基于經驗頻率點據的暴雨公式參數研究

吳素娟，王雙銀，牛 晨 (西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西 楊凌 712100)

隨著社會經濟的迅速發展，極端降水事件引起的城市內澇、山區洪水和泥石流等也表現出發生頻率高、量級增大的特點，擾亂了人們的正常生活，嚴重影響了流域生態環境和區域社會的健康持續發展。短歷時強暴雨是形成城市內澇和小流域洪水的最主要因素，研究短歷時暴雨的統計規律，在站點逐漸增加、暴雨資料逐漸積累的基礎上建立適用性強的暴雨公式，是小流域設計洪水計算的基礎，可為山洪災害防治和城市排水系統設計提供科學依據，對促進小流域水利事業發展、實現人水和諧戰略、保障社會經濟可持續發展具有重要的理論和現實意義[1-5]。

近幾年城市內澇的頻繁發生已使得暴雨公式的研究越來越受到人們的重視，從城市暴雨資料的選樣到理論頻率曲線的選擇，再到暴雨參數的推求，關于暴雨公式的研究都取得了一定的進步與發展[6-10]。在暴雨公式研究的過程中，我國大多采用理論頻率曲線，且多以P-Ⅲ型曲線作為最優分布曲線，而通過經驗頻率點據推求暴雨公式的研究較少，同時對于暴雨公式參數區域性規律的研究也很少[11-19]。暴雨公式的求參從原始的圖解法、最小二乘法發展為基于計算機編程的各種優化算法，其中麥夸爾特法應用較多[20]。本文根據陜西省部分氣象站點的實測暴雨資料，推求4參數暴雨強度公式，并結合暴雨公式參數和站點的地理位置分析了參數的地區性規律，為陜西省設計暴雨的研究提供了依據，也為陜西省無資料地區的暴雨公式參數求解提供了參考，同時為區域性城市暴雨的研究和城市內澇的防治提供了思路。

1 資料與方法

1.1 資 料

采用陜西省氣象局提供的陜西省境內18個基本氣象站和基準氣象站1984-2013年實測暴雨資料研究暴雨公式參數，其中，秦嶺以北11個測站，秦嶺以南7個測站，站點的基本情況見表1。

表1 陜西省主要氣象臺站基本情況表Tab.1 Basic situation of main meteorological stations in Shaanxi Province

1.2 研究方法

(1)選樣方法。從形成小流域山洪災害和城市內澇的暴雨特點出發，同時參照《室外排水設計規范》的要求，用年最大值選樣法，取10、30、60、90和120 min 5個歷時作為短歷時暴雨的統計時段，對于個別缺測值直接移用鄰近站點實測值。

(2)麥夸爾特法。暴雨公式的參數求解是非線性求參問題，采用的麥夸爾特法是在高斯-牛頓法的基礎上引入阻尼因子后產生的一種方法，可避免求參時迭代結果無法收斂的情況，具體計算原理和過程見文獻[21-23]。

2 暴雨公式形式

常用的暴雨公式有反映雨強與歷時關系的兩參數公式、三參數公式以及綜合考慮頻率、歷時、暴雨強度關系的四參數暴雨公式[24]。采用文獻[25]推薦的四參數暴雨公式形式如下：

(1)

式中：itp為暴雨強度，mm/min；P為頻率(小數形式)；t為暴雨歷時，min；A、C、b、n均為參數，其中n為暴雨衰減指數。

3 參數與精度

3.1 參數計算

通過4個不同的系列，分別用麥夸爾特法對式(1)中的參數進行求解。系列1為1984-2013年共30 a全部實測點據；系列2為1984-2013年資料中經驗頻率P<50%半系列中的15個經驗頻率點據(在設計暴雨分析計算中，通常以小頻率點據為依據)；系列3為1984-2013年實測點據以P-Ⅲ型分布為理論分布，采用相對較為精確穩定的線性矩法[26]估計P-Ⅲ型分布參數后獲得的與經驗點據同頻率的30個理論點據；系列4為系列3中的P<50%半系列中的15個理論頻率點據。4個系列求得的暴雨公式參數見表2。

3.2 精度分析

根據文獻[25]，暴雨公式的精度采用計算雨強與實測雨強的平均絕對均方差RMSE和平均相對均方差RSE來評定，以RMSE和RSE分別小于0.05 mm/min和5%為宜。平均絕對均方差和平均相對均方差結果見表3。

