一類區間時變時滯切換系統的穩定性

劉玉忠, 佟　雪

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽　110034)

0　引　　言

切換系統是一類動態混雜系統,由一系列連續(離散)時間子系統以及決定子系統間如何切換的規則組成[1]。切換系統作為混雜系統的一個重要分支,在學術界引起廣泛關注。隨著計算機的發展和普及,為切換系統的興起、發展和應用提供了物質基礎和保障。目前,切換系統的研究已經成為現代控制理論的熱點問題,主要集中在系統穩定性分析、系統魯棒性、系統優化、H∞控制、自適應控制、卡爾曼濾波、系統反饋控制器設計等方面研究中。

時滯現象在自然界中是普遍存在而又不可避免的一種現象,在許多實際系統,如航空航天系統、化工系統、控制系統中頻繁出現。一方面,系統時滯可能導致系統不穩定,降低系統性能或者引起系統出現混沌現象;另一方面,也可以利用時滯來改善系統控制效果,更好地解決實際問題。因此,分析和研究時滯動態系統具有極高的理論意義和應用價值。近年來,時變時滯系統的研究引起了國內外眾多學者的關注,尤其是對帶有區間時滯的線性時變系統的穩定性研究。

本文研究一類帶有區間時變時滯的線性切換系統的穩定性問題。首先,根據時滯分割法將時滯區間進行劃分;其次,在每個時滯區間內,通過構造帶有三重積分項的L-K泛函,應用積分不等式、二階倒數凸組合方法,綜合處理Lyapunov-Krasovskii泛函沿著時間的導數中積分項;最后,以LMI的形式得出了一類帶有區間時變時滯的線性切換系統穩定性的充分條件。

1　問題描述

考慮如下含有區間時變時滯線性切換系統:

(1)

定義1[16]令φ1.φ2,…,φN:RmR在開子集D∈Rm上有正值,則φn在D上的二階倒數凸組合是以下形式的函數:

(2)

引理1[5]令f1,f2,…,fN:RmR在開子集D∈Rm上有正值,則fi在D上的一階倒數凸組合滿足

(3)

且滿足下面的條件:

引理2[17]令h1≤h(t)≤h2,其中:h(t):R+→R+,對于任意R=RT>0,如下不等式成立:

引理3[18]假設γ1≤γ(t)≤γ2,其中γ(·):R+R+,對于任意適當維數的常數矩陣Ξ1,Ξ2和Ω下面的矩陣不等式成立:

Ω+(γ(t)-γ1)Ξ1+(γ2-γ(t))Ξ2<0

當且僅當

Ω+(γ2-γ1)Ξ1<0,Ω+(γ2-γ1)Ξ2<0

引理4[19]假設0≤hm0,有下面的線性矩陣不等式成立:

2　主要結果

考慮如下時變時滯系統:

設N是大于零的正整數,hi(i=1,2,3,…,N+1)為標量,對時滯區間進行如下均勻分割:

hm=h1

定理給定常數hM和hm,如果存在正定對稱矩陣P=?Pij?3×3,Qi>0(i=1,2),Ri>0(i=1,2),Zi>0(i=1,2,3,4),Si(i=1,2,3,4,5),適當的自由權矩陣Ta,Ya(a=1,2,3),使得如下的LMIs成立:

則系統(1)是漸進穩定的,其中

證明為了簡單起見,首先考慮h(t)∈[h2,h3]子區間段時,定理成立,進而當h(t)∈[hi,hi+1](i=1,2,3,…,N)時證明定理成立。

當h(t)∈[h2,h3]時,構造如下的L-K泛函:

(7)

其中

則V2(t)沿著系統(1)的導數為

(8)

其中

由引理2可得

由引理4可得

由引理4可得

其中α=(h(t)-h2)/h23,β=(h3-h(t))/h23。

由引理1,假設存在矩陣Si(i=1,2,3,4,5)使得式(5)成立,則有

將式(9)～式(17),帶入式(8),則

其中

如果對于h(t)∈[h2,h3],有以下條件成立:

(18)

注1:本文L-K泛函優越性體現在:基于時滯分割法,將時滯區間劃分為均等的n個部分,針對每個區間構造包含三重積分項的泛函,對于L-K泛函中的三重積分增廣項,其被積函數中包含狀態向量x以及時滯下界的更多信息,這將使得穩定性結論的保守性顯著降低。

3　結　　論

本文基于時滯分割法,研究區間時變時滯線性切換系統的穩定性問題,不同于以往的研究方法,在構造L-K泛函時,針對不同的分割區間構造包含三重積分項和增廣項的L-K泛函,利用保守性更小的積分不等式與二階倒數凸組合的方法直接處理分段L-K泛函導數中三重積分所產生的積分組合,以便得到其導數的緊致上界。這樣的方法避免了以往時滯分割方法判據形式復雜、計算耗時長的不足,有利于理論分析及計算,最后應用線性矩陣不等式得到新的穩定性判據,從而可以利用Matlab求解并驗證結論的有效性。