基于Kriging代理模型的城軌車輪踏面外形優(yōu)化

施振宇,戴 碩,邢宗義

(南京理工大學自動化學院,南京 210094)

為了減輕交通壓力以及降低環(huán)境污染，城市軌道交通的發(fā)展開始加速。城市軌道交通載客量大、安全準點，能夠滿足人民群眾的日常出行，而且具備節(jié)約土地資源以及環(huán)保的優(yōu)勢，與人民群眾生產(chǎn)生活密切相關[1]。地鐵的運行線路與普通鐵路不同，彎道較多且曲線軌道半徑小，需要經(jīng)常性的啟動和制動，造成輪軌接觸關系分析變得困難起來。隨著累計行程的逐漸增加，輪軌之間的損耗加大，造成輪軌系統(tǒng)性能變差，從而危害車輛運行的安全行駛，極大阻礙了城市軌道交通的發(fā)展[2]。城軌車輪磨耗除了使得輪緣輪徑的尺寸減小之外，同時踏面外形輪廓也會因此發(fā)生較大變化。部分地鐵線路運行一段距離之后輪緣發(fā)生磨損，出現(xiàn)踏面剝離、擦傷和平輪等形式的損傷[3]。而車輪踏面磨耗嚴重也會導致輪對壽命遠低于正常的使用周期[4]。踏面剝離是指由于持續(xù)的運營導致輪軌接觸疲勞，致使踏面表面出現(xiàn)剝落，產(chǎn)生裂紋，此時須進行鏇修，若出現(xiàn)磨耗超限則要及時更換，這將會產(chǎn)生一定的費用并大大減少輪對使用壽命[5]。輪軌外型不匹配將導致列車平穩(wěn)性與曲線通過性能差、較大的輪軌接觸應力、踏面嚴重磨損和出現(xiàn)裂紋、運行中噪聲等一系列的問題，嚴重時甚至會引起列車脫軌等重大交通事故[6]。因此采用恰當?shù)能囕喬っ嫱庑?，可以減少輪軌之間的磨損，節(jié)約成本和減少維修次數(shù)，提高車輪的穩(wěn)定性，增加使用壽命，改善車輛的動力學性能。

常崇義等[7]采用ABAQUS建立了三維動態(tài)輪軌接觸有限元模型，以現(xiàn)場試驗得到的實測數(shù)據(jù)對數(shù)值分析模型和方法進行了驗證。BRAGHIN等[8]應用基于簡化FASTSIM算法對輪軌關系進行了計算分析，研究出當車輛行駛超過20萬km再進行鏇輪作業(yè)，能夠將輪對的使用壽命延長一倍以上。員華等[9]對輪對鏇修工作現(xiàn)行采用的等級鏇修制度進行了分析，選擇不同的輪緣厚恢復等級進行鏇修，盡可能減少輪徑的鏇削量。PASCUAL等[10]分析研究城軌車輪輪對磨耗實測歷史數(shù)據(jù)，認為當輪緣厚度下限為27.5 mm，鏇修后的輪緣厚度值為30.5 mm時產(chǎn)生的輪對鏇修總費用是最小的。許宏等[11]基于高斯過程建立了輪對磨耗模型，采用蒙特卡羅仿真進行求解，實現(xiàn)鏇修參數(shù)的優(yōu)化。王珍[12]通過對動車組歷史數(shù)據(jù)的分析，確定了單個車輪的最優(yōu)鏇修參數(shù)選擇。Jendel[13]將車輛軌道動力學仿真計算放在時域進行，并在Gensys軟件中進行模擬。

輪對的鏇修工作主要分為以下兩個步驟：一是需要確定輪緣厚的恢復閾值和輪徑的切削量，即鏇床要按照鏇修后的車輪輪緣厚值進行鏇修加工，相應對輪徑進行切削以降低踏面測量的基準點；第二，在輪對的輪緣輪徑參數(shù)確定之后，還需要保證鏇修后的輪對能夠保持一個平滑的合理的外形輪廓，使得列車在正常運行過程中，滿足車輛的一系列動力學性能。本文主要對第二個步驟進行重點研究。

本文圍繞城軌車輪鏇修后的踏面外形輪廓展開研究，提出了基于Kriging[14-15]代理模型的單目標優(yōu)化方案和多目標優(yōu)化方案，對改進之后的結果與標準踏面的性能進行對比，研究動力學性能的各項指標，并比較兩種模型的優(yōu)劣。結果表明多目標優(yōu)化相比單目標而言可以同時對多個相互影響和制約的目標進行優(yōu)化，在多個優(yōu)化目標之間尋找一個折中點，使系統(tǒng)的綜合性能得到提高。

