基于F分布的最短置信區間研究

李廣正

（中國人民銀行蘭州中心支行，蘭州 730000）

0 引言

數理統計的本質是以樣本推斷總體，而區間估計又是統計推斷的核心內容，所以研究區間估計問題具有重要意義。在給定置信水平的情況下，基于單峰對稱分布的參數的區間估計，傳統方法構造的區間是最短置信區間；當分布為單峰非對稱時，利用傳統方法構造的區間是等尾置信區間，而不是最短置信區間。

關于研究最優區間估計的文獻有很多，李柏林[1]證明了最優區間估計的存在性，并推導出了常見分布的參數的區間估計公式；錢瑛[2]證明了單峰分布的最短置信區間的存在性；姜培華[3]證明了兩正態總體方差比的最優區間的存在性，即F分布最優區間的存在性，這些文獻都只是從理論上證明不同分布下的最優區間估計的存在性。徐曉嶺[4]不僅運用拉格朗日乘數法證明了卡方分布的最優區間估計存在性問題，還利用matlab求解出了卡方分布最短區間估計值，并構造了不同自由度下卡方分布的最短區間估計用表。孫鵬哲[5,6]給出了F分布和卡方分布最短置信區間的左側概率分配值表。其他針對單峰非對稱分布的最優區間估計的研究還有很多，例如，王學敏[7]研究了指數分布和瑞利分布參數的最短區間估計問題。本文根據以上文獻的研究思路，研究如何計算出F分布最短區間估計用表，力爭在精度上優于傳統方法。

1 基于兩正態總體方差比的最短區間估計

設x1，x2，…，xm是來自正態分布的樣本，y1，y2，…，yn是來自正態分布的樣本，且兩樣本相互獨立。兩樣本均值分別為和兩樣本方差分別為：

對給定的置信水平1-α，由：

對給定的置信水平1-α，取滿足條件：

的x1和x2。由此得到的1-α的最短置信區間：

其中，0＜x1＜x2，且滿足：

F(m-1，n-1)(x)為F(m-1，n-1)的分布函數 。

姜培華[3]證明了基于F分布的兩正態總體方差比的最優區間估計的存在性及唯一性，即上述非線性規劃問題存在最優解。

周岱翰強調，飲食要均衡。一年到頭，他雷打不動要吃的“寶貝”，是最平常不過的蘋果，每天1～2個。有人問他：“蘋果就那么好吃嗎，吃多了不厭煩嗎？”“蘋果如果不好吃，就當藥吃嘛！”他說。

作者簡介：李廣正（1990—），男，河南信陽人，碩士，助理經濟師，研究方向：商務統計。

2 最優置信區間的程序實現

孫鵬哲[5]運用數值模擬方法，利用R軟件計算最短置信區間對應的左側概率分配值，同時給出了最優左側概率分配統計表。其計算步驟為：第一步，計算基于最短置信區間對應的左側概率分配值；第二步，計算由第一步得到的左側概率分配值對應的分位數，此分位數就是最優區間的左側端點值，再計算右側概率分配值對應的分位數，即為最優區間的右側端點值。由于每一步的計算結果都不是精確的解析解，而是近似的數值解，所以這種分兩步計算最優區間估計的方法擴大了估計誤差。而且，該文章只給出了基于F分布下最優左側概率分配統計表，必須通過此表再計算相應概率下對應的分位數，才能得到最優區間估計，這給實際應用帶來了麻煩。基于這種考慮，本文通過運用拉格朗日乘數法，利用mathematics軟件分別計算出了在0.9、0.95和0.99置信水平下基于F分布的最短置信區間，并構造了F分布的最短區間估計用表。

由式（2）得：

由于F分布的分布函數形式非常復雜，一般的軟件很難求出式（6）決定的非線性規劃問題的最優解。本文通過運用拉格朗日乘數法，將一個求解非線性規劃問題轉換成求解方程組的問題。經過分析可知，由式（6）決定的非線性規劃問題的最優解和由式（4）和式（8）組成的方程組的解相同。利用mathematics軟件里的FindRoot函數能較精確地求出方程組的近似根。對于F(m，n)分布，只有當n＞4時，分布的方差才存在，故為保證方差存在，本文的最優區間估計表是在兩個自由度都大于4的條件下計算的，具體程序略。

表1 0.9置信水平下最優區間的左側端點值

表2 0.9置信水平下最優區間的右側端點值

表3 0.95置信水平下最優區間的左側端點值

表4 0.95置信水平下最優區間的右側端點值

表5 0.99置信水平下最優區間的左側端點值

表6 0.99置信水平下最優區間的右側端點值

3 結論

本文計算出了在0.9、0.95和0.99置信水平下基于F分布的最短置信區間，構造了最短區間估計用表，同時將本文的方法與傳統方法和文獻[5]中介紹的方法進行比較，比較結果見表7。在表7中，區間長度1表示使用本文方法構造的最短置信區間的長度，區間長度2表示使用文獻[5]的方法構造的最短置信區間的長度，等尾置信區間長度表示傳統方法構造的置信區間的長度。（注：此處的區間長度比實際的區間長度少了倍，表7中的區間長度比是區間長度1與等尾置信區間長度的比值）。

表7 不同方法構造的置信區間對比

從表7中可以看出，在給定置信水平情況下，三種方法求得的置信區間長度都是隨著F分布的自由度的增加而減少，這是由于F分布隨著自由度的增加，其密度函數呈現“尖峰薄尾”的形狀，樣本的集中趨勢越來越明顯。

通過對比可以看出，在給定置信水平和自由度情況下，本文計算的最短置信區間要優于文獻[5]中計算的置信區間，且兩者都遠遠優于傳統方法構造的置信區間。而且，三個置信區間之間的差別隨著自由度大小的不同存在一定的變化。例如，在0.9置信水平下，當F分布的兩個自由度為4，4時，區間長度1為4.1041，區間長度2為4.1163，區間長度1略優于區間長度2；當F分布的自由度為20，10時，兩者的區間長度幾乎一樣。在0.9置信水平下，當F分布的兩個自由度為4，4時，區間長度1為等尾置信區間長度的65.84%；當F分布的自由度為20，10時，區間長度1為等尾置信區間長度的92.04%，兩者之間的差別在縮小，這是由于當F分布的自由度增加時，其密度函數的對稱性越來越明顯，區間長度1與等尾置信區間的長度也越來越接近。所以，在小樣本情況下，研究F分布的最短區間估計是有意義的。

相比于文獻[5]中的方法，本文的方法一方面在精度上優于前者（在小樣本情況下比較明顯），另一方面在使用便利程度上也優于前者。本文直接構造了F分布的最短置信區間估計用表，而文獻[5]只給出了F分布的最短置信區間的左側概率分配值表。

相比于傳統方法，本文的方法不僅在精度上要遠遠優于傳統方法，而且在適用面上也要比傳統方法更廣泛。使用傳統方法構造等尾置信區間時，需要查閱F分布的分位數表，而一般教材提供的都是有限自由度下F分布的分位數表，本文介紹的方法在理論上可以計算任意自由度下的F分布的最短置信區間，所以其適用面更廣。