無套利“雙斜率”DNS利率期限結構模型與實證

張 健，陳映洲

（1.交通銀行資產負債管理部，上海 200336；2.上海財經大學 經濟學院，上海 200433；3.中證指數有限公司，上海 200127）

0 引言

國外有關利率期限結構的早期研究主要有預期理論、流動性理論與市場分割理論，這些理論可以解釋單個交易日債券收益率曲線“上升”“水平”及“下降”等形態。其中預期理論是預測利率變動、擴展利率期限結構模型的經濟學基礎。大量文獻利用國債收益率、銀行間拆借利率等數據對預期理論進行了檢驗[1-3]。為了分析債券收益率的動態變化及其與宏觀經濟變量的關系，出現動態利率期限結構模型，主要有 Vasicek模型[4]、CIR模型[5]和仿射模型[6]。影響較大的是仿射模型[7]，仿射模型具有理論基礎，但預測效果甚至不如隨機游走模型。Diebold和Li（2006）[8]以Nelson-Siegel模型[9]為基礎，建立包含“水平”“斜率”和“曲率”狀態因子的動態模型（DNS模型），它能充分捕捉收益率曲線動態變化信息，預測能力較強。Christensen和Diebold[10,11]實現仿射模型與DNS模型的融合，構建無套利動態Nelson-Siegel模型（AFDNS模型）。該模型繼承了仿射模型的嚴格無套利條件，又保持了DNS模型的簡約性，可以得到債券價格的解析解，并能解釋因子的經濟意義。Niu等（2012）[12]立足仿射模型，推導出離散時間下的AFDNS模型。與此同時，國內的相關研究成果也不斷豐富[13-16]。

需要指出的是，目前廣泛使用的DNS模型對短期債券利率的擬合優度有待提高，且缺乏債券定價理論的支撐。因此，本文在無套利框架下構造無套利“雙斜率”DNS模型，豐富無套利DNS模型的內涵。該模型具有更強的樣本擬合能力，隨著樣本債券期限增加，參數估計能保持較強的穩定性，為分離長短期利差做出了探索性研究。

1 無套利“雙斜率”DNS模型及其估計

1.1 DNS模型

Nelson-Siegel模型廣泛用于利率期限結構的靜態擬合，具體形式為：

其中，yt(τ)是期限為τ的債券在t時刻的收益率。根據式(1)可以得到yt(∞)=β1以及yt(∞)-yt(0)=-β2，即β1為長期利率（無限期債券收益率），β2為長短期收益率之差的相反數。參數β3沒有明確的經濟意義，但對描述收益率曲線的形態十分重要。λ為衰減參數。

由于靜態NS模型無法描述收益率曲線隨時間動態演化的過程，Diebold和Li（2006）[8]將其回歸系數β1、β2和β3設定為時變變量，并命名為水平、斜率和曲度因子，分別用Lt、St和Ct表示，對應的1、(1-e-λτ)/λτ和 (1-e-λτ)/λτ-e-λτ為因子載荷。用一階向量自回歸描述因子的動態變化，可以得出動態NS模型（簡稱DNS）：

其中，μL、μS和μC為常數自回歸模型均值，A為自回歸系數矩陣，ηt為誤差向量，觀測方差中的誤差項與因子本身以及轉移方程中的誤差項均不相關。DNS模型中的水平因子可以刻畫收益率曲線的整體變化，斜率因子則捕捉了收益率曲線近端的動態變化。

1.2 無套利“雙斜率”DNS模型

參考Duffie和Kan（1996）[6]提出的仿射模型，在風險中性測度下，狀態因子滿足：

因此，零息債券收益率y。 通 過 設 定B1(t，T)，B2(t，T)，B3(t，T)，B4(t，T)，使y(t，T)具有近似“雙斜率”DNS模型的特征。

因此，零息債券的價格為：

其中,B1(t，T)，B2(t，T)，B3(t，T)，B4(t，T)，A(t，T)滿足微分方程(8)，邊界條件為A(T，T)=B1(T，T)=B2(T，T)=B3(T，T)=B4(T，T)=0。

根據 Christensen 和 Diebold（2009，2011）[10，11]的研究，為了識別模型，令θQ=0，Σ為下三角四階方陣，可以得出：。 風 險 中性測度下，債券價格是因子的自仿射函數[17]，那么關于動態因子的微分方程在物理測度P下仍然具有自仿射結構。考慮到市場數據存在觀測誤差，在觀測方程中加入白噪聲擾動項后的無套利“雙斜率”DNS模型簡記為：

