培養數學核心素養，構建數學生本課堂

李小斌

本文系2016年度河南省基礎教育教學研究項目《高中數學生本課堂研究》（課題編號JCJYB16030146）的研究成果。

近幾年來，新課程改革已經從單純的以數學知識技能目標為主轉變成知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三維一體的目標導向，以此全面提升學生的數學素養。

我們平時所說的數學素養包括數學知識、數學技能、數學思考以及創新能力、應用能力等，就是通過教學賦予學生的一種學數學、用數學的意識和品質。

基于培養學生核心素養下的生本課堂教學是通過有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索“變”的規律，通過對數學問題進行多角度、多方面的變式探索研究，從而優化學生思維品質，培養和提升學生的數學核心素養，下面以一節《三角函數求最值》為例，拋磚引玉。

一、學習目標

基于學生已學過三角函數的基本知識和在必修一學習過一些函數求最值的情況下，將本節課的學習目標和重難點設計如下：

【學習目標】

1.通過例題探究出求三角函數最值的幾種常見類型及其求法。

2.經歷三角函數求最值的過程，掌握發現數學規律的方法。

3.體會數學思想在解題過程中的應用。

【學習重點】三角函數求最值的幾種常見類型及其求法。

【學習難點】歸納總結三角函數求最值的幾種常見類型及其求法。

二、課堂實錄

教學環節1：復習回顧

師：根據我們學過的知識，請回答下列問題：

（1）說出y=sin x的單調性和最值；若x∈-■，■，則最值為多少？

（2）說出y=cosx的單調性和最值；若x∈-■，■，則最值為多少？

（3）說出sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之間的關系。

（4）求最值的方法有哪些？

（學生回答上述問題，教師引導學生規范表述，并將與本課相關的重點知識板書于黑板一角。對表述正確的學生點贊打分，并為其所在小組加分。）

【設計意圖】為探究三角函數求最值做準備。

教學環節2：自主探究

（教師投影）例1.求函數y=■sin（2+■）+1的最值。

探究1：求函數y=■sin（2x+■）+1，x∈-■，■的最值。

探究2：求函數f（x）=cos4x+2sinxcosx-sin4x+1在x∈-■，■上的最值。

學生先分小組討論學習，然后第一、第二、第三小組分別派代表演板，接著第四、第五、第六小組分別派代表對前面學生的演板進行評價打分，最后教師根據學生表現進行打分點評，給各組加分或減分，規范做題格式。

【設計意圖】對前面所學知識的反饋提升，規范學生做題格式，為后面題型解法探究作鋪墊。

師：能得到一般性的結論嗎？

學生分小組討論，由特殊到一般，歸納總結出上面三道題的共同特征。最后歸納總結出y=Asin（ωx+φ）+B型函數求最值的解決方法：根據題目先利用三角函數變換，將原函數化為y=Asin（ωx+φ）+B型，再利用三角函數的性質求最值。

【設計意圖】引導學生合情推理，由特殊到一般，培養學生的數學素養。

（教師投影）例2.求函數f（x）=sin2x-4sinx-3，x∈R的最值。

先讓學生獨立解題，并在練習本上寫出解題過程，教師巡視找出有特色的（規范的和不規范的以及用不同方法的），再通過投影儀將選出的學生的練習本投影，學生討論評判。最后為展示的學生評價打分，并給其所在小組加分或減分。

師：能得到一般性的結論嗎？

學生分組討論，派代表表達本組觀點。最后全班歸納總結出y=at2+bt+c型函數求最值的解決方法：先通過換元，將原函數轉化為y=at2+bt+c型（注意所換元的取值范圍），最后利用二次函數的性質在閉區間上求最值，從而求出原函數的最值。

