繩球模型與桿球模型

摘要：繩球模型與桿球模型作為豎直面內圓周運動的典型，在高中物理分析綜合能力考查中屬于重點內容，也是難點內容。本文就帶大家一起來從根本上認識它們。

關鍵詞：高中物理；繩球模型；桿球模型

繩球模型與桿球模型作為豎直面內圓周運動的典型，在高中物理分析綜合能力考查中屬于重點內容，也是難點內容。它常常與能量觀點綜合運用，用于解決實際生活中的諸如過山車、水流星等運動。因此正確認識、區分、理解這兩種模型十分重要，本文就帶大家一起來從根本上認識它們。

首先來看看它們的相似之處。

兩種模型“外貌相似”：如下圖（1）輕繩L一端栓結可視為質點的小球m，另一端繞水平轉軸O在豎直面內轉動即為繩球模型；將輕繩換作輕桿即為桿球模型圖（2）?！跋蛐牧Φ膩碓聪嗨啤?。討論小球向心力的來源，都是輕繩（或輕桿）的作用力與小球重力的合力沿半徑方向的分量來提供。

繩球模型與桿球模型如此相似，難道就是一個字的差別？它們究竟有哪些區別呢？

首先從根本上講，輕繩與輕桿提供的力不一樣：輕繩只能給小球提供沿著繩并指向繩收縮方向的拉力，而輕桿既可以給小球提供向圓周內的拉力，也可以提供向圓周外的推力，甚至它提供的力可以不沿著輕桿自身。其次約束情況不一樣：輕繩對球產生了單面約束，即小球不能跑到半徑為L的圓周以外，但可以跑到半徑為L的圓周之內，輕桿對球產生了雙面約束，小球既不能跑到半徑為L的圓周以外，也不能跑到半徑為L的圓周之內，只能在半徑為L的圓周上運動。其三小球運動情況不一樣：繩球模型中小球不能實現豎直面內勻速圓周運動，只能是一般圓周運動，桿球模型中小球能夠實現在豎直面內勻速圓周運動。第四做功情況不一樣：輕繩對小球不做功，小球機械能守恒，而輕桿可以對小球做功改變其機械能。

最后，小球在最高點的臨界條件不同，這點是?？键c。（默認向下為正方向）繩球模型小球在最高點時：mg+T=mv2L，其中T≥0，因此mg≤mv2L，即有v≥gL，故繩球模型中小球過最高點時的最小速度為gL。而對于桿球模型小球在最高點時：mg+F=mv2L，其中F>0，F=0，F<0都可出現。當F>0（即輕桿提供向下拉力）時有mggL；當F=0（即輕桿恰不提供力）時有mg=mv2L，即有v=gL；當F<0（即輕桿提供向上推力）時有mg>mv2L，即有v

下面我們通過一典型例題加以理解：如圖所示，質量為m小球從斜面AB上的A點由靜止下滑，通過水平軌道BC后進入半徑為R的半圓軌道CD，恰好通過圓弧最高點D，斜面AB與水平軌道BC在B處通過一小段光滑圓弧軌道連接。一切摩擦不計。求：（1）小球從靜止開始下落時的高度h。（2）小球經過半圓軌道的最低點C時對軌道的壓力。（3）其他條件不變，僅將CD段改成粗糙圓管道。小球從高度h=52R靜止釋放恰好通過最高點D。求粗糙圓管道對小球做的功。

分析與解答：豎直面內圓弧對小球的作用力只能是沿著半徑指向圓心的，因此屬于繩球模型，故

（1） 在D點，設小球的速度為vD，則有mg=mvD2L∴vD=gL

小球由A運動到D點的過程，由機械能守恒得：mg（h-2R）=12mv2D∴h=52R

（2） 小球由A運動到C點的過程，由機械能守恒得：mgh=12mv2C

通過C點時，有N-mg=mv2CR聯立上兩式解得，N=6 mg

則根據牛頓第三定律得：小球經過半圓軌道的最低點C時對軌道的壓力大小為6 mg，方向豎直向下.

豎直面內圓管道對小球的彈力既可以指向圓心也可以背向圓心，因此屬于桿球模型，故

（3） 在D點，小球的速度為0。小球由A運動到D點的過程，由動能定理得：

mg（h-2R）+Wf=0-0∴Wf=-12mgR

即粗糙圓管道對小球做了12mgR的負功。

通過題例我們可以看到，處理繩球模型和桿球模型的切入點是認真對小球進行受力分析，然后分清屬于哪一個模型，找準小球向心力的來源，列出牛頓第二定律式，注意結合能量觀點解決問題。

作者簡介：

葉巧英，江蘇省南京市，江蘇省六合高級中學。