二型模糊真值代數(shù)性質(zhì)

劉志強, 譚武霜, 熊清泉

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

本文在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上首先討論了單調(diào)函數(shù)在連續(xù)t-模(┬)與t-余模(┴)上模糊真值運算的性質(zhì).然后探討了連續(xù)t-模(┬)與t-余模(┴)上模糊真值運算的性質(zhì).緊接著討論了在最小t-模與最大t-余模下凸模糊集有限并與交的性質(zhì).最后討論了具有相同最大值的凸模糊集的模糊真值代數(shù)性質(zhì),并且證明了所有具有相同最大值的凸模糊集在二型模糊的并與交運算下構(gòu)成一個格.

1 預(yù)備知識

為了討論方便,下面給出一些定義和基本結(jié)論.設(shè)I表示一個單位區(qū)間或一個結(jié)合代數(shù)([0,1],∨,∧,′,0,1),J表示一個有界線性序集或一個結(jié)合代數(shù)(J,∨,∧,′,0,1).函數(shù)┬:I×I→I(┴:I×I→I)是I上的一個t-模(t-余模),滿足:

1) 交換律:x┬y=y┬x;

2) 結(jié)合律:(x┬y)┬z=x┬(y┬z);

3) 單調(diào)性:x≤u且y≤v有x┬y≤u┬v;

4) 邊界條件:x┬1=x(x┴0=x).

逐點定義┴-并和┬-交形式如下:

(f∪┴g)(x)=f(x)┴g(x),

(f∩┬g(shù))(x)=f(x)┬g(shù)(x).

本文假設(shè)┴和┬在I上都是連續(xù)的.

定義1.1[2]設(shè)S為一個集合,S的二型模糊子集A是一個映射

A:S→Map(J,I).

用Map(S,Map(J,I))表示集合S中的所有二型模糊子集.

定義1.2[2]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),?a,u,v,w∈J,運算、定義如下:

1) (f1f2)(a)={f1(u)∧f2(w)|u∨w=a};

4)

集合Map(J,I)在運算、下構(gòu)成一個代數(shù)(Map(J,I),,,其為模糊真值代數(shù).在不混淆的情況下,以下用M表示.

定義1.3[2]設(shè)f∈M,fL和fR滿足

注1.1函數(shù)fL單增,fR單減.用fL和fR分別表示f的L與R運算,顯然supf=fRL且fL,fR∈M.

引理1.1設(shè)f∈M且f為凸模糊集,記U={u∈J|f(u)=fRL},?u1∈U,則

(1)

證明當(dāng)a≥u1時,fL(a)=supf(a)=fLR(a)；當(dāng)a

圖1表示了凸函數(shù)f的fL與fR的圖像.

(a) fL

(b) fR

定義1.4[2]設(shè)f1,f2∈M,則

f1

(2)

(3)

定義1.5[16-17]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),*為J上的一個二元運算,*的┬-擴(kuò)展運算定義為

┬f2(w)}.

顯然如下結(jié)論成立:

(4)

(5)

引理1.2[2]設(shè)f1,f2∈M,則：

5)f1f1=f1,f1f1=f1;

6)f1f2=f2f1,f1f2=f2f1;

引理1.3[16]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),則：

其中f?g?(?u∈J)(f(u)≤g(u)).由于部分文獻(xiàn)使用符號不一致,為了不引起混淆,以下統(tǒng)一用?表示≤.

引理1.4[16]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),則:

引理1.5[2]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),則:

(f1

(f1

引理1.6[16]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),則:

(8)

(9)

引理1.7[2]設(shè)f∈M,則以下條件等價:

1)f是凸函數(shù);

2)f=fL∧fR;

3)f在某處的函數(shù)值可表示為一個增函數(shù)在該點的函數(shù)值和一個減函數(shù)在該點的函數(shù)值的交.

2 主要結(jié)論

假設(shè)fi∈M(1≤i≤n).記F+={f∈M|f=fL},F-={f∈M|f=fR},即F+和F-分別表示所有單調(diào)不減和單調(diào)不增連續(xù)模糊真值構(gòu)成的集合.顯然,?f∈F+,f有右最大值,即fR=fLR;?f∈F-,f有左最大值,即fL=fLR[14].

定理2.1設(shè)fi∈F+(1≤i≤n),則:

證明在連續(xù)t-模┬和┴下,

(f1∩┬f2)∩┬f3=f1∩┬(f2∩┬f3),

(f1∪┴f2)∪┴f3=f1∪┴(f2∪┴f3),

1) 由引理1.4的1)及引理1.6知

又由引理1.4的1)知

即

2) 由引理1.3的2)得

?

由引理1.2的2)得

故

3) 與2)的證明類似.

4) 由3)得

由注1.1得

(f1∪┴f2)LR=sup(f1∪┴f2)=

即

定理2.2設(shè)fi∈F-(1≤i≤n),則:

證明在連續(xù)t-模┬和┴下,

(f1∩┬f2)∩┬f3=f1∩┬(f2∩┬f3),

(f1∪┴f2)∪┴f3=f1∪┴(f2∪┴f3),

1) 由引理1.4的2)及引理1.6知

根據(jù)引理1.4的1)得

即

2) 由引理1.2的2)知

?

