淺談高中數學中的導數

焦淑寧

摘 要：隨著新課改的深入，高考對導數的考查逐漸加強，而三次函數問題是中學教材研究導數的重要載體，所以三次函數成為命題中的新亮點。由于三次函數的導數為二次函數，因此，以三次函數為載體，背景新穎獨特，利用導數解決的問題在考試中屢見不鮮。下面通過對考題進行分析，以提高學生對三次函數的導數問題的認識。

關鍵詞：數學；三次函數；導數

一、三次函數的單調性問題

例1.已知函數f（x）=4x3+3tx2-6tx+t-1，其中t∈R。

（1）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（2）當t≠0時，求f（x）的單調區間。

解析：第一問考查導數的幾何意義，解決關鍵是求出切線的斜率；第二問通過三次函數求導后得到二次函數，由于二次函數對應的方程根含字母，需要對兩個根進行討論。

（1）當t=1時，f（x）=4x3+3x2-6x，f（0）=0，f′（x）=12x2+6x-6，f′（0）=-6。所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-6x。

（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，令f′（x）=0，解得x=-t或x=■，因為t≠0，以下分兩種情況討論：

①若t<0，f′（x）<0的解集是■-t；

所以，f（x）的單調遞增區間是-∞，■，（-t，+∞）；

f（x）的單調遞減區間是■，-t。

②若t>0，f′（x）>0的解集為（-∞，-t）∪■，+∞；

所以，f（x）的單調遞增區間是（-∞，-t），■，+∞；

f（x）的單調遞減區間是-t，■。

點評：本題是直接考查導數的應用，需要對根進行討論，增加了問題的難度，此外利用導數判斷函數單調性及函數區間應注意：在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域，解決問題的過程中，只能在定義域內，通過討論導數的符號，來判斷函數的單調區間。

二、三次函數的最值問題

例2.設f（x）=-■x3+■x2+2ax

（1）若f（x）在■，+∞上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；

（2）當0

解析：若對于三次函數f（x）在區間[a，b]存在單調遞增區間，則只需f（x）的導函數在區間[a，b]上的最大值大于0即可。第二問顯然考查導數的逆向應用，根據最小值利用待定系數法求得參數a，再求最大值。

（1）由f′（x）=-x2+x+2a=-x-■2+■+2a

當x∈■，+∞時，f′（x）的最大值為f′■=■+2a；

令■+2a>0，得a>-■，所以，當a>-■時，f（x）在■，+∞上存在單調遞增區間。

（2）令f′（x）=0，得兩根x1=■，x2=■。

所以f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上單調遞減，在（x1，x2）上單調遞增。

當0

又f（4）-f（1）=-■+6a<0，即f（4）

所以f（x）在[1，4]上的最小值f（4）=8a-■=-■

得a=1，x2=2，從而f（x）在[1，4]上的最大值為f（2）=■。

點評：通過已知函數的最值確定參數的值或取值范圍，是導數的逆向應用，也是導數應用的一大亮點，充分展現了導數應用的活力。最值一般在極值點或端點處取，利用這一特征可以快速解決最值問題。

三、三次函數的極值問題

例3 已知函數f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x-12a-4{a∈R}

（Ⅰ）證明：曲線y=f（x）在x=0處的切線過點

（2，2）；

（Ⅱ）若f（x）在x=x0處取得極小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍。

解析：利用可導函數求函數極值的基本方法：設函數y=f（x）在點x0處連續不斷且f′（x）=0，若在點x0附近左側f′（x）>0，右側f′（x）<0，則f（x0）為函數的極大值；若在點x0附近左側f′（x）<0，右側f′（x）>0，則f（x0）為函數的極小值。

【解析】（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+（3-6a），f′（0）=3-6a，又f（0）=12a-4

曲線y=f（x）在x=0的切線方程是：y-（12a-4）=（3-6a）x，在上式中令x=2，得y=2，所以曲線y=f（x）在x=0的切線過點（2，2）；

（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1-2a=0。

（i）當-■-1≤a≤■-1時，f（x）沒有極小值；

（ii）當a>■-1或a<-■-1時，由f′（x）=0得

x1=-a-■，x2=-a+■，

故x0=x2。由題設知1<-a+■<3。

當a>■-1時，不等式1<-a+■<3無解。

當a<-■-1時，解不等式1<-a+■<3得-■

綜合（i）（ii）得a的取值范圍是-■，-■-1。

點評：解決本題的關鍵是求出導函數利用判別式確定參數a在哪個范圍存在極值，具體確定極小值點，再轉化為關于a的不等式求解。

（作者單位：河南省洛陽市第一高級中學）