h-自適應切割網格法在船海工程領域的發展綜述*

馬 麟 李廷秋* 辛建建 周少山 林澤華

(武漢理工大學交通學院1) 武漢 430063) (武漢理工大學計算機科學與技術學院2) 武漢 430070)

0 引 言

目前，新型船舶和大型浮體等船海工程結構物系統逐漸向多體發展，如雙體船、多立柱支撐的海洋平臺及船舶旁靠、相遇海上作業等.復雜海洋及深海環境下的結構物動邊界除了遭遇自身在極端風、浪，復雜渦、流等非線性耦合水動力載荷作用下的運動響應和大幅漂移，還包括多體間水動力干涉等相互作用；船海多尺度結構物在流場域內的幾何尺寸往往相差極大(例如，大尺度的裸船體和小尺度的舵)，難以用同一量級的背景網格進行計算；此外，結構物系統還將受到強非線性、可變密度、各向異性的自由表面的影響，包括甲板上浪、波浪翻卷和爬升等工程問題.為實現上述問題的精細流場特征捕捉，避免全域極細網格造成的計算效率嚴重降低，需引入自適應網格技術[1]，旨在通過局部提升流場物理量變化劇烈、幾何特征顯著區域的網格空間分辨率達到精度要求，同時減少計算消耗.

基于網格的計算流體力學(computational fluid mechanics, CFD)數值方法包括邊界擬合及非邊界擬合法[2].邊界擬合法主要基于貼體結構網格和貼體非結構網格，根據合適的映射函數能夠精確描述物面邊界，但處理動邊界問題時需結合動網格技術，而網格生成占用到CFD 工作量的60%～80%[3]，重構網格需要大量時間，且大位移易引起網格畸變與纏繞.非邊界擬合法主要基于笛卡爾背景網格，無需坐標轉換及根據動邊界重構網格，適于求解船海工程復雜多體動邊界及自由表面等熱點問題.切割網格法(cut-cell method, CCM)[4]是改進后的非邊界擬合浸入邊界法(immersed boundary method)[5]，避免了物面貼體網格生成，能夠精確處理任意復雜物面.因此，本文對現有的自適應技術進行了對比和分析，著重研究及總結針對船海領域中復雜幾何邊界和自由表面問題的自適應CCM技術，并分析其未來發展趨勢.

1 自適應技術分類及適用領域

CFD計算中的自適應技術大致可以分為p-(polynomial)、r-(redistribution)和h-(hierarchy)3種[6-7].為了提高計算精度，p-自適應在局部計算區域使用高階格式[8]，精度較高，但難以捕捉高階間斷面，不同階數需要編制不同程序，復雜性高，目前主要用于固體力學領域，難用于機械學科和流體力學[9-11].r-自適應將網格點移動至梯度較大區域[12]，網格數目不增加，數據結構簡單，不需額外插值，但可能導致網格變形、品質下降，為確保網格正交性，自適應后需求解大型矩陣方程, 導致計算消耗較高[13]，因此大多用于靜力學有限元問題，可用于流體領域，但對三維曲線單元的研究仍在進行[14]，對二維及三維實際工程應用依然有所限制[15-17].h-自適應則采取局部增加網格密度，單元靈活自由，網格加密稀疏沒有限制[18]，自適應網格質量好，能模擬復雜幾何邊界，與非邊界擬合法天然契合，僅需保證多尺度網格界面的通量守恒傳遞.雖然多級加密可能導致網格數的劇增[19]，但能夠通過高效的數據結構或結合并行計算解決這一問題.目前廣泛用于流體領域，適合于工程領域[20-22].

根據船海工程領域面臨的流體工程問題背景，本文主要研究h-自適應技術.根據數據結構可將其分為非結構和結構h-自適應網格技術.非結構h-自適應技術主要包括基于三角形網格的三角化法(delaunay)[23]、陣面推進法(advancing front method)[24]，以及基于背景笛卡爾網格的非拓撲結構叉樹法：包括Yerry等[25]提出的各項同性四叉樹 (quadtree)、八叉樹法 (qctree)，和Wang等[26]提出的適于求解高雷諾數黏性層的各向異性2N(N為維度)叉樹法等.非結構h-自適應技術網格單元的大小靈活，網格生成自動化程度高，適用于模擬復雜幾何邊界.但基于三角形非結構網格的h-自適應技術的數據結構和網格信息尤其復雜，計算易發生嚴重過載，難以生成各向異性網格及隨時間推進將數據更新.h-叉樹非結構自適應技術所需的記憶存儲空間少于三角形非結構網格，而傳統的叉樹法的隱式連通存儲使得遍歷過程難以矢量化和并行化.為此，學者們著力于對其數據結構進行改進，使其易于并行計算.Khokhlov[27]提出了線性樹結構的h-自適應技術，使得叉樹法能夠用于并行計算， Ji等[28]提出混合的h-線性樹(fully threaded tree, FTT)自適應切割/虛擬網格法，并提出新穎的h-元結構自適應(cell-based structured adaptive mesh refinemen, CSAMR)笛卡爾網格法[29]，用哈希表替代傳統的層次樹結構，直接采用笛卡爾索引，使得網格易于并行化及負載平衡.此外，非結構h-叉樹自適應技術在邊界容易產生大量懸掛節點(不全是所有相連單元的頂點的網格節點)，見圖1，可能影響計算精度，難以采用高精度格式.

