運用常數“1”巧證不等式

李寧

我們知道“1”是數學中一個最簡單的數字，可就是這個看起來簡單的“1”在數學的許多領域中起到了非常重要的作用，在高中數學課程中，不等式證明是一個難點，往往題目看起來一目了然、簡單易懂，證起來卻不知從何入手，下面我們通過幾個典型例題針對含有常數“1”的這類不等式證明題目的方法作如下介紹：

一、利用 =

例1：已知 ， ，且 ，求證： .

分析： 等價于 ，而 ，

于是我們有， = =2.

二、利用已知題設表示“1”

例3：已知 ，且 求證： .

分析： ，

同理我們有， .

從而， .

三、利用變形轉換“1”

例4、若 ，且 ，求證： .

分析：解法1：

.

解法2：利用 .

四、將常數拆成“1”

例5、 已知 均為正數，且

求證： .

分析： ，

.

五、巧用“1”分析等號成立條件

例6、已知 ，求證 .

分析：等號成立時有 ， ，

從而，

得 .

由上面的例題我們可以看到，從結論直接分析等號成立的條件，方法是多樣的。許多不等式的證明，我們從正面看來很難下手時，這時我們可以從結論開始分析等號成立的條件，往往會起到“柳暗花明又一村”的效果.

不等式證明當中含有常數“1”的這類題目，我們歸納了以上五種證明方法，這五種方法的共同特點就是活用“1”、巧用“1”，換句話說，“1”是這類題目的突破口.我們只要抓住了這個“1”，題目的證明就輕而易舉了