類比法在高中數學解題中的應用

2018-07-12 02:47:00金葉

金　葉

(江蘇省南京師范大學數學科學學院　210000)

一、類比法的概念

類比法是探索、解決高中數學問題的一種常用的思維方法.它把我們研究的某一個數學問題的概念、屬性或解決的方法，類似地應用于另一個數學問題的概念、屬性，或者解決問題的方法上.

法國著名的數學家、概率論的現代形式的奠基人拉普拉斯曾說過:“甚至在數學里,發現真理的主要工具是類比與歸納.”

類比法是最常用的邏輯推理方法，而邏輯推理是新課標中對高中數學核心素養六大內容之一.因此，為落實高中數學核心素養于課堂教學之中，研究類比法在高中數學解題中的應用，具有重要的理論與實踐的意義.

在高中數學中，類比法的應用主要體現在：

1.新的數學概念、性質、原理、定理及公理等的學習.因為我們在學習新的數學知識的時候，可以通過類比，廣泛地聯想以前學過的知識，對新舊知識進行對比后，建立起新舊知識之間的聯系，從而以最快的方式更新自我的知識體系.

2. 通過類比構建知識網絡,促進知識系統的形成與掌握.

3. 利用類比啟迪思維,培養解決問題的能力.

在高考解題中，類比法的應用主要體現在五個方面：平面圖形與立體圖形間的類比、相似數學概念間的類比、不同數學知識間的類比、解題方法自身的類比、數字特征的類比.下面以平面圖形與立體圖形間的類比予以舉例并詳細闡釋.

一般地，我們把平面圖形的概念、位置或大小關系與立體圖形的相關概念進行類比，以利于形成在空間中的一般性結論.

類比法.

邊長對應表面積，內切圓半徑應對應內切球半徑.

證明方法的對比：

如圖1，點O為△ABC的內心，r為其內切圓的半徑，則

S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO

如圖2，點O為四面體S-ABC的內切球的圓心，r為其內切球的半徑，則

VS-ABC=VO-ABC+VO-SAC+VO-SAB+VO-SBC

點評平面幾何類比到立體幾何中時，點、線、面分別類比到線、面、體.本題中既有方法的類比，也有結論的類比.

例2由圖3，有面積關系:

類比法.

點評本題是從平面向空間的類比，結論與方法都具有相似性.

例3已知結論：“正三角形內一點到三邊的距離之和是一個定值”，將空間與平面進行類比，空間中什么樣的圖形可以對應三角形？在對應圖形中有與上述結論相應的結論嗎？

解析類比法.正三角形對應正四面體，三角形的邊對應四面體的面.得到猜測：正四面體內一點到四個面距離之和為一個定值.下面予以證明.

如圖5，在正三角形中，令正三角形的邊長為a.

∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，

如圖6，在正四面體中，令正四面體A-BCD的棱長為a.則VA-BCD=VP-BCD+VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD，

點評在正三角形中，可用面積分割法證明,而類似地，在正四面體中，可用體積分割法予以證明.

類比法應用中，常常表現為一種合情推理，其結論具有或然性，因此在解答題中運用此方法時，要確認結論的正確性時必須加以嚴格的證明.

總之，大膽類比，小心檢驗，嚴格論證之后，你的結論一定正確.