圖1 懸掛節點示意圖

結構h-自適應技術主要指基于背景笛卡爾網格的h-塊結構(block-structured)自適應網格技術.文獻[1]在二維、三維有限元計算域局部嵌入矩形網格塊進行加密，并命名為自適應網格技術(adaptive mesh refinement).h-塊結構自適應技術基于網格塊進行分級加密，再將網格塊中布置均勻的根據(i,j,k)笛卡爾結構索引的網格單元，能夠直接使用均勻網格求解器，懸掛節點數量少于h-叉樹技術，僅需在跨層次的塊界面進行通量守恒處理.與h-叉樹技術相比, 見圖2.局部結構化的網格單元使其更易結合高精度格式.文獻[22]基于h-塊結構自適應有限體積法求解了二維和三維泊松方程.Huang等[30]采用高精度空間離散格式計算空氣動聲學問題，結果顯示提高了效率.Hittinger等[31]提出高階有限體積方法的h-塊自適應網格技術，采用5點WENO5格式達到四階離散精度.Buchmüller等[32]將h-塊結構自適應笛卡爾網格法結合四階精度的WENO5和六階精度的WENO7格式，比達到同等精度的1階計算可以節約3倍時間.h-塊自適應的問題在于每個細化塊會包含30%左右的非標記網格，但顯式連通的數組存儲比傳統h-叉樹法隱式連通的鏈表存儲所需內存要少，易于并行計算，對于三維問題，能夠顯著提升效率.

圖2 h-塊結構和h-叉樹非結構示意圖

綜上所述，相對于p-和r-自適應而言，h-自適應技術已經廣泛用于流體工程領域.其中，與基于三角形網格的h-非結構自適應技術相比， h-叉樹非結構和h-塊結構自適應技術更適于基于時間和空間的雙向自適應策略，且二者都基于背景笛卡爾網格，與非邊界擬合法天然契合.因此，本文著重研究和分析針對船海工程領域關鍵問題的非邊界擬合h-自適應CCM的發展和現狀.

2 h-自適應CCM/笛卡爾網格技術在船海工程關鍵問題的主要研究進展

2.1 h-塊結構自適應技術

1) 求解復雜幾何邊界問題 國外，美國宇航局Ames研究中心的學者對h-自適應笛卡爾網格和切割網格技術進行了大量研究.Berger等[33]應用h-塊結構自適應笛卡爾網格法求解各項異性的復雜幾何邊界流場問題，為幾何界面提供了高分辨率.Melton等[34]提出h-塊結構自適應CCM求解三維復雜邊界的Euler方程問題.文獻[19]對h-塊和h-叉樹自適應CCM進行了綜述介紹，并在此后開展了針對二維、三維導彈、火箭等復雜幾何構型的h-自適應CCM系列研究.John等[35]基于FLASH開源平臺將h-塊自適應笛卡爾網格技術求解二維、三維任意復雜幾何構型邊界的高速黏性可壓縮N-S方程問題.這些研究對于船海工程領域的復雜多體、細長體問題求解具有很大參考意義.

國內，Chung[36]采用Level Set方法定位與跟蹤物體邊界的位置，徐建軍等[37]將基于Level Set技術的二階精度積分算法與h-塊自適應技術結合，求解任意界面問題.

2) 求解自由表面問題 Berger等[38]采用h-塊自適應技術對激波進行精確的計算，這種間斷面的問題對自由表面中空氣和水的大密度比問題有參考意義.Colella等[39]將h-塊自適應CCM結合二階精度VOF(volume of fluid)界面捕捉技術求解考慮自由表面影響的不可壓縮N-S方程，并用水平集法(Level Set)確定法向矢量和表面張力.Sussman等[40]將Level Set方法和h-塊自適應笛卡爾網格技術結合，求解不可壓縮N-S方程和帶有表面張力的兩相流問題， Sussman等[41]進一步將VOF方法和Level Set方法耦合(CLSVOF)，其中Level Set方法彌補了VOF方法難以精確計算局部曲率的問題.Barad等[42]將二階精度的h-塊結構自適應CCM應用于求解三維多尺度、不可壓縮、可變密度、任意復雜區域和各項異性流場環境的N-S方程問題.Plas等[43-44]基于ComFLOW平臺，采用基于PLIC幾何重構VOF的h-塊自適應CCM模擬自由表面和楔形體入水問題，從結果看全局計算精度達到近似二階，證實了自適應網格對海洋工程應用中對自由表面和動邊界問題的優化作用是很明顯的，并對將其應用于流固耦合問題提出展望.

