一類半線性中立型Emden-Fowler泛函微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則

湯 穎,李連忠

江南大學(xué)理學(xué)院,江蘇 無錫 214122

本文考慮半線性中立型Emden-Fowler泛函微分方程

其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),α＞0,β＞0，我們將建立這類方程的振動(dòng)性準(zhǔn)則,如果不做說明,以下條件總是成立的：

1 已有研究成果

文獻(xiàn)[3]中作者對方程

的振動(dòng)性給出了若干結(jié)果,其中并且此方程有許多重要的特例,例如

對于方程（3）-（5），其振動(dòng)性已有豐碩的成果[2,4].

本文將對方程（1）的振動(dòng)性進(jìn)行研究，建立其振動(dòng)準(zhǔn)則.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)成立,若存在函數(shù)對任意正數(shù)M,以及任意有

其中則方程（1）振動(dòng).

證 明 設(shè)方程（1）有非振動(dòng)解x(t),不失一般性,設(shè)x(t)＜0

方程(1)可以寫成

所以是單調(diào)遞增函數(shù).

由[3]可知z′（t）＜ 0.

否則, 如果z′（t）＞ 0,則必存在N＞0使得成立.

所以

對上式由T到t積分，得到

矛盾，

所以

式 (1)可以寫成

這里

建立函數(shù)

顯然

整理可得

已知z′（t）＜ 0,由[3]知,存在一個(gè)正數(shù)M,使得

當(dāng)β≥α?xí)r,存在常數(shù)使得成立,那么（11）可寫成

當(dāng)α＞β時(shí),由我們可以看到是單調(diào)遞增函數(shù).存在,式(11)可寫成

由(12)和(13)我們得到

根據(jù)公式

所以

對上式從T到t積分,得到

另此與w（t）＞0矛盾,定理1證畢

推 論 2 在方程（1）中若α=1,則定理1的條件（6）有下列形式：

（1）當(dāng)β＞1 時(shí),有

（2）當(dāng) 0＜β＜1 時(shí),有

定理 1的結(jié)論仍然成立.

注 1：文獻(xiàn)[3]中研究的方程為本文方程（1）的特殊情況,且本文中僅要求α＞0,β＞0不再限制α,β的大小關(guān)系，本文定理及推論中引入的絕對值修正了原有結(jié)論的小失誤.

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