淺析初中數學最短路徑問題

徐根寶

在我校八年級最近組織的一次考試中數學試卷上有這樣一道題：

問題：如圖1，在長方形ABCD中，AB=4，BC=8，點E為CD邊上的中點，點P、Q為BC上兩個動點且PQ=2，當BP=________時，四邊形APQE的周長最短。

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本題對學生來說，有一定難度，得分率較低，分析學生失分的主要原因在于學生未能完全領會一個很重要的數學模型——飲馬問題，即求最短路徑問題。

新課標理念下的數學命題出現了改革創新的趨勢，許多幾何問題源自于書本知識的延伸和拓展，解決此類問題，要求學生熟練掌握書本上的知識，在此基礎上獲得解題途徑。

為此，我對本題進行了一番分析、探究和歸納，以期在以后的教學中指導學生突破難點，順利解決問題。

1.知識儲備

（1）軸對稱；（2）兩點之間線段最短；（3）垂線段最短。

2.分析問題

找原型：如圖2，直線l外有不重合的兩點A、B，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短。

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解題過程：作出B點關于l的對稱點B′，利用軸對稱性質可得CB′=CB，這樣問題轉化為C點在何處時AC與CB′的和最小，由兩點之間線段最短可知C點在AB所連的線段與l的交點處時，AC+CB′有最小值。

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上述解法告訴我們，要在A、B以外的直線l上找一點C，使得AC+BC最短，只需利用軸對稱變換，將A、B中的一點A（或B）對稱變換為A′（或B′），連接A′B交l于一點，則該點即為所求作的點。

3.解決問題

在AD上截取線段AF=PQ=2，作點F關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于Q點，過點Q作FQ的平行線交BC于點P，過點G作BC的平行線交DC的延長線于H，如圖4。

∵ GF=DF=6

EH=2+4=6=GH

∠B=90°

∴ △GEH是等腰直角三角形

∴ ∠GEH=45°

設BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x

在△CQE中，∵ ∠QCE=90°，∠CEQ=45°

∴ CQ=CE即6-x=2，得x=4

∴ 當BP=4時，四邊形APQE的周長最短。

4.拓展與延伸

如圖5，在直角坐標系中有四個點A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D（n，0）。要使四邊形ABCD的周長最短：

（1）在圖中作出符合要求的C、D兩點。

（2）求出m、n的值。

分析：要使四邊形ABCD的周長最短，由于AB長為定值，故只要求BC+CD+AD的和最小時，四邊形ABCD的周長最短，與前文所述問題一致，我們只要設法將BC、CD、AD三條線段轉化到同一直線上即可。

解：分別作A點關于x軸的對稱點A′，B點關于y軸的對稱點B′，連接A′B′交x軸、y軸于D、C兩點，則AD=A′D，BC=B′C

∴ BC+CD+AD=B′C+CD+A′D=A′B′

∴ 四邊形ABCD的周長為AB+A′B′為最短，通過計算可得四邊形ABCD的周長為：

l=AB+A′B′=2■+8■

5.直通中考

關于最短路徑問題，這些年各地中考試卷中多有涉及，有的題較簡單，通過簡單的畫圖、判斷可得出正確結論，有的難度較大，特別是在綜合性較高的壓軸題中，要充分利用已知條件作圖，并利用軸對稱知識結合方程組才能解決問題。

（作者單位：安徽省蕪湖市南陵縣春谷中學）