1 城軌車輪踏面外形Kriging代理模型變量

Kriging代理模型是在分析設計變量在空間上的相關性的基礎上，根據(jù)已知樣本信息來構建輸入變量與輸出變量之間的映射關系，從而預測某一未知待測點的信息的。

Kriging模型是對線性回歸分析的一種改進，Kriging模型需要利用在某一點為中心的鄰域內(nèi)的已知設計點的信息對待測樣本點進行預測，即利用線性加權法將該點的鄰域內(nèi)樣本設計點的信息加權來估計該點未知信息。利用獲得信息的最小誤差方差來確定加權的權系數(shù)。因此，Kriging模型本質上是最優(yōu)的線性無偏估計。

Kriging模型的組成：多項式和隨機分布

y(x)=fT(x)β+Z(x)

(1)

式中，fT(x)=[f1(x1)，f2(x2)，…，fq(xm)]T為已知的多項式回歸模型；β=[β1，β2，…，βq]T為相對應的待估參數(shù)；Z(x)為一隨機過程，具有如下統(tǒng)計特征

(2)

式中，xi和xj是訓練樣本中的兩個點；R(θ，xi，xj)是相關性系數(shù)，包含待定參數(shù)θ，用于表示兩個樣本點之間的空間相關性。因此，Kriging代理模型將任意的響應值都視為一個服從正態(tài)分布隨機變量，如此模型具有更好的靈活性，而不限定于某種特定的形式。

2009年10月至12月，廣州地鐵進行了較為集中的鏇輪作業(yè)，先后實測結果如表1所示。可以看出，城軌車輪在經(jīng)過鏇修之后再次上線后，車輪的磨耗以及鋼軌的磨耗會加劇。輪對鏇修會破壞已經(jīng)進入穩(wěn)定磨損狀態(tài)的輪軌接觸關系，輪軌將會重新回到運行初期的磨合階段，磨耗量平均值增大。因此鏇修作業(yè)后車輪保持一個具備良好的輪軌接觸關系的外形十分重要。現(xiàn)有的車輪型面的優(yōu)化，主要是對踏面外形的優(yōu)化，本文在TBT449—2003標準中已經(jīng)給出的幾種LM磨耗型踏面外形的基礎上基于車輛動力學性能做相應的型面優(yōu)化。

表1 2009年廣州地鐵5號線磨耗狀況對比

選取我國廣泛應用的LM磨耗型踏面進行分析。其幾何特性如圖1所示。根據(jù)TBT449—2003分析，LM踏面外形能夠依據(jù)輪緣厚的尺寸不同分為4種，分別為26，28，30，32 mm[16]，綜合4種磨耗型踏面的幾何特性，有幾個不變的參數(shù)可以進行確定。我們可以分析得到需要采用5個參數(shù)能夠描述這段圓弧r1，r2，r3，xR3，xR4，從左向右4段圓弧依次為圓OR1，OR2，OR3，OR4，A點為輪緣厚測量點，對于確定了輪緣厚值的預鏇輪對，A點和E點值為固定值A(-39.8，-12)，E(42.3，2.52)。

圖1 LM磨耗型踏面幾何特性(單位：mm)

由已知的A點坐標可得到兩個方程

(3)

可得圓OR1的圓心坐標O1(xR1，yR2)。

由于圓OR3必經(jīng)過踏面基準點，則現(xiàn)已知圓OR3的圓心橫坐標xR3以及半徑r3，則可得出O3的縱坐標yR3。

已知E點坐標，根據(jù)圓OR4的特點及圓OR3和圓OR4外切的特性，可得以下兩個方程

(4)

可以算出yR4和r4。

(5)

可得出圓OR2的圓心坐標O2(xR2，yR2)。

至此，4段圓弧均可唯一確定。表1即為使用的設計變量及其范圍的依據(jù)。

表2 標準試驗系統(tǒng)結果數(shù)據(jù)設計變量

2 單目標車輪踏面Kriging優(yōu)化方案

2.1 目標函數(shù)

磨耗性能是用于表征車輛的曲線通過性能，采用英國首創(chuàng)的磨耗指數(shù)來表示

WZ=Fxξx+Fyξy

(6)

式中，WZ為列車輪對的磨耗指數(shù)；Fx，F(xiàn)y分別為軌道對輪對的左右軌的縱向和橫向蠕滑力；ξx，ξy分別為輪對的左右輪與鐵軌的縱向和橫向蠕滑率。

目標函數(shù)f(x)與輪軌間損耗有關，為

(7)