國內，Chung[45]采用h-塊結構自適應CCM和Level Set方法結合模擬了二維楔形和圓柱入水、雙圓柱花形部分入水旋轉等自由表面和動邊界問題.龔國毅[46]采用h-塊自適應浸入邊界法結合VOF法模擬了二維不可壓縮N-S方程的液艙晃蕩問題.

2.2 h-叉樹非結構自適應技術

1) 求解復雜幾何邊界問題 國外，De等[47]采用h-四叉樹自適應CCM求解無黏可壓縮二維定常Euler方程，模擬了跨音速機翼、三元機翼、雙橢圓等幾何構型的流場問題.Coirier[48]進一步求解了無黏可壓縮N-S方程問題，并基于定向的單元提出各向異性的非均勻細化自適應技術.Karman等[49]基于美國Lockheed Fort Worth公司開發的三維 SPLITEFLOW流場計算軟件，采用h-叉樹自適應CCM求解了復雜幾何邊界的Euler方程問題在物體表面附近邊界層區域添加三角形-四面體單元進行模擬三維黏性的N-S方程問題.文獻[28]提出混合的h-線性樹自適應CCM/虛擬網格法模擬二維圓柱繞流、薄扁橢圓旋轉和星形體在流場中運動問題.文獻[29]直接在流體區域的復雜、不規則內邊界采取高于一階精度離散格式，但鄰居搜索變得非常復雜.Hartmann等[50]基于h-叉樹自適應CCM求解可壓縮黏性流體N-S方程問題，模擬二維、三維的定常、非定常圓柱繞流層流問題，結果具有二階精度.Schneiders等[51]將方法拓展至求解動邊界的黏性可壓縮流問題，減少了界面處的非物理振蕩.

國內，桑為民[52]發展動態h-叉樹自適應CCM求解三維非定常的Euler方程；趙書廷[53]在此基礎上加入對物面邊界網格檢驗的思想和方法；王俊杰等[54]提出用于三維復雜幾何外形的h-復合叉樹自適應笛卡爾網格技術；逯雪鈴等[55]將其改進，使其具備處理復雜外形和退化幾何方面的能力，為了實現場點屬性識別判斷、各項異性自適應等操作，數據結構上采用交錯二叉樹管理網格單元.萬錚等[56]對二維多段復雜翼型等問題進行了數值計算.劉劍明[57]采用h-自適應浸入邊界法對內埋彈倉模型等運動物體無黏Euler方程問題進行了模擬.胡偶[58]將h-叉樹自適應笛卡爾網格技術結合二維下的黏性貼體網格求解N-S方程問題.王豪[59]基于Gerris開源求解器的h-叉樹自適應笛卡爾網格技術對蜻蜓二維的翼型拍動問題進行了模擬.羅昔聯等[60-61]提出基于Kitta Cube和6+N模型離散方法的h-叉樹自適應CCM，模擬了三維同心球和偏心球之間的自然對流換熱.

2) 求解自由表面問題 國外， Ham等[62]提出了各項異性的h-叉樹自適應浸入邊界法，求解時間依賴的不可壓縮N-S方程，模擬了二維、三維方腔流和圓柱繞流問題.Singh等[63]基于Ham的方法，模擬了靜止和上升氣泡問題，但由于各向異性導致求解復雜，因此Singh[64]采用各項同性h-叉樹自適應浸入邊界法結合基于MAC的Level-contour無連通性的界面追蹤方法，模擬了三維多相流的黏性不可壓縮N-S方程問題，保證了界面重構的守恒性.Greaves[65]采用h-四叉樹自適應CCM結合CICSAM格式和PLIC格式界面重構技術的VOF技術模擬高剪切流問題，保證了界面尖銳.Greaves[66]進一步求解了固定船艙內的自由表面和穿過水下圓柱的波浪的黏性N-S方程問題.Hua等[67]將h-線性樹自適應CCM/虛擬網格法結合基于標記點和三角形面元法進行動邊界追蹤，模擬了各項異性的三維液滴等自由表面問題.Fuster等[68]基于Gerris開源代碼采用h-八叉樹自適應CCM結合VOF方法模擬了霧化等復雜自由表面問題，以限制雷諾數范圍的方式保證足夠的精度.Li等[69-70]提出結合Level Set的h-叉樹自適應浸入邊界方法，求解流體中的移動界面不可壓縮N-S方程問題，對物面切割網格附近的帶區域進行自適應加密，模擬了二維氣泡變形等移動邊界問題.

