利用極限的計算來探求連續函數的極值點

揭 勛

(廣東文理職業學院，廣東 廉江 524400)

利用極限和函數在某點連續以及極值點的定義，可以探求連續函數的極值點，從而系統全面地解決連續函數的極值求解問題，這個方法思路一致且較易理解，可作為高校講授函數極值問題的補充方法或后繼課程.

1 關于一元連續函數的極值點

1.1 關于一元連續函數的極大值點

先看看一元連續函數的極大值及極大值點的定義[1]148.

定義1設連續函數f(x)在區間(a,b) 內有定義,x0∈(a,b), 如果對于x0兩側近旁的任意點x(x≠x0)，均有f(x)

我們知道，一元連續函數的極值點必然是駐點或不可導點，但駐點或不可導點則不一定是極值點.因此，結合一元函數在某點連續的定義[2]15,[3]29,[4]29及一元連續函數的極大值的定義，可得下面的結論：

上述結論也可描述為：

設點x0是一元連續函數f(x)的駐點或不可導點，在該點處，若Δx→0,則Δy→0-,即：

該結論把一元函數在某點連續的定義、極大值的定義和極大值點處的函數圖像特征聯系了起來，便于理解和記憶，依據該結論探求極大值點的計算過程也簡單易行.

1.2 關于一元連續函數的極小值點

根據一元連續函數極大值點的上述判斷方法，可以類似地判斷一元連續函數的極小值點.

定義2設連續函數f(x) 在區間(a,b) 內有定義,x0∈(a,b), 如果對于x0兩側近旁的任意點x(x≠x0)，均有f(x)>f(x0) 成立, 則稱f(x0) 是函數f(x) 的一個極小值, 點x0稱為f(x) 的一個極小值點[5]66,[6]91.

故有下面的結論：

也可以表述為：

1.3 關于一元連續函數的非極值點

1.4 關于一元連續函數極值問題的例題分析

解：該函數的定義域為(-∞，+∞)

1)在x=1處，

2)在x=0處，

3)在x=2處，

故x=1是函數f(x)的極大值點，此時的極大值是1；x=0是f(x)的極小值點，此時的極小值為0；x=2是f(x)的極小值點，此時的極小值為0.

例2討論函數f(x)=(x2-1)3+1的極值.

解：f(x)的定義域為R，f′(x)=6x(x2-1)2

故f(x)的駐點為x=-1或x=0或x=1，沒有不可導點.

由于f″(x)=6(x2-1)(5x2-1)，

故f″(-1)=f″(1)=0,因此，若試圖根據國內現行《高等數學》教材所介紹的方法：利用函數的二階導數(即利用極值的第二充分條件[6]93)來判斷駐點x=-1和x=1是否極值點，是不可行的.但我們可按本文介紹的方法來判斷，事實上

在x=1處，

上式中，若Δx→0+，則其結果是0+；但若Δx→0-，則其結果是0-，故其結果無法一致統一為0+或0-，故x=1不是f(x)的極值點.同理，經過計算極限后可判斷，點x=-1處也存在類似的結論，也不是f(x)的極值點；而x=0是極小值點，極小值為0.

2 關于二元連續函數的極值點

現行高校的教材對二元連續函數極值點的判斷要借助駐點的二階偏導數值來討論[7]218(其重大缺點是不考慮不可微點)，才能判斷駐點是否極值點，這種方法不可靠(會漏掉不可微點這類極值點)，只能求解某些函數的某些極值點.

我們可以參考上述一元連續函數極值點的判斷方法，進行思路延伸，探索出二元連讀函數[7]171的極值點的方法.

定義3設二元連續函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內有定義，若對于該鄰域中任何不同于(x0,y0)的點(x,y)，成立不等式f(x,y)≤f(x0,y0) (或f(x,y)≥f(x0,y0))，則稱函數f(x,y)在點(x0,y0)處取得極大(或極小)值，點(x0,y0)稱為函數f(x,y)的極大(或極小)值點.

我們知道，若二元函數z=f(x,y)在某區域內連續，則其圖像一般是空間直角坐標系下的一個連續曲面，其極值點必然是駐點或一階偏導數不全(或全不)存在的不可微點，反之，駐點或一階偏導數不全(或全不)存在的不可微點不一定是極值點.在每個極大值點的某個鄰域，函數z=f(x,y)的圖像會從任意方向向極大值點處擠逼，形成圖像在極大值點處向上突起的現象，該極大值點處的函數值為該鄰域內函數的最大值；在每個極小值點的某個鄰域內，函數的圖像會從任意方向向極小值點處擠逼，形成圖像在極小值點處向下凹陷的現象，可以形象地理解到，該極小值點處的函數值為該鄰域內函數的最小值.若函數的某個駐點或一階偏導數不全(或全不)存在的不可微點處不具有上述圖像特征，則該駐點或不可微點必非極值點；若函數的某個駐點或一階偏導數不全(或全不)存在的不可微點處具有上述圖像特征，則該駐點或不可微點就是極值點.

受二元連續函數極值點處的圖像特征及受二元連續函數極值點的定義[8]68啟發，我們可以得出下列結論:

上述結論也可表述為：

同理，該結論也可表達為：

例3討論函數z=f(x,y)=-x2+y3+6x-12y+10的極值點.

解：借助函數的一階偏導數，可求得兩個駐點(3,2)和(3,-2)，它們是該函數所有的可能極值點.

1)在點(3,2)處，

顯然，上式的結果可能是0+，也可能是0-，故點(3,2)不是該函數的極值點.

2)在點(3,-2)處，

故點(3,-2)是該函數的極大值點，可求得極大值為35.

3 關于三元連續函數的極值點問題

這類問題，國內現行教材沒有提及.依照前述探討一元、二元連續函數極值問題的思路，可以得出求解三元連續函數極值的方法，以之作為相關知識的補充，可使學生的知識面得到系統性的加強.

根據三元函數在某點連續的定義及三元連續函數極值點的定義，得：

解：借助f(x,y,z)的一階偏導數，可知點(0,0,0)是一階偏導數全不存在的點，該點是函數唯一的可能極值點.在點(0,0,0)處，

故點(0,0,0)是f(x,y,z)的極小值點，易求得極小值是0.

4 關于n元連續函數的極值點問題

更有意義的是，利用極限和n元函數在某點連續的定義及極值點的定義，可以探求n元連續函數的極值點，可以系統全面地解決多元連續函數的極值求解問題，并為相關學科的相關計算提供可行的理論方法.這個方法思路一致且較易理解，可作為高校講涭函數極值問題的補充方法或后繼課程.

5 結語

極值是連續函數的重要性質之一，生產和科學實踐中常遇到的最優化問題，就與函數的極值有著密切的關系.極值問題是高職院校《高等數學》和《經濟數學》的教學重點和難點，但現行教材并沒有全面系統地介紹多元連續函數極值的求解方法.本文論述的方法是：利用導數求出連續函數可能的極值點后，根據連續函數的特征及極值點的定義，借助極限的計算判斷出連續函數的全部極值點并求得所有的極值，為相關問題的計算提供了可行的方法，且對一元及多元連續函數的極值求解具有思維方法上及計算方法上的一致性，容易強化知識點之間的聯系，加強了學生對極值問題的系統性理解及發散性思維的培養，可以作為現行教材相關知識的必要補充或后繼內容.