依據系列1計算的暴雨公式中除定邊站RMSE=0.047 mm/min外，其他各站RMSE均大于0.05 mm/min，且全部站點的RSE均大于5%；為與P<50%半系列的誤差計算保持一致，對系列1也計算了P<50%部分的RMSE和RSE，結果表明全部站點的RMSE均大于0.05 mm/min，RSE均大于5%。

依據系列2計算的暴雨公式中誤差最小的站點為鎮安，RMSE=0.028 mm/min，RSE=4.12%；誤差最大的站點為橫山，RMSE=0.065 mm/min，RSE=8.02%；有14站點的RMSE小于0.05 mm/min，占總站點數的78%，6個站點的RSE小于5%，占總站點數的33%。

依據系列3計算的暴雨公式中誤差最小的站點為寶雞，RMSE=0.053 mm/min，RSE=0.128%；誤差最大的站點為耀縣，RMSE=0.11 mm/min，RSE=0.227%，全部站點的RMSE均大于0.05 mm/min，RSE均大于5%。同時對系列3也計算了P<50%部分的RMSE和RSE，全部站點的RMSE和RSE均不滿足精度要求。

依據系列4計算的暴雨公式中誤差最小的站點也為鎮安，RMSE=0.043 mm/min，RSE=5.89%；誤差最大的站點是橫山，RMSE=0.098 mm/min，RSE=10.91%，只有2個站點的RMSE精度達到要求，僅占總站點數的11%，所有站點的RSE均大于5%。

基于經驗頻率點據推求的暴雨公式平均絕對均方差和平均相對均方差均小于相同樣本下基于理論頻率點據求得的暴雨公式的誤差。理論頻率點據求暴雨公式的過程中，存在實測值與理論值的誤差以及非線性求參過程中理論值與計算值之間的誤差，經驗頻率點據與之相比就存在明顯優勢，避免了理論頻率曲線擬合的誤差。

以全系列求得的暴雨公式的平均絕對均方差和平均相對均方差大于P<50%半系列求得的暴雨公式的誤差。全系列中P>50%的部分重現期小于2年，對這一部分的研究沒有意義，而且會影響整體的擬合度，使得誤差整體偏大；P<50%半系列中點據對應的重現期是2～30年，符合規范中的要求且擬合度更高。

表2 陜西省主要氣象站點暴雨公式參數表Tab.2 Parameters of rainstorm formula for main meteorological stations in Shaanxi Province

表3 陜西省主要氣象站點暴雨強度公式精度計算表Tab.3 Accuracy table of the rainstorm formula for main meteorological stations in Shaanxi Province

因此，基于經驗頻率點據P<50%半系列(系列2)推求的暴雨公式的誤差最小，且符合精度要求的站點個數最多。

在10、30、60、90、120 min這5個歷時中，隨著歷時的增加，基于經驗頻率點據P<50%半系列求得的計算雨強與實測雨強之間的誤差逐漸由正值變為負值，計算雨強由大于實測雨強逐漸變為小于實測雨強，這表明基于經驗頻率點據P<50%半系列推求的暴雨公式更適用于計算短歷時暴雨強度，在較長歷時下計算的暴雨強度偏小，以此為依據設計的排水工程不安全。

4 參數的區域性規律

以經驗頻率點據P<50%半系列推求的暴雨公式參數為研究對象，選取反映站點地理位置特征的經度、緯度和高程(分別用x、y、z表示)，與參數分別進行單因子、雙因子和三因子的相關分析，同時以顯著性水平為0.1的臨界相關系數[27]為依據判斷其相關關系是否顯著。

4.1 單因子相關分析

在全區域內分析參數與經度、緯度、高程的單因子相關性，同時按秦嶺以北和秦嶺以南進行相關分析，分區時的相關系數與全區相比有顯著提高，這表明參數有明顯的分區特征。

A、n、b在秦嶺以北和秦嶺以南與高程的相關系數最高，相關圖見圖1，這3個參數在秦嶺以北與高程的相關性好于秦嶺以南，相關系數分別為為0.747，0.71、0.83。C在秦嶺以北與經度的相關性最好，相關系數為0.503，在秦嶺以南與高程的相關性最好，相關系數為0.558。

以臨界相關系數檢驗時，全區域內只有b與高程的相關系數大于臨界相關系數，在秦嶺以北A、n、b與緯度和高程的相關系數通過檢驗，而在秦嶺以南4個參數的單因子相關系數均沒有通過檢驗。