國內，王生輝等[71]將h-四叉樹自適應笛卡爾網格技術結合Level Set界面追蹤方法，對比分析了3個給定速度的平移、旋轉和剪切流場的動邊界追蹤問題.Wang等[72]提出耦合了PLIC格式的VOF技術和Level Set方法(VOSET方法)的動態h-叉樹自適應笛卡爾網格技術，其中VOF方法用于界面捕捉，Level Set方法用于幾何自適應區域的判定.Chen 等[73]提出基于厚度的h-叉樹自適應笛卡爾網格法用于模擬多尺度、多相流區域，其自適應包括基于VOF的體積分數的梯度物理的判斷準則和根據厚度的(網格距離和流體體積分數)幾何自適應判斷準則.

3 結 論

1) h-自適應網格技術的選擇 基于三角形網格的h-非結構自適應技術容易空間自適應，但難于隨時間更新；h-叉樹非結構自適應在工程領域受到廣泛應用，適于雙向自適應策略，加密靈活，但難以采用高精度格式，且需要高效的數據結構結合并行計算，從長遠來看，如何改進和提高h-叉樹非結構自適應的數據存儲結構將是其未來的發展趨勢；h-塊結構自適應技術的提出要早于h-叉樹非結構自適應技術，雖然會額外細化約30%的非標記單元，但其所需內存較少，易于并行計算，效率更高(尤其對于三維問題).隨著現代計算機硬件和技術的不斷發展，h-塊自適應技術將有更大的發展空間，且其易于采用高精度格式，屬于現代CFD研究熱點之一，有很大研究潛力.目前，國外求解含復雜幾何邊界和自由表面問題則既有用h-塊結構自適應，又有h-叉樹非結構自適應技術.而國內大多采用h-叉樹非結構自適應技術求解各類問題.對比國外的發展現狀來看，國內針對船海領域的h-塊結構自適應CCM的研究和應用較少，尚有很大的研究意義和發展空間.

2) 任意復雜物體邊界的自適應加密方法 為了精確描述物面，通常需要將物面所處的網格進行識別、標記和細化，此外，為了計算，還需根據物面進行固相、液相網格的場點屬性進行識別.雖然非邊界擬合CCM技術從理論上來說，很適于研究任意復雜幾何邊界問題，但前文所述的自適應技術幾乎全部需要根據表面離散三角形面元及射線法判斷場點屬性，實際上，目前的h-自適應CCM技術大多限制與二維或簡單形狀物體的研究.如何能夠進一步研究多體等復雜幾何靜、動動邊界問題，將其結合新穎、高效的物面構造方法和場點屬性識別技術，對基于非邊界擬合法的h-自適應CCM/笛卡爾網格技術將有重要的拓展意義.

3) 針對船海領域的h-自適應技術現狀 目前h-自適應CCM/笛卡爾網格技術應用于航空領域多于船海領域，但航空領域的相關研究對船海領域也有很大的參考意義(例如，激波間斷面和大密度比的自由表面).目前，國內外自適應CCM技術的應用已經實現了從求解無黏的Euler方程到有黏性N-S方程，從可壓縮流到不可壓縮流問題的研究.但國內應用的自適應網格技術大多用航空航天領域的可壓縮流體，對于求解處于不可壓縮黏性流體的水動力問題的自適應網格技術應用相對較少.對不于可壓縮流而言，速度與壓力耦合在一起，需要解耦處理，直接求解需要運算大型稀疏矩陣，計算量大，有很大難度，還有待進一步研究.

為了精確描述自由表面，目前，國內外主要將h-自適應技術幾何基于CICSAM格式或PLIC幾何重構的VOF界面捕捉技術，或Level Set界面捕捉技術.Level Set技術幾何計算簡單，但界面存在嚴重質量不守恒現象；VOF界面捕捉技術質量守恒、計算量較小，但難以精確描述界面幾何形狀及曲率，且三維幾何重構困難，通常采用基于代數高精度CICSAM格式算法提升其精度.根據前文，目前h-自適應結合選用VOF技術要多于結合Level Set技術，因此,如何結合當前的高精度格式研究熱點、或耦合Level Set技術以提升VOF技術精度，將是針對船海領域的h-自適應CCM技術的未來重點發展方向之一.

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