WZL(t)=FxL(t)ξxL(t)+FyL(t)ξyL(t)

WZR(t)=FxR(t)ξxR(t)+FyR(t)ξyR(t)

(8)

式中：WZL(t)，WZR(t)分別為某時間點列車導向輪對雙輪的磨耗指數(shù)；FxL(t)，F(xiàn)yL(t)，F(xiàn)xR(t)，F(xiàn)yR(t)分別為某時刻導向輪對的左右軌的縱向和橫向蠕滑力；ξxL(t)，ξyL(t)，ξxR(t)，ξyR(t)分別為某時刻導向輪對的左右輪與軌道的縱向和橫向蠕滑率；S1，S2，S3分別為[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]時間段內(nèi)車輛運行的距離。

2.2 約束條件

為避免發(fā)生事故，減輕輪軌損耗，約束條件采用脫軌系數(shù)，輪重減載率，平穩(wěn)性指標。

(1)約束函數(shù)g1(x)與脫軌系數(shù)相關，則

(9)

式中，Lv0為車輪的脫軌系數(shù)的最大上限值，根據(jù)TB/T2360-93取0.8；PL(t)，PR(t)分別為某時刻鐵軌作用于導向輪對的垂向力；fir(·，lfir，ufir)為帶通濾波器；lfir，ufir分別為帶通濾波器的截斷低頻率和截斷高頻率。

(2)約束函數(shù)g2(x)和輪重減載率相關，則

(10)

式中，ΔP為輪重減載量；P為平均輪軌垂向力；P0=0.6；P0為輪重減載率安全允許限值。

(3)目標函數(shù)g3(x)與平穩(wěn)性相關，則

g3(x)=SPl-SPl0≤0

(11)

按照《客運專線鐵路工程竣工驗收動態(tài)檢測指導意見》規(guī)定，SPl0=2.5。

2.3 模型精度檢驗

依次對其他指標進行精度判定，并采用均方根誤差值進行誤差計算，該評價指標的最大值為0.2。由表3可以看出，各指標的誤差值均在合格范圍內(nèi)，因而此模型可以進行仿真并對其進行計算。

表3 單目標優(yōu)化均方根誤差

2.4 Kriging優(yōu)化模型的求解過程

模型求解過程見圖2，具體步驟如下。

(1)給定待優(yōu)化的初始踏面形狀，車體動力學模型，確定樣本點的初始空間E0，中心點x0，步長δ0。

(2)在初始空間進行最優(yōu)拉丁超立方試驗設計，進而得到樣本點。

(3)利用Kriging插值法對目標函數(shù)及約束條件進行插值，建立車輪踏面優(yōu)化模型。回歸部分采用一階多項式模型。隨機過程采用GAUSS函數(shù)。進行模型精度檢驗。

(4)求解優(yōu)化問題

(12)

利用懲罰因子將優(yōu)化問題轉化成只帶邊界約束條件的優(yōu)化問題，將約束條件通過罰因子表示出來，即

(13)

Ωg={i|gi(x，θ)>0，j=1，2，…，N}

(14)

則可得子優(yōu)化問題

(15)

再利用遺傳算法即可得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解x(k+1)*以及所對應的代理模型的目標值。

(5)判斷最優(yōu)解的信息符合收斂準則與否。當?shù)谝淮蔚鷷r，直接執(zhí)行步驟6。當?shù)鷥纱沃髸r，計算優(yōu)化過程中第k次與第k-1次所求的可能最優(yōu)解所對應的模型響應值的相對差值，判斷該值符合收斂標準與否。若收斂，過程結束，則第4個步驟獲得的最優(yōu)解就是真實模型的最優(yōu)解；若不收斂，即進入第6個步驟。

(6)采用信賴域更新方法。可以根據(jù)下式來確定信賴域的更新半徑δ(k+1)

(16)

式中，m1，m2，S1，S2為系數(shù)，其中01，0

第k+1次迭代的子空間Ek+1由式確定

n=1，2，…，N}

圖2 單目標優(yōu)化Kriging模型求解流程

3 多目標車輪踏面Kriging優(yōu)化方案

3.1 目標函數(shù)

與磨耗指數(shù)相關的目標函數(shù)f1(x)見2.1節(jié)。

與脫軌系數(shù)相關的目標函數(shù)

(17)

式中，QL(t)，QR(t)分別為鋼軌受到車輪作用產(chǎn)生的橫向力；PL(t)，PR(t)分別為左右車輪的垂向力；fir(·，lfir，ufir)為帶通濾波器，lfir，ufir分別為帶通濾波器的截斷低頻率和截斷高頻率。

