用三種方法求解一道力學競賽題

張易娜

(湖南省瀏陽市一中　410300)

物理競賽是高中階段重要課外活動之一，它對學生能力的培養大有好處.物理競賽目的是考察學生分析問題，解決問題的能力，其難度比較大.怎樣學好物理競賽呢？我認為除了學好有關物理知識和原理 ，還要掌握必要的數學工具之外，最重要的是要學會一題多解，從不同的角度來分析和解決同一個問題，對我們的思維培養很有好處.特以下面例子來說明.

例圖1，一個半徑為R的1/4光滑球面放在桌面上，球面上放置一繩子，其A端在球面的頂點，B端與桌面不接觸，繩子單位長度的質量為ρ，求繩子A端受的拉力T.

方法一：用微元法求解

微元法是從部分到整體的方法.用微元法處理問題時，要將其分解為很微小的“元過程”，然后用相關的物理規律分析和處理.在使用過程中有必要做一些近似處理.

解答以繩子為研究對象，整條繩子不能看成質點，須將繩子分割成段，把每一小段繩子看成質點，分析其受力，根據物體的平衡條件算出整條繩子的受力.

在繩子上任取長為ΔL的一小段(微元)為研究對象，其受力分析如圖2.由于該元處于靜止狀態，所以受力平衡，在切線方向上應滿足：

Tθ+ΔTθ=ΔGcosθ+Tθ

ΔTθ=ΔGcosθ=ρΔLgcosθ

每段繩子沿切線向上的拉力比向下的拉力大ΔTθ，所以整個繩子對A端的拉力是各段上ΔTθ的和，即T=∑ΔTθ=∑ρΔLgcosθ=ρg∑ΔLcosθ

觀察ΔLcosθ的意義，因為Δθ很小，如圖3.

即CD⊥OC，∠OCE=θΔLcosθ表示ΔL在豎直方向上的投影ΔR，即∑ΔLcosθ=R

可得繩子A端受的拉力T=ρg∑ΔLcosθ=ρgR

方法二：用力矩平衡求解

首先確定整個繩子的質心位置：

建立圖4示的坐標系，設質心坐標為(xc,yc).

T=λgR

方法三：用虛功原理求解：

假定質點或質點系在給定瞬時約束系統許可的微小位移，稱為虛位移；力在虛位移上所做的虛功.

如圖5，假定繩子在A點拉力T作用下，移動ΔL的虛位移；繩子處于平衡狀態下，所以繩子動能不增加，可以認為A點拉力T所做的虛功，增加繩子重力勢能.重力勢能增加為ΔmgR=λgRΔL

TΔL=λgRΔL

T=λgR

總之,求解物理競賽題，除了要深刻理解物理規律和有關原理外還，還要掌握一些必要的物理思維方法：比如微元法，對稱法，極限法，圖像法等.當然必要的數學工具也很重要.還有最重要的一點是學會獨立思考，反復琢磨，一題多解，善于從不同角度分析和處理問題.能使我們對物理問題分析更透徹，理解地更深刻.能做到以上幾點學好物理競賽也就不是一件很難的事情.