心中有“數(shù)”不得意忘“形”

吳柳玉

數(shù)與形是數(shù)學中兩個最古老、最基本的元素，是數(shù)學大廈深處的兩塊基石。在解決數(shù)學問題時，常常根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關系和空間形式巧妙地結合起來，并充分利用這種“結合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法稱之為數(shù)形結合的思想方法。

所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面。一是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，在高中數(shù)學的學習中，不僅要掌握學科有關知識，更重要的是能力的培養(yǎng)和提高。近幾年高考，往往通過圖形、圖表的識別、判斷、分析，來考查學生的分析問題和解決問題能力。而在解題過程中，如能適時、巧妙地應用數(shù)形結合的思想方法，則可起到事半功倍的效果。筆者歸納了高中數(shù)學習題中滲透數(shù)形結合思想的常見題型，并對其進行了簡要解析。比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)。二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

著名數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事非。”寥寥數(shù)語把數(shù)形結合說得淋漓盡致。數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的一種數(shù)學思想方法，可以使抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題中的本質(zhì)。數(shù)學教學不僅是數(shù)學知識的教學，更重要的是數(shù)學思想方法的教學，教學中教師應注重對學生的觀察、操作、分析思維能力的培養(yǎng)，更應不斷地滲透數(shù)學思想方法，將此作為教學的核心，為學生的后繼學習打下堅實的基礎，使學生終身受益。

一、數(shù)形結合在解析幾何中的應用

中學數(shù)學的基本知識分為三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關于數(shù)形結合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。在高中數(shù)學解析幾何這一模塊中，處理問題的常見方法有代數(shù)法和幾何法。代數(shù)法是從“數(shù)”的角度解決問題，幾何法從“形”的角度解決問題，這兩種方法相輔相成，相得益彰。現(xiàn)舉例如下：

例題：若直線y=x+k與曲線x=■恰有一個公共點，求實數(shù)k的取值范圍。

解：（數(shù)形結合法）曲線x=■是單位圓x2+y2=1的右半圓（x≥0），k是直線y=x+k在y軸上的截距。

在同一坐標系中畫出兩曲線圖象如圖所示，可知：直線與曲線相切時，k=-■，由圖形可得k=-■或-1

利用數(shù)形結合的思想方法，能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它在數(shù)學解題中具有極為獨特的指導作用。

以數(shù)論形是解析幾何側(cè)重的手法，其思考方法就是幾何條件解析化，即幾何條件（形）——等量關系（數(shù)）——代數(shù)方程（式），它是求曲線方程的關鍵和困難之處。

筆者總結出轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑：

1.通過坐標系的建立，引入數(shù)量化靜為動，以動求解。

2.轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結構特點，把問題轉(zhuǎn)化到另一個角度來考慮，如轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點間的距離等。

3.構造，比如構造一個幾何圖形，構造一個函數(shù)，構造一個圖表等。

二、數(shù)形結合在求解值域或最值問題中的應用

“數(shù)形結合”是求解數(shù)學問題的一種常用的思維方法。教師在教學中經(jīng)常引導學生創(chuàng)設“數(shù)形結合”的情境，不僅可以溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機地結合起來，力圖在這種結合中尋找到解題的思想與方法，同時又有利于開拓學生解題思路，發(fā)展學生的形象思維能力。

總之，數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，從以上的例子中可以發(fā)現(xiàn)，運用數(shù)形結合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越。由于“數(shù)形結合”具有形象直觀、易于接受等優(yōu)點，且對于溝通知識間的聯(lián)系，活躍課堂氣氛，開闊學生思路，發(fā)展智能，提高數(shù)學水平有著獨到的作用，作為一線的教師，我們要積極挖掘教材中“數(shù)形結合”的例題與習題，注重引導學生動腦筋，設計確切的數(shù)學模型，創(chuàng)設“數(shù)形結合”的情境，多加強學生形象思維的訓練，進而促進學生從形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)化，引導學生爭取做到心中有“數(shù)”，腦中有“形”，以開拓他們的思維視野。這樣，我們就一定能逐步提高學生的數(shù)學水平，把學生逐步培養(yǎng)成具有創(chuàng)造思維能力和開拓精神的創(chuàng)造型人才。

（作者單位：廣西柳州市鋼一中學）