談談課本中兩個有用的不等式

張維民

(黑龍江省哈爾濱市第三中學　150000)

現行普通高中課程標準實驗教科書《數學選修2-2A版》第32頁B組的1(3)、(4)題，利用函數的單調性容易證明

(3)ex>1+x,x≠0；(4)lnx0.

對于這兩個不等式，探究取等號的條件，還可變形推廣，得到下面更為一般的兩個推論.

推論1ex≥x+1(當且僅當x=0時取等號).

推論2lnx≤x-1(x>0，當且僅當x=1時取等號).

利用這兩個有用的不等式

例1(2013年全國卷Ⅱ第21題)已知f(x)=ex-ln(x+m),

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

解(1)m=1，在(-∞,0)上是減函數，在(0，+∞)上是增函數，過程略.

(2)f(x)>0，即ex>ln(x+m).注意到m≤2，而ln(x+m)是增函數，則ln(x+m)≤ln(x+2),故只要證ex>ln(x+2).

由推論1知ex≥x+1(當且僅當x=0時取等號),由推論2知x+1≥ln(x+2)(當且僅當x=-1時取等號).

上述兩個不等式不能同時取到等號,從而有ex>ln(x+2).

點評本例當年的標準答案比較煩難，而利用上述兩個課本習題的變形，十分方便快捷地獲得證明，因此熟悉這兩個常用的變形，對我們解答高考題將十分有益.

(1)求k的值；

(2)求f(x)的單調區間；

(3)設g(x)=(x2+x)f′(x)，證明：對任意x>0,g(x)<1+e-2.

解(1)k=1;(2)(0,1)上是增函數，(1,+∞)上是減函數.

利用導數求得h(x)的最小值h(x)min=h(e-2)=0.

注意到兩次取等號的條件x=e-2和x=0不能同時滿足，故得到h(x)min>0.

從而不等式得證.

點評解題的過程是一個不斷變換題目結構的過程，善于從不斷變換的式子中捕捉到形似的身影，再利用熟知式子與其靠攏，常可豁然開朗，尋得解題思路.

例3(2015年廣東卷19題)設a>0，f(x)=(1+x2)ex-a.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)證明：f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個零點；

解(1)、(2)略.

這由推論1知上式已成立，所以原不等式得證.

(1)求a、b；(2)證明：f(x)>1.

解(1)a=1,b=2，過程略.

高考數學題的壓卷題常為不等式的證明題，題目的式子復雜，多會含有ex、lnx類型的式子，證明的難度大.但細細觀察分析，不難探尋到其中的影子：ex≥x+1,lnx≤x-1.因此熟悉這兩個有用的不等式，并借助這個不等式，可將隱蔽式子顯性化，化生為熟，打開解題通道.

因此，關注課本中一些典型習題和結論，善于將這些結論變式并能靈活加以應用，必將提升我們應對數學高考題的能力.