已有研究表明，相對于因子存在相關結構的模型,獨立因子無套利模型對中長期收益率的預測效果更佳。本文令KP，Σ為對角矩陣，構建獨立的無套利“雙斜率”DNS模型，簡記為 AFDNS（I4）。而 Christensen 和 Diebold（2009）[10]令具有近似 DNS 的特征，簡記為AFDNS模型。為了估計無套利“雙斜率”DNS模型（式(9)）中的參數，對因子向量Xt的動態演變過程進行離散化，選Δt=1/12，無套利“雙斜率”DNS模型可以表示為線性狀態空間模型：

2 參數估計與實證分析

2.1 樣本選取

銀行間市場國債交易數據信息含量豐富，適合實證研究，本文選取2006年3月至2015年6月總共112個月度數據作為樣本。考慮到我國國債發行特點與交易特征，樣本債券期限跨越區間較大，既有短期債券，又有中長期債券，分別為0.25、0.5、0.75、1、1.5、2～10年（間隔為1年）、12、14、15年期國債。在進行參數估計穩定性分析時，增加了期限為16、18、20、25、30年的超長期國債。

2.2 模型參數估計與結果分析

為了兼顧模型的一般性、估計可行性與預測能力，本文參考談正達等（2012）[15]的研究，對模型做出如下約束：DNS模型中，A、Q為對角形式，模型記為DNS（I3）；無套利DNS模型中，KP、Σ為對角矩陣，模型分別記為AFDNS（I3）和AFDNS（I4）。為了降低模型的非線性程度，無套利DNS模型中的衰減參數λ與無套利“雙斜率”DNS模型中的衰減參數λ1、λ2均為對應DNS模型中衰減參數的估計值。利用0.25～15年期國債的收益率數據作為樣本得到的估計結果如表1所示。

根據研究顯示,微生態制劑能夠對小兒多種感染性和非感染性腸道菌群失調進行調節,對腸道微生態群進行重建,利用微生物屏障來治療小兒腹瀉。微生態制劑增加了腸道的有益菌,減少了有害菌,患者的腸道微生態發生了改變,腹瀉減少。①微生態制劑可以在腸道表面定值,對毒素和致病菌的粘附進行阻止;②微生態制劑能夠產生細菌毒素、有機酸和過氧化氫物質,阻斷和殺滅腐生菌以及致病菌生長繁殖;③微生態制劑在機體代謝中發揮了作用。所以,小兒腹瀉需要使用微生態制劑進行治療,能夠讓腸道菌群恢復正常,抑制病原菌侵襲,建立天然生物屏障。

表1 模型參數估計結果對比分析

從似然函數值與參數估計值來看，三因子DNS與AFDNS（I3）模型差異不大，表明他們對數據的擬合能力相當。由于無套利“雙斜率”DNS嵌套了無套利DNS模型，對兩類模型進行似然比檢驗，檢驗值為：LR=-2(logl(AFDNS(I3))-logl(AFDNS(I4)))=685.38～χ2(m)。其中m代表兩模型參數數量的差額，似然比檢驗拒絕原假設，表明無套利“雙斜率”DNS模型比無套利DNS模型具有更好的數據擬合能力。

2.2.1 因子載荷分析

利用相同樣本數據得到的模型因子載荷圖顯示，三類模型的曲率因子載荷均在5年左右達到最大值，這基本符合我國國債發行特征，即1、3、5、7、9、10年期國債是主要發行品種。另外，由于斜率因子載荷隨著期限的增加遞減，新增一個斜率因子將促使模型對短期限收益率數據的擬合能力更強。

2.2.2 因子分析

圖1展示了不同模型的因子時間序列。

圖1 DNS模型、AFDNS模型（I3）與AFDNS（I4）因子對圖比

各模型水平因子的整體變動趨勢基本一致，但DNS模型水平因子的波動性最強，AFDNS（I4）水平因子波動性最弱。已有研究均表明水平因子可以視為長期收益率水平的代理變量，反映整個實體經濟的發展趨勢，波動性應該較低。DNS模型為了擬合數據，使其水平因子的波動增加，與現有研究結論略有不同。本文提出的AFDNS（I4）模型在引入新的斜率因子后，可以合理分流水平因子的影響，有效降低水平因子波動性，從而可以更加準確地反映長期利率水平。另外，從斜率因子的時間序列圖來看，各模型差異較小，一方面反映出新斜率因子能夠分擔原來水平因子的波動，另一方面說明新斜率因子可以在原模型殘差中提取相應的信息。