與平穩(wěn)性指標相關的目標函數(shù)

f3(x)=SPl

(18)

3.2 約束條件

與輪軌橫向力有關的約束函數(shù)

g1(x)=max{|fir(QL(t)，lfir，ufir)|，

|QR(t)，lfir，ufir|}-Q0≤0

(19)

與輪軸橫向力相關的約束函數(shù)

g2(x)=max{|fir(HL(t)，lfir，ufir)|，

|HR(t)，lfir，ufir|}-H0≤0

(20)

3.3 模型精度檢驗

采用均方根誤差值進行誤差計算，結果如表4所示。由表4可以看出，各指標的誤差值均在合格范圍內(nèi)，因而可以對該模型進行仿真。

表4 多目標優(yōu)化均方根誤差

3.4 優(yōu)化模型的求解

以磨耗指數(shù)、脫軌系數(shù)和平穩(wěn)性為目標函數(shù)的多目標Kriging優(yōu)化問題

(21)

基于多目標的Kriging優(yōu)化模型的求解，與單目標的區(qū)別之處在于目標函數(shù)的不同。運用遺傳算法對其進行求解時，對目標函數(shù)采用線性加權和法，由于3個目標函數(shù)并無明顯的主次關系，因此權重根據(jù)函數(shù)值本身不同的數(shù)量級確定。再引入懲罰因子，則式(18)轉變?yōu)?/p>

(22)

再利用遺傳算法對式(15)求解即可得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解x(k+1)*以及所對應的代理模型的目標值，求出的最優(yōu)解根據(jù)信賴域更新方法判斷符合收斂準則與否[17]。

4 仿真結果分析

4.1 單目標優(yōu)化仿真結果

初始踏面采用TBT449—2003中所規(guī)定的輪緣厚為30 mm的磨耗型車輪踏面，初始樣本中心點為x0=[14，100，500，32，15]，δ0=[1.5，10，20，4，2]。進行優(yōu)化設計。

在第5次迭代時，目標函數(shù)的變化值小于給定的閥值，優(yōu)化過程結束。求出的最優(yōu)踏面與標準踏面的對比如圖3所示。圖4是兩種踏面的等效錐度的對比。

圖3 單目標優(yōu)化標準踏面和最優(yōu)踏面的比較

圖4 單目標優(yōu)化標準踏面和最優(yōu)踏面等效錐度比較

由圖4可以看出，優(yōu)化后的等效錐度要顯著大于標準踏面。在偏移量6 mm時，優(yōu)化的踏面的等效錐度數(shù)值為0.208 5，而同樣的LM標準踏面的等效錐度為0.171 9。當橫移量呈現(xiàn)輪緣貼靠的時候，等效錐度迅速變大。

分析曲線通過性能，根據(jù)相關規(guī)定設置了3種理想曲線通過軌道，半徑分別為400、600、800 m。以條形圖的形式比較不同條件下最優(yōu)踏面通過不同半徑彎道曲線的動力學各指標的變化情況[18]，如圖5所示。

圖5 單目標優(yōu)化標準踏面和最優(yōu)踏面曲線通過能力比較

由圖5(a)可以看出，采用最優(yōu)踏面的列車在通過曲線軌道時，目標函數(shù)磨耗指數(shù)有較大幅度的降低，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)列車在通過3種不同曲線半徑軌道時的磨耗指數(shù)降幅分別為13.3%、15.2%和16.6%，曲線半徑越小，降幅越大。但對于其他的指標并不一定有著相同的趨勢。

脫軌系數(shù)在半徑400 m和600 m的軌道上分別惡化8.9%與6.7%，當曲線半徑增大到800 m時，最優(yōu)踏面的脫軌指標發(fā)生優(yōu)化，幅度較小，為3.6%。輪軌橫向力指標在半徑400 m和800 m的軌道上，最優(yōu)踏面進行了較小幅度的優(yōu)化，優(yōu)化率僅為2.75%和1.5%。半徑為600 m時，輪軌橫向力甚至惡化1.6%。輪重減載率在3個不同曲線軌道上均發(fā)生了一定的惡化，分別為6.2%、5%和0.64%。輪軸橫向力同樣發(fā)生微弱的優(yōu)化與惡化。

由以上分析可以得出，以磨耗指數(shù)單個目標函數(shù)做優(yōu)化，對磨耗指數(shù)本身有著較好的優(yōu)化效果，但對于其他指標來說，優(yōu)化效果不明顯，甚至可能會變差。同時，會造成直線運行能力的惡化。

