獨辟蹊徑，巧妙解決數(shù)學不等式問題

江　勇

(江蘇省包場高級中學　226100)

一、分類討論，逐一分析條件

分類討論是一種很重要的數(shù)學解題方法，它是以題目中的條件為出發(fā)點，根據(jù)題目中的條件分別推斷出結果，然后將各類結果加以整合，得出最終結論.運用此方式解數(shù)學不等式問題時需要學生清晰掌握題目中的各個條件，然后用已經掌握的來逐一分析條件，得出結論.學生運用這種方法來解題可以提高學生的思維能力與解決問題的能力.因此，在面對有些不等式問題時，我們老師可以引導學生用分類討論的思想來解題.

通過分類討論，學生從已知的每個條件出發(fā)，對題目中的條件進行一一分析，最終得出每個條件的結論，得出整個題目的最終結論.這種方法對學生來說是最基本的方法，也是學生容易理解與掌握的.因此，我們老師在教不等式的解法時，要積極引導學生用這種方法來解題，提高解題效率.

二、增加變量，建立清晰思路

增加變量法是解決數(shù)學不等式問題的另外一種很高效的解題方法，學生一般的思路是將題目中的變量減少，但是此種方法反其道而行之，另辟蹊徑來進行解題.學生在用此種方法來進行解題時比較難以接受，因此，需要我們老師花費時間來向學生耐心講解這種方法的精華所在，這樣學生才容易理解，最終靈活運用這樣方法來解題.

例如，筆者在教學人教版高中數(shù)學必修五第三章“不等式”的時候，面對有些不等式問題就引導學生用增加變量的方法來解題.為了讓學生掌握所學知識，筆者為學生出了一道題:在aa2b+b2c+c2a.這道題看起來比較簡單，大部分學生都會將等式兩邊進行化簡，用等式左邊減去等式右邊，然后分解因式，得出最終答案.但是這個解法比較麻煩，因此，筆者引導學生設c=b+m，b=a+n，并且m、n要大于0，然后代入等式，然后再用做差的方法，去掉括號，等式左邊減去等式右邊=mn(m+n)，由于m和n大于0，因此就可以證明出答案.

通過用增加變量的方法來解題，學生發(fā)現(xiàn)解題的方法可以多種多樣，有時甚至與自己想的解題方法截然不同但是解題過程更高效，解出的答案也更準確.這種解題方法讓學生對不等式的更多種解法充滿興趣，因此，學習的積極性也會更高.因此，我們老師要引導學生用更多出人意料的方法來解題.

三、數(shù)形結合，明確數(shù)量關系

不等式并不是只含有數(shù)字，在某些不等式中還含有參數(shù)，因此，面對含有參數(shù)的不等式，我們老師可以引導學生將解題步驟與圖形相結合，借助于圖形來進行解題，這樣通過數(shù)形結合的方式，學生對題目中的數(shù)量關系就會更加明確，最終解出題目答案.

例如，筆者在教學人教版高中數(shù)學必修二第三章“函數(shù)與方程”的時候，就引導學生用數(shù)形結合的方式來解題.在學完本節(jié)課內容之后，課后有這樣一道題需要學生來解:在a>0的情況下，解不等式ax+1>|x-2|.對于這道題來說，含有絕對值，那么用圖形的方法來解題比較方便.因此，可以設y=ax+1，h=|x-2|，在坐標平面內分別畫出這兩條直線，解兩條直線的交點.那么在x≤2時，得到ax+1=2-x，就可以得到x=1/(a-1)，那么就得到兩條直線交點橫坐標.那么，由所畫的圖就可以看出，當x>1/(a-1)時，直線y在直線h的上方，與題目中的條件相符合，就得出最終結論.

通過數(shù)形結合，將復雜的題目進行簡化，題目中的數(shù)量關系也會更加明確，學生解題時會更加容易，從而對之后的不等式解題充滿信心.因此，面對不等式問題，我們老師還應該用一些數(shù)形結合的方法來引導學生進行解題，不斷向學生滲透數(shù)形結合的思想，最終讓解題效率事半功倍.

四、配方解答，拼湊增加裂項

不等式中的有些條件并不能滿足學生解題的需求，因為題目中的條件與學生的解題思路之間相差一定的系數(shù)或者項數(shù)，學生只能望著題目無從下手，從而影響了解題的進度，降低了學生的解題效率.面對這種題目，我們老師可以引導學生將題目中的項數(shù)進行拼湊，拼出自己所需要的條件，然后再用相應的方法減去拼湊的條件，從而為之后的解題鋪平道路，提高解題效率.

筆者給學生出了一道題來考驗他們，這道題的題目是:已知x<3/2，y=4x-1+1/(4x-6)，求函數(shù)y的最大值.那么可以通過拼湊增加裂項的方法來解答.因為x<3/2，那么就可以得到6-4x>0，那么y=4x-1+1/(4x-6)=-[6-4x+1/(6-4x)]+5≤-2+5=3.當且僅當6-4x=1/(6-4x)即x=5/4時函數(shù)值最大，這樣就得出最終結果.

學生解決數(shù)學不等式問題并不是只要掌握解題方法就可以解出來的，他們需要根據(jù)不等式的題目條件以及特征在眾多的解題方法中選擇最合適的解題方法，這樣才能提高解題的正確率，縮短解題時間.因此，我們老師除了要給學生講述解題方法外，還需要引導學生將解題方法和所對應的題目類型一一對應，這樣才能讓教學效率事半功倍.