2.2.3 調整項分析

圖2分別給出模型AFDNS（I3）和AFDNS（I4）對應調整項-A(t，T)/(T-t)的變化情況，包括水平調整項、斜率調整項、曲率調整項以及總體調整項。兩類模型的總體調整項均向下傾斜，調整力度隨著期限的增加而增加，調整力度均為10-3數量級。但AFDNS（I4）模型在長期限國債收益率上的調整力度比AFDNS（I3）更強，有利于提升其對長期收益率的擬合能力。兩類模型水平因子與曲率因子調整項的變化趨勢基本一致，但新斜率因子的加入顯然會加大新模型的斜率調整項，提高其擬合能力，尤其是對短期收益率的擬合。

圖2 AFDNS（I3）與AFDNS（I4）模型收益率調整項與各分項圖

2.3 模型擬合能力比較分析

模型的樣本擬合效果可以采用擬合均方誤差平方根（RMSE）和擬合誤差均值（MAE）進行衡量。期限τ的債券收益率樣本期內的擬合均方誤差和擬合誤差均值定義分別為：

表2 模型擬合能力RMSE對比(單位10-4)

表3 模型擬合能力MAE對比

表2和表3分別給出DNS模型和AFDNS（I3、I4）模型對不同期限國債收益率進行擬合的RMSE和MAE值。對比RMSE與MAE值可以發現，AFDNS（I3）與DNS模型在中期期限（1-10年）上的擬合能力相當，對長期收益率擬合偏弱，但是對短期收益率的擬合占優。AFDNS（I4）模型對短期收益率的擬合顯著改善，即使與AFDNS（I3）相比，短期收益率的擬合能力也有很大的提高，在0.25、0.5和0.75年上的RMSE和MAE值表明，AFDNS（I4）模型幾乎將擬合誤差降低為原來的三分之一左右；而且在長期收益率的擬合上也有一定的優勢。

2.4 無套利“雙斜率”DNS模型的穩定性分析

為了驗證無套利“雙斜率”DNS模型參數估計對不同期限的樣本數據具有較好的穩定性，分別用0.25～15年期國債收益率、0.25～20年期國債收益率以及0.25～30年期國債收益率作為分析樣本進行實證對比分析，參數估計結果見表4。

表4 無套利“雙斜率”AFDNS（I4）模型在數據選取上的參數穩定性分析

表4顯示，隨著數據集長度的增加，對數似然函數值也有所上升，而且各參數向量在符號與大小上保持一致。水平因子代表長期利率水平，而對角矩陣Σ顯示出水平因子的波動率持續較低，顯然符合現有研究結論。KP矩陣中斜率因子的取值分別為1.6268、1.3749和1.1874，呈現出下降的趨勢，但降幅并不是很大。通過將對角矩陣KP取值代入exp(-KP/12)計算出各因子的AR（1）系數，分別為0.8732、0.8917和0.9058，說明隨著數據長度的增加，因子的AR（1）系數增強，可以提取更多的信息。隨著數據期限長度的增加，新添加的斜率因子的取值分別為5.7489、4.8473、3.2465，明顯下降，但是其對應的自相關系數分別為0.6194、0.6677、0.7630，呈現顯著增長的趨勢。這表明隨著國債市場的不斷完善，長期收益率數據得以豐富，選取更加有效的模型對國債收益率數據進行擬合顯得越來越重要，本文添加的新斜率因子確實能夠發揮一定的作用。

3 結論

本文在無套利框架下加入新的斜率因子構建出無套利“雙斜率”DNS模型，在連續時間下證明其滿足經典的風險定價理論，既豐富了無套利DNS模型的種類，又彌補了傳統DNS模型缺乏債券定價理論支撐的不足。利用我國銀行間市場國債收益率數據進行實證分析發現，無套利“雙斜率”DNS模型可以有效改善對短期收益率數據的擬合效果，這對檢驗預期理論以及精確捕捉通貨膨脹變動信息具有積極作用。另外，無套利“雙斜率”DNS模型參數估計的穩定性較好，在我國債券市場不斷發展，長期收益率數據逐漸豐富的環境下，這一新模型將發揮更大的研究作用。