基于模糊關系的Clifford半群

董 麗,孔祥智

江南大學 理學院,江蘇 無錫 214122

1 引言

近年來，自動機理論，碼論等新興學科交叉研究的需要，使得半群理論的發展非常迅速。半群代數作為一種群結構的弱化，因為其對二元運算僅要求結合律成立，故應用范圍比群要廣泛的多，尤其是在組合數學，計算機科學等領域。半群代數理論的研究方法與群的研究方法有很大區別，獲得的研究成果也非常的豐富多樣。本文試圖將模糊集與半群代數相結合并從一個全新的角度將最接近群定義的著名半群—Clifford半群模糊化，即從模糊關系的角度研究E-模糊Clifford半群，目前這一類的研究還不多見。

Clifford半群的模糊化作為模糊代數的一個全新的擴充，不但能從一個全新的角度研究半群代數理論，也為解決模糊數學的應用問題提供了一個新的思路。

2 預備知識

定義 1[1]設U,V為兩個全集，隸屬函數R為U到V的一個模糊關系，簡稱為F關系，記為R。對稱R(x,y)為x對y具有關系R的相關程度。特別地，若U=V，R:稱R為U上的(二元)F關系。

定義2[2]設記

則稱Rλ為R的λ截集，稱Rsλ為R的λ強截集。

定義 3[2]設有:

則稱R為r上的模糊關系。若R滿足:

（1）R是弱F自反?x,y∈U，R(x,y)≤r(x,x)且

（2）R是F對稱，即?x,y∈U，R(x,y)=R(y,x);

（3）R是F傳遞，即(“∧”表示取下確界);

稱R為U上的弱模糊等價關系，簡稱弱F等價關系，即

（注釋：表示U上所有的弱模糊等價關系，表示U上的所有模糊關系。）

定義 4[3]若則稱(U,R)為E?模糊集。特別地，若R滿足可離性，稱(U,R)為可離E?模糊集。（注釋:E-僅代表模糊結構，即弱F等價關系）

引理 1[4]設S為半群，下面幾個條件等價:

（1）S是Clifford半群;

（2）S是群的半格;

（3）S是群的強半格;

（4）S是正則的且S的冪等元是中心冪等元。

這里的Clifford半群其中Y為半格，Sα為S的非交子群，并記子群Sα的單位元為簡記為eα。

設且φα,β為同態映態。特別地

定義 5若μ為Clifford半群S的模糊集且對任意的a,b∈S，有

稱S為模糊Clifford半群。類似地，若對S上的弱F等價關系R有:

稱R與S的運算是相容的，即S為模糊Clifford半群。

3 主要結果及證明

本節我們將模糊Clifford半群與弱模糊關系相結合，定義E-模糊Clifford半群，進而研究其上截集決定的模糊商集與E-模糊Clifford半群之間的關系。

定義 6設S為具有一個二元運算（·）及兩個一元運算的代數結構，令其中R為S上的弱F等價關系。Clifford半群顯然是這樣的一個代數結構。若

稱SR為E?模糊Clifford半群。若R滿足可離性，則稱SR為可離E?模糊Clifford半群。

定義 7設為E-模糊Clifford半群， ∈[0,1]?λ，Rλ為R的λ截集，[x]表示的等價類。

記

則稱為由Rλ決定的模糊商集，即F商集。

定理 1若為E-模糊Clifford半群充要條件是構成Clifford半群，其中為Rλ決定的F商集。

證明 （必要性）（1）證結合律。由λ截集定義知所以則

那么，對因此結合律成立。

由R的F傳遞性知，那么，對x∈rλ，有

（4）證有

那么，對x∈rλ，有

（5）證

這里分別為Sα,Sβ的單位元。有

（充分性）（1）設是Clifford半群，則

（2）設是Clifford半群，則即有

（3）同理可得

綜上所述，SR為E-模糊Clifford半群。

4 總結

本文將模糊代數與半群代數相結合從弱F等價關系的角度研究Clifford半群，引入了E-模糊Clifford半群的概念，并討論了它的基本代數性質，獲得一些有意義的結果。此外，還可以用類似的方法研究逆半群、完全正則半群等代數結構。將在后續工作中進行討論。

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