打破思維定勢 品味數學魅力

龔勤

對一道試題的深度挖掘，顯示了課堂教學的靈活性，激發了學生對知識的探究欲望，有利于培養學生由特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題。

一、變更主元反客為主

有些數學問題構思新穎，同時有其實際背景，按習慣思維，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境，如果打破思維定勢，反“客”為“主”，把原來處于相對次要“客元”突出出來，常常會收到意想不到的效果。

例1：已知函數[fx=x+2k+1x]，其中k∈R，若對任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，求實數m的取值范圍。

定勢思路：先把x看成“主元”。

（1）當[2k+1?3]，即4≤k≤7，m≤f（3），即[m≤3+2k+13]對任意k∈[4，7]恒成立，于是[m]≤6。

（2）當[2<2k+1<3，即32

因此，當一道題中有多個變量時，要注意考慮把其中一個變量作為自變量，其余的變量作為參數處理，此法稱之為“變更主元法”，可達到逐步減少參數使問題獲得解決。

二、借助變式，反思拓展

（一）利用變式教學揭示問題中隱含的規律

課堂教學時教師要抓住典型問題，解剖麻雀，揭示規律，思考引申，優化解法，類比拓展。

例2：（湖南省2017屆高三六校聯考試題）已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a，b>0]）的左、右頂點分別為A1，A2，且∣A1A2∣=4，P為橢圓上異于A1，A2的點，PA1和PA2的斜率之積為[-34]。問題如下：設O為橢圓中心，M，N是橢圓上異于頂點的兩個動點，求△OMN面積的最大值。

本題考查橢圓標準方程的求解及研究直線和橢圓相交時對應三角形面積的最值討論。

（二）常規解析

①當直線MN垂直于x軸時，設MN的方程為x=n，由[x24+y23=1x=n]，得[M（n，3-34n2）]，[N（n，-3-34n2）]，從而[S?OMN=12×n×23-34n2=3n2-34n4]，當[n=±2]時，△OMN的面積取得最大值[3。]

②當直線線MN與x軸不垂直時，設MN的方程為y=kx+m，

由[x24+y23=1y=kx+m]消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0。

Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12），化簡得4k2-m2+3>0。

設M（x1，y1），N（x2，y2）則[x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2]，[∣MN∣=1+k2·x1+x22-4x1x2=43·1+k2·3+4k2-m23+4k2]，原點O到直線MN的距離[d]=[∣m∣1+k2]，

所以[S?OMN=12∣MN∣·d=23·3+4k2-m2·m23+4k2≤23×12=3]。

當且僅當3+4k2=2m2時，[S?OMN]取得最大值[3。]

綜合①②知，△OMN的面積取得最大值[3]。

三、研究拓展

結論1：已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0]）的左、右頂點分別為A1，A2，P為橢圓上異于A1，A2的點，則PA1和PA2的斜率之積為[-b2a2]，且∣A1A2∣=4。

結論2：已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]的左、右頂點分別為A1，A2，P為雙曲線上異于A1，A2，的點，則PA1和PA2的斜率之積為[b2a2]。

第（2）問①解法2基本不等式法：設點M的坐標為M（x，y），則[S?OMN=2×12∣xy∣=∣xy∣≤x24+y23×12×23=3]，利用基本不等式整體處理非常簡捷。

第（2）問①解法3參數法：設點M的坐標為[M（2cosα，3sinα）]，則[S?OMN=2×12∣2cosα3sinα∣=3sin2α≤3]，利用橢圓的參數將二元問題一元化、二次問題一次化，這種解題方法思路很自然。

對一道試題的深度挖掘，脫離了以往的死板、照本宣科的教學，溝通了知識之間的聯系，顯示了課堂教學的靈活性，激發了學生對知識的探究欲望，有利于培養學生由特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題。

四、利用變式教學完善知識結構

很多問題都潛藏著進一步擴展研究的教學功能，通過合理變式，構造題組，讓學生在變的過程中發現不變的本質，在不變的本質中探求變的規律，加深對問題的認識，在提高能力的同時完善知識結構。

例3：原題（人教版必修4第一百零八頁習題2.4B組第四題）

改編1：如圖，在半徑為[r]的定圓C中，A為圓上的一個定點，B為圓上的一個動點，若[AB+AC=AD]，且點D也圓C上，

則[AB·AC]= ________。

解：根據向量加法的平行四邊形法則，四邊形ABCD為平行四邊形，而[∣CD∣=∣AC∣=∣BC∣=∣AB∣=r=]________，所以△ABC為正三角形，所以[AB·AC=r22]答案：[r22。]

改編2：如圖，在半徑為r的定圓C中，A為圓上的一個定點，B為圓上的一個動點，若[∣AC+CB∣2=∣AC-CB∣2]，則[AB·AC]= ________。

解：由[∣AC+CB∣2=∣AC-CB∣2]，得[AC·CB=0，所以AC⊥CB，所以AB·AC=r2]，答案：[r2。]