圖1 A、n、b值與高程的相關圖Fig.1 The correlation chart between A、n、b and elevation

單因子相關分析中，暴雨公式參數A、n、b主要受高程影響，在秦嶺以北這種影響尤其明顯；參數C在秦嶺以北受經度的影響最大，在秦嶺以南主要影響因子是高程。且在秦嶺以北A、n、b與緯度和高程均存在顯著的線性相關。

4.2 雙因子相關分析

參數與經度、緯度、高程中的任意兩個因子做三變量線性相關分析時，相關系數較單因子時有所提高。秦嶺以北，A、n、b與經度、高程的雙因子相關性最好，其中b的相關系數高達0.884，C受經度、緯度的綜合影響最大，相關系數為0.588。A、b的雙因子相關系數均大于臨界相關系數，C僅與經度、緯度的相關系數超過了臨界相關系數，n與經度和高程、緯度和高程的相關系數大于臨界相關系數。

秦嶺以南，A、n、b與緯度、高程的雙因子相關系數最大，其中n的相關系數最高為0.748，C受經度、高程的影響最大，相關系數為0.706。A、C、n、b4個參數的雙因子相關系數均小于臨界相關系數。

雙因子相關分析中，秦嶺以北A、b與任意兩個因子均存在顯著的線性相關，C與經度、緯度相關性顯著，n與經度和高程、緯度和高程有顯著的線性相關，而在秦嶺以南參數與雙因子的相關關系均不顯著。

4.3 三因子相關分析

無論是否分區，參數與經度、緯度、高程3個因子綜合分析時相關系數都是最高的，雙因子相關系數次之，單因子相關系數最小，計算得到的三因子綜合回歸方程和相關系數見表4。

全區域的相關系數小于對應分區的相關系數，秦嶺以北的相關系數均大于0.6，b的相關系數最大為0.886，秦嶺以南的相關系數均大于0.5，C的相關系數最高為0.944。秦嶺以北的相關系數整體優于秦嶺以南。在全區域和秦嶺以北，相關系數均大于臨界相關系數，而在秦嶺以南所有參數的三因子相關系數均達不到顯著性檢驗。

A、n、b與緯度、高程的雙因子相關系數和三因子相關系數相差不大，增加的經度這一因子對它們的影響很小，其主要影響因子是緯度和高程；C在秦嶺以南的主要影響因子是高程，而在秦嶺以北，經度是主要影響因子，高程對它的影響相對較小。

按秦嶺以北和秦嶺以南分區分析時，A、C、n、b與地理位置的單因子、雙因子和三因子相關系數均好于全區域整體分析的相關性。在研究暴雨公式參數的區域性規律時，要根據研究區域的實際情況，考慮是否分區進行分析。

表4 暴雨公式參數與經度、緯度、高程關系表Tab.4 Correlation between rainstorm formula parameters and latitude, longitude, elevation

注：經度、緯度和高程分別用x、y、z表示。

A、C、n、b4個參數與經度、緯度和高程的相關關系中，緯度、高程是參數A、n、b的主要影響因子，經度對它們的影響較小；C在秦嶺以北與經度相關性最好，基本不受緯度和高程的影響，而在秦嶺以南與高程的相關性最好，受經度、緯度的影響較小。秦嶺以北，參數與經度、緯度、高程的三因子綜合相關系數最高，且均通過了顯著性檢驗，回歸方程基本可以反映其變化規律，可應用于實際工作中。秦嶺以南僅有7個站點，雖然參數的三因子相關系數較高，但均未通過顯著性檢驗，不能真實地反映參數地區性規律。受站點數量的限制，參數與地理位置的具體相關關系有待進一步深入研究。

5 結 語

(1)基于經驗頻率點據推求暴雨公式與應用P-Ⅲ型理論頻率曲線推求暴雨公式相比，存在明顯優勢。經驗頻率點據求得的暴雨公式精度更高，并且推求的過程也更簡潔高效。

(2)分別以全系列和P<50%半系列的資料求得的暴雨公式中，P<50%半系列推求的暴雨公式在計算P<50%頻率下的暴雨強度時誤差更小。

(3)以4組系列推求暴雨公式，基于經驗頻率點據P<50%半系列求得的暴雨公式精度最高適用性最好，以此為依據設計的工程更安全可靠。

(4)暴雨強度公式4個參數均與地理位置存在一定的相關性，在秦嶺以北與三因子存在顯著線性相關，回歸方程基本可以反映參數區域性變化規律。

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