由引理1.3的1)知

故

3) 與2)的證明類似.

4) 由3)得

由注1.1得

(f1∪┴f2)RL=sup(f1∪┴f2)=

即

特別地當(dāng)┬=∧時有如下的結(jié)論成立.

推論2.1設(shè)fi∈F+(1≤i≤n),則:

推論2.2設(shè)fi∈F-(1≤i≤n),則:

注2.1當(dāng)┴=∨時,可得引理1.2的3).由推論2.1和2.2知

推論2.1和2.2與引理1.2的4)和引理1.3比較可知,對有限個單調(diào)增函數(shù)在連續(xù)t-模(連續(xù)t-余模)和有限個單調(diào)減函數(shù)在連續(xù)t-模(連續(xù)t-余模)條件下等號成立.

定理2.3設(shè)fi∈M(1≤i≤n),則:

證明1)和2)及3)和4)的證明方法分別一致,這里只證明1)與3).

1) 由引理1.5得

(f1f2)RL=((f1f2)R)L=

由定義1.4得

即(f1在和運算下滿足結(jié)合律[9],可推知(f1f2…類似可證

3) 由引理1.5得

(f1

由定義1.4得

(f1f2

注2.2由定理2.3的1)和2)知在M中有限個函數(shù)并的最大值與有限個函數(shù)交的最大值相等,且都等于這有限個函數(shù)的最大值取小,即

證明由定義1.4和引理1.7有

(f1

(因為f(a)=fL(a)∧fR(a)).

(10)

由引理1.1得

當(dāng)n=2時,

(i) 如果a

(f1f2)(a)=

(ii) 如果u1≤a

(f1f2)(a)=

(*)

(iii) 如果a≥u2,則

(f1f2)(a)=

(fi單調(diào)不增，即fi∈F-(i=1,2))

由(i)、(ii)和(iii)有

(f1f2)(a)=

下面假設(shè)個數(shù)為n-1時結(jié)論成立,即

當(dāng)個數(shù)為n時,由(11)式有

下面對(14)和(15)式進(jìn)行簡化,有以下2種情況:

情況1).如果a

(a) 當(dāng)a

(b) 當(dāng)un-1≤a

所以

綜合(a)和(b),當(dāng)a

(17)

(18)

由(15)、(17)和(18)式有

由情況1)和2)定理得證.

證明證明方法與定理2.4類似,略去.

2.3模糊真值代數(shù)用C表示M中所有凸函數(shù)的集合,N表示M中所有標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的集合,則C和N關(guān)于M的運算分別構(gòu)成M的子代數(shù),同時也是一個Kleene代數(shù)[2].令L=C∩N,即為M中所有標(biāo)準(zhǔn)凸函數(shù)構(gòu)成的集合.文獻(xiàn)[2]證明了L為一個分配格,同時構(gòu)成了De Morgan代數(shù)和Kleene代數(shù).本小節(jié)討論具有相同最大值的凸隸屬函數(shù)的集合C(α),證明了集合C(α)在M的運算關(guān)系下是M的一個子代數(shù),并且在和運算下構(gòu)成一個格.

定義2.1設(shè)fi∈M,α∈[0,1],定義

其中Λ為一個指標(biāo)集.若α=1,則fi為標(biāo)準(zhǔn)凸隸屬函數(shù).

證明由(10)式知

fi

由結(jié)合律可證

圖 2 fi∈C(α)(i=1,2,3,4)的圖像

推論2.3設(shè)f,g∈C(α),則

f(fg)=f(fg)=f.

證明

f(fg)=

(fL∧((fR∧g)∨(f∧gR)))∨

(f∧((fRL∧gL)∨(fL∧gRL)))=

(fL∧fR∧g)∨(fL∧f∧gR)∨

(f∧fRL∧gL)∨(f∧fL∧gRL)=

(f∧g)∨(f∧gR)∨(f∧gL)∨(f∧gRL)=

f∧(g∨gR∨gL∨gRL)=f.

引理2.7[2]設(shè)f,g,h∈C(α),則

f(gh)=(fg)h,

引理2.8[2]設(shè)f,g,h∈C(α),則

f(gh)=(fg)(fh),

由引理1.2的5)和6)和推論2.3及引理2.7知C(α)為一個格.進(jìn)一步由引理2.8知,C(α)還是一個分配格.

推論2.4設(shè)fi∈C(α)(1≤i≤n),則:

證明1) 由定理2.3的1)和3)知

且

由fi∈C(α),即fi最大值相等,故

類似由定理2.3的2)和4)可證明2).

(20)

(21)

3 結(jié)論

本文主要討論了二型模糊集的模糊真值以及二型模糊真值在連續(xù)t-模(┬)與t-余模(┴)上的性質(zhì),得到了二型模糊集在最小t-模和最大t-余模下并與交運算的最大值性質(zhì),凸模糊集有限并與交的運算性質(zhì).最后證明了具有相同最大值的凸模糊集在模糊真值代數(shù)運算下為一個格.對于凸模糊集在模糊真值運算下形成格的其他性質(zhì)將在以后討論.

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