【設計意圖】引導學生通過換元，將問題轉化，化不熟悉為熟悉，體會數學思想在解題中的運用。

（教師投影）探究：求函數f（x）=sinx+cosx-sinxcosx，x∈R的最小值。

先讓學生分組討論后，在練習本上寫出解題過程。但教師在巡視的過程中，發現很多學生束手無策。于是讓部分有點思路的同學展示思路，在此過程中學生討論發現無法解決問題。接著教師引導學生看黑板上最初復習回顧時的板書，引導學生思考可以通過哪些量之間的關系來做題。最終學生發現sinx+cosx與sinxcosx之間有等式關系，可通過換元，將原函數轉化為一元二次函數，從而找到解決方法。

師：既然找到了方法，那么大家在練習本上寫出解題過程吧。

學生快速地在練習本上寫出解題過程。

師：這和剛才的例2解決方法一樣嗎？

生：一樣。

最后學生歸納總結出y=at2+bt+c這類題型的解決方法：先通過換元，將原函數轉化為y=at2+bt+c型（注意所換元t的取值范圍），最后利用二次函數的性質在閉區間上求最值，從而求出原函數的最值。

【設計意圖】例2與探究表面上看不是一類題，但實際是同一類型，引導學生透過現象看本質。

師：y=Asin（ωx+φ）+B型函數與y=at2+bt+c型函數求最值的方法一樣嗎？

學生思考后，生甲：不一樣，因為它們類型不同。生乙：一樣，但我說不清楚原因。（學生笑）

最后教師引導學生找到兩種題型的相同之處：無論是化同角化同名，還是換元，都是多元問題單元化，化不熟悉為熟悉。

【設計意圖】引導學生透過現象看本質，發現不同題型之間的聯系，進一步體會數學思想在數學學習中的作用，進一步培養學生的數學素養。

教學環節3：課堂小結

本節課我們主要學習了什么？你掌握了哪些知識？你運用了哪些數學思想來解決問題？

各組派代表對本節課進行回顧小結，教師對各組回答情況進行打分，并引導學生根據黑板上留下的板書完善答案。

【設計意圖】引導學生對本節課的幾種題型的解法進行回顧，進行反思，從中發現哪種題型還沒掌握，課下有目的地解決未掌握的問題，并體會數學思想在解題中的運用。

最后，教師針對本節課各組成員的表現以及得分情況進行總結。對表現好的個人及小組進行表揚及嘉獎，對得分不是很理想的個別組給予激勵。

教學環節4：布置作業

（1）已知函數f（x）=log2（1+sinx）+log2（1+cosx），求當x∈[-■，0]時，f（x）的最大值。

（2）已知函數f（x）=2-4sinx-cos2x，x∈R，求f（x）的最大值。

（3）求函數f（x）=2-4asinx-cos2x，x∈R的最小值。

【設計意圖】鞏固所學知識，引導學生反思和評價，更進一步培養學生的數學素養。

本節課案例主要是通過學生分組討論，進行合作學習，通過例題探究出求三角函數最值的幾種常見類型及方法。在經歷三角函數求最值的過程中，掌握發現數學規律的方法，并體會數學思想在解題過程中的應用。

在整個教學過程中以學生為本，教師只是一個引導者。在教學的過程中對學生做答以及各個小組的表現進行打分，激發各個小組的競爭意識，從而提高各個小組成員學習的積極性。尤其是在教學中，引導學生將其在解題過程中出現的錯誤思路與正確思路或常規解法與簡便解法之間進行對比，找出錯誤原因或簡便解法的好處，使學生對所學知識有了進一步的提升，進一步培養了學生的數學素養。

按照“課程標準”要求，生本課堂的教學并不能只關注學生的學習結果，更應當重視學生采用的學習方法以及呈現的學習過程，提高他們學習數學過程中的各項能力，培養他們的數學素養，讓數學學習更為靈活有效。我認為如何有效激發學生的學習興趣，讓學生充分發揮其主觀能動性和積極性，進而提高他們的數學能力，是培養學生數學核心素養的關鍵。而如何落實在實際教學過程中培養學生的數學核心素養，還需要我們去在生本課堂中繼續探討研究。

（作者單位：河南省鄭州市第十一中學）