常見幾何體的內切球與外接球問題

李冬祿

(遼寧省凌源中學　122500)

一、正方體的內切球與外接球

設正方體棱長為a,外接球半徑為R,內切球半徑為r,則:

結論1: 正方體的外接球半徑R為正方體對角線的一半，即：(2R)2=3a2

圖1

例1(2013福建12) 已知某一多面體內接于球構成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、 俯視圖均如圖1所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是____.

二、長方體的外接球

設長方體的棱長為a、b、c,外接球半徑為R,則:

結論4: 長方體的外接球半徑R為體對角線的一半，即：(2R)2=a2+b2+c2.

結論5：三條棱兩兩垂直、三個側面兩兩垂直、對棱相等的三棱錐，其外接球問題均可構造成對應的長方體進行求解.

練習：

1. 已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是(24π).

3.三棱錐A-BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，則該三棱錐外接球的表面積為(55π).

三、正四面體的外接球與內切球

設正四面體棱長為a,外接球半徑為R,內切球半徑為r,則:

結論7：正四面體的內切球半徑可用等積法求解，且R∶r=3∶1(如圖3).

例3正四面體的四個頂點都在表面積為36π的球面上，則該四面體的棱長為____.

四、直棱柱的外接球問題

設直棱柱的高為h,底面多邊形的半徑即外接圓半徑為r,外接球半徑為R，則：

例4(2013遼)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上.若AB=3，AC=4，AB⊥AC,AA1=12，則球O的半徑為().

練習：1.(2010新課標)設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為( B ).

2.(2009全國1)直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，AB=AC=AA1=2, ∠BAC=120°，則此球的表面積等于(20π).

五、特殊棱錐的外接球問題

結論9：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，公共斜邊就是其外接球的半徑，反之亦成立.

例5 (2012全國)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為().

此棱錐的體積為

六、幾何體的最值問題

例6 (2010全國1)已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(B).

練習：(2015新課標2)已知A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(C).

A．36πB.64πC.144πD.256π

總之，幾何體與球的有關組合問題，是高考的常考考點，如果能熟練掌握常見幾何體的外接球與內切球的有關結論，在高考中就會得到事半功倍的效果.