4.2 多目標優(yōu)化仿真結果

初始踏面采用TBT449—2003中所規(guī)定的輪緣厚為30 mm的磨耗型車輪踏面進行多目標優(yōu)化設計。Kriging優(yōu)化模型的初始樣本中心點為x0=[14，100，500，32，15]，δ0=[1.5，10，20，4，2]。利用該優(yōu)化模型求出的最優(yōu)踏面與初始踏面的對比如圖6所示。其等效錐度的對比如圖7所示。

圖6 多目標優(yōu)化標準踏面和最優(yōu)踏面的比較

圖7 多目標優(yōu)化標準踏面和最優(yōu)踏面等效錐度比較

由圖7可以看出，橫移量在0～4 mm，優(yōu)化后的踏面的等效錐度與標準踏面基本持平，橫移量在4～7 mm，等效錐度略小于標準踏面，橫移量大于7 mm后，優(yōu)化踏面的等效錐度略大于標準踏面。

同樣設置了3種半徑分別為400、600、800 m的理想曲線通過軌道。車輛以適當?shù)乃俣韧ㄟ^帶有軌道激勵的曲線軌道。表5為最優(yōu)踏面通過不同半徑的曲線軌道的性能指標值。同時，將優(yōu)化后的指標值與標準踏面進行對比，計算得到該優(yōu)化模型的優(yōu)化率，如表6所示。

表5 裝載最優(yōu)踏面的列車曲線通過能力指標

表6 裝載最優(yōu)踏面的列車曲線通過能力的優(yōu)化率 %

由表6可以看出，在半徑為400 m的曲線軌道上裝載優(yōu)化后的踏面的列車的磨耗指數(shù)優(yōu)化率為8.24%，較單目標模型在相同條件下的13.3%的優(yōu)化率要較小一些。另外兩種大半徑的軌道上磨耗指數(shù)的優(yōu)化率同樣比其要小。但是約束條件都有不同程度的優(yōu)化，并未發(fā)生某些性能變差的情況。半徑為400 m的曲線軌道上，輪軌橫向力的優(yōu)化率為5.52%，輪軸橫向力的優(yōu)化率為6.07%，脫軌系數(shù)的優(yōu)化率為6.62%，輪重減載率的優(yōu)化率為5.95%。半徑為600 m的曲線軌道上，磨耗指數(shù)的優(yōu)化率與400 m軌道相比略微增大為8.42%，輪軌橫向力的優(yōu)化率為9.12%，輪軸橫向力的優(yōu)化率為5.09%，脫軌系數(shù)的優(yōu)化率為4.74%，輪重減載率的優(yōu)化率為5.79%。半徑為800 m的較大半徑曲線軌道上，磨耗指數(shù)的優(yōu)化率與400 m軌道相比提高幅度較大，為10.57%，輪軌橫向力的優(yōu)化率為8.68%，輪軸橫向力的優(yōu)化率為6.66%，脫軌系數(shù)的優(yōu)化率為5.28%，輪重減載率的優(yōu)化率為4.2%。總的來說，列車的曲線通過能力在3種曲線軌道上都得到明顯改善。這與等效錐度的走勢大致相同，在橫移量較大時，等效錐度較高有利于曲線通過。

由如上分析可得，采用線性加權和與信賴域相結合的方法對建立的Kriging優(yōu)化模型進行優(yōu)化，最優(yōu)解只需要信賴域變更5次即可獲得，雖然磨耗指數(shù)的優(yōu)化率沒有之前單目標的優(yōu)化率高，但沒有某個指標出現(xiàn)惡化情況，導致曲線通過能力不平衡。由此說明所采用的多目標優(yōu)化模型，在平衡不同性能指標方面有著較好的優(yōu)化效果。相比建立的單目標優(yōu)化模型，多目標優(yōu)化具有較好的均衡性。

5 結論

本文圍繞城軌車輪鏇修后的踏面外形輪廓展開研究，提出了基于Kriging代理模型的單目標優(yōu)化方案和多目標優(yōu)化方案，以磨耗指數(shù)、平穩(wěn)性和脫軌系數(shù)多個指標為目標函數(shù)建立Kriging多目標優(yōu)化模型，采用線性加權和與信賴域更新相結合的優(yōu)化算法求解，從優(yōu)化結果可以看出，裝載優(yōu)化踏面的列車的直線平穩(wěn)性與曲線通過能力都可以得到一定程度的提高。多目標優(yōu)化與單目標相比很大的優(yōu)勢就是均衡性比較好，同時優(yōu)化多個相互影響的目標，使系統(tǒng)的各方面綜合性能得到提高，從而在多個優(yōu)化目標之間尋找一個折中點，使系統(tǒng)的綜合性能得到提高。

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