(shí)速的2倍還多20千米”中的“比”可以看作“=”，可以把貓的時(shí)速×2+20作為等量關(guān)系的左邊，獵豹時(shí)速110千米作為等量關(guān)系的右邊，可以找出相應(yīng)等量關(guān)系貓的時(shí)速×2+20=110。

在小學(xué)階段，常用的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)有“一共”“比……多”“比……少”“是……倍”“是”“為”，解題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生抓住這些數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)找等量關(guān)系。所以本題引導(dǎo)學(xué)生抓住其中的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)“比……多”，很容易發(fā)現(xiàn)本題的等量關(guān)系，有助于提升學(xué)生解決問(wèn)題能力，從而達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際情境的融會(huì)貫通。

六、 利用生活經(jīng)驗(yàn)展現(xiàn)等量關(guān)系

實(shí)際問(wèn)題中可以根據(jù)敘述事理的先后順序可以找出適合的等量關(guān)系，比如一輛公共汽車(chē)上原來(lái)有35人，到湖西車(chē)站下車(chē)x人，又上車(chē)y人。我們可以根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)得到答案就是用原來(lái)減去下車(chē)人數(shù)，再加上上車(chē)人數(shù)得到現(xiàn)在人數(shù)。所以利用生活經(jīng)驗(yàn)展現(xiàn)等量關(guān)系確實(shí)是解決問(wèn)題的有效手段。

小明原來(lái)有一些郵票，今年又收集了24枚，送給小軍30枚后，還剩52枚。小明原來(lái)有郵票多少枚？

根據(jù)題意我們可以利用生活經(jīng)驗(yàn)得到收集就是要加，送給就是減。所以得出小明原來(lái)的郵票數(shù)加收集的郵票數(shù)減送走的郵票數(shù)=剩下的郵票數(shù)的正確等量關(guān)系。所以生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生進(jìn)一步找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，提升學(xué)生理解性學(xué)習(xí)的能力和素質(zhì)。

一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)同時(shí)從相距540千米的兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇?？蛙?chē)的速度是95千米/時(shí)，貨車(chē)的速度是多少？

相向而行的生活經(jīng)驗(yàn)告訴兩輛車(chē)從兩端往中間行駛，所以想到數(shù)量關(guān)系速度和×?xí)r間=路程。所以設(shè)貨車(chē)的速度是x千米/時(shí)，方程是（95+x）×3=540。

引導(dǎo)學(xué)生尋找等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本文中涉及六種不同尋找等量關(guān)系的應(yīng)用類(lèi)型，主要增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的主動(dòng)意識(shí)，教學(xué)中重視等量關(guān)系的分析和引導(dǎo)，是破解方程教學(xué)的重要方法。教師做好知識(shí)點(diǎn)內(nèi)部結(jié)構(gòu)溝通，提供有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]林崇德.21世紀(jì)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

[2]何小亞.學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”指標(biāo)的理論分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（13-20）.

[3]黃友初.學(xué)校教育中數(shù)學(xué)素養(yǎng)教育的構(gòu)建[J].教師教育研究，2016（86-90）.

[4]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2011年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[5]李雅芬.集體備課與教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展[J].教學(xué)與管理，2009（19）：39-41.

[6]張紅艷.如何引導(dǎo)小學(xué)生理解方程中的等量關(guān)系[J].當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2016（4）：24-26.

[7]高展，王傳斌.方程應(yīng)用題中等量關(guān)系的析取[J].連云港師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2001（3）：59-61.

作者簡(jiǎn)介：

佟學(xué)唬，江蘇省常州市，常州市新北區(qū)三井實(shí)驗(yàn)小學(xué)。