導數在高中數學新課程中的地位與作用分析

黃冬明

(安徽省巢湖市第四中學　238000)

導數的內容在高中數學新課程中是新引入的，不僅能夠對高中數學的函數知識進行深層次的跟進，而且也為高中數學的學習內容增加了新的活力，能夠為高中數學問題的解決提供很多新的問題解決思維模式，另外在高中數學的考試內容中，利用導數解決函數問題也是考查的重要內容.因此，在高中數學的學習過程中，應該重視導數在數學課程中的作用，合理的安排數學學習時間.

一、導數在高中數學新課程中的作用地位

1.能夠幫助學生有效理解函數特性

現階段的高中數學內容難度相對較高，尤其是在函數的學習中，如果能夠使學生對函數特性的理解更加深入，對于下一步開展高中數學課程的學習更加有幫助，因此教師在高中數學課堂上的任務主要是引導學生對函數的理論知識進行深入理解.但是在實際的教學過程中，函數的特性有時候還可以通過函數圖象加以表達，這就要求高中數學教師應該注重學生對函數圖象的理解，在這個基礎上，學生對函數特性的掌握就會更加牢固.然而在實際的數學學習過程中，不僅存在簡單的函數，而且還有著復雜的函數，對簡單函數的學習可以借助圖象的繪制，但是對于復雜的函數，圖象的繪制十分復雜，這時候要想對問題進行解決就必須依靠導數的應用，根據導數性質繪制出簡單圖象對問題進行解決，并且能在繪制的圖象中判斷函數的單調區間和極值點性質.

2.能夠幫助學生更好掌握函數思想

在高中數學的學習中，利用簡單的教學方法不能解決數學的全部問題，對于一些復雜的數學問題，教師可以適當地采用建立數學模型的方式解決函數問題，而且在建立模型的時候能夠加深對函數思想的理解，導數法在高中函數問題中的應用，體現了導數作為教學活動中重要工具的作用.在數學學習的階段，導數和函數還存在著明顯的關聯關系，在對實際問題的解決過程，可以建立合理的函數模型，充分對導數法進行利用解決數學問題，深化學生對函數思想的掌握.

3.能夠為其他學科的學習做好鋪墊

在高中課程的學習階段，導數知識雖然屬于數學范疇，但是導數也是高中微積分知識的重要組成部分.高中的物理、化學和生物等課程的學習需要和數學知識建立有效的聯系，導數知識在這些學科的學習過程中有著很重要的作用，應用范圍很廣泛.微積分的知識在高中各學科的應用很重要，幾乎包含了高中函數所有的要點，微分學作為微積分的分支，能夠利用函數關系對導數法的應用提供方便.在高中物理的學習中，解釋變速直線運動的原理可以利用導數，在高中化學的學習中，理解化學反應速度還可以利用導數的相關知識.

二、導數在高中數學新課程中的實際應用

1.導數在求函數單調性中的應用

高中數學的考試題目中，可能會經常出現判斷一個函數的單調性和確定函數單調區間的問題，這類問題傳統的解決方法是根據函數特性畫出簡單圖形來進行判斷單調性，但是過程太過復雜且不易對復雜問題進行操作，學生對此類方法的掌握不夠扎實.隨著導數在高中數學的出現，這類問題的解決方法變得明朗起來，在對導數分析后，可以得出規律性的結論：區間內各點導數大于零，函數單調遞增，反之單調遞減，若出現導數等于零，則函數為常數.

例1已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數，求a的取值范圍.

由函數y=x3在R上的單調性，可知當a=-3時，函數f(x)對x∈R為減函數.

(2)當a>-3時，函數f(x)在R上存在增區間.所以，當a>-3時，函數f(x)在R上不是單調遞減函數.

綜合(1)(2)可知a≤-3.

2.導數在求函數極值中的應用

在高中考試中經常出現的另一種問題是求某個函數的區間極值問題，在對導數的特性分析后，可以得出以下結論：在函數某個區間兩側的導數符號不同，則表明函數在這個區間內存在著極大或者極小值.這類問題可以先對函數的定義域進行確定，然后對函數進行求導操作，對區間兩側符號分析后，確定函數極值，在具體問題中可能會有所變化，但是核心環節還是函數的求導.

例2設函數f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值.

(1)求a、b的值;

(2)若對于任意的x∈[0,3]，都有f(x)

(2)由(1)可知f(x)=2x3-9x2+12x+8c,f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).當x∈(0,1)時，f′(x)>0;當x∈(1,2)時，f′(x)<0;當x∈(2,3)時，f′(x)>0.所以，當x=1時，f(x)取得極大值f(1)=5+8c.又f(0)=8c,f(3)=9+8c.則當x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)=9+8c.因為對于任意的x∈[0,3]，有f(x)9，因此c的取值范圍為(-∞,-1)∪(9,+∞).

3.導數在幾何問題中的應用

幾何問題作為高中數學的重要問題，經常在考試中出現，若采用傳統方法進行處理，通過幾何分析和大量計算也能得出相應結果，但是這個過程對學生的思維能力要求較高，還可能會浪費大量時間，不適合在考試中應用.這時候如果運用導數知識，可以大大減少計算量，避免計算帶來的誤差.

例3用長為18m的鋼條圍成一個長方體的框架，其長方體的長寬比為2∶1，問該長方體的長寬高為多少時，其體積最大？

4.導數在生活常見問題中的應用

在高中數學進行新課程改革的過程中，在考試中引入了許多與生活有關的問題，采用傳統的解題方法對此類問題進行解決十分復雜且難度大，但是在導數知識引入后能夠更加方便地解決此類問題且計算十分簡便，可以利用導數解決有關物體運動速度、物種繁衍率和經濟最大效益的問題，充分利用了導數的工具性.

例4路燈距地面8m，一個身高為1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，從地面上的射影點C，沿著直線離開路燈，求人影長度的變化

速率v.

解如圖，路燈距地平面的距離為DC，人的身高為EB.

設人從C點運動到B處路程為xm，時間為tmin，AB為人影長度，設為ym，則：

又84m/min=1.4 m/s,

導數在高中數學新課程中的教學內容十分重要，能夠解決比較復雜且計算量大的問題，在數學教學的過程中，導數的應用不僅能夠使學生掌握較為新穎的解題方法，還能夠鍛煉學生的解題創新思維.在高中數學中開展導數的學習，還能夠使學生對于數學的學習有著更為廣泛的理解，體現了數學學習的價值，而且對導數的理解有助于幫助學生提升數學的辯證邏輯思維，為今后學習更為復雜的微積分知識和其他學科時打下堅實的基礎，因此在高中數學的學習中對導數的應用十分的必要.