基于EKF落點預測的二維彈道修正彈制導方法

普承恩，王良明，傅 健

(南京理工大學 能源與動力工程學院， 南京 210094)

射擊精度是評價武器系統(tǒng)性能的重要指標，二維彈道修正彈作為一種新興彈道修正彈藥，結合了衛(wèi)星測量技術，整體成本較低，打擊精度較高，并且能提高有效殺傷力、減小武器系統(tǒng)附帶傷害。導彈的控制系統(tǒng)復雜，可以通過連續(xù)導引來修正彈道，達到精確制導的目的，而二維彈道修正彈的控制系統(tǒng)較簡單，全彈道只進行一次或多次修正，命中精度較導彈差，因此，在不增加成本的情況下進一步提高二維彈道修正彈的命中精度是未來研究的重要方向。

基于落點預測算法的彈道修正控制方法是當前各國研究的熱點[1]。

文獻[2]采用拓展卡爾曼濾波對雷達測量的彈丸進行了飛行參數(shù)和氣動參數(shù)的辨識并預報了彈丸的落點，取得了較高的落點預報精度；文獻[3]采用衰減記憶法擴展卡爾曼濾波遞推算法進行彈道修正彈的落點估計；文獻[4]采用無跡卡爾曼濾波(UKF)對雷達測量的彈丸彈道參數(shù)進行了濾波，外推得到彈丸落點；文獻[5]將六自由度非線性彈道模型進行線性化，并結合拓展卡爾曼濾波進行落點估計，得到了較高的估計精度；文獻[6]采用了線性化彈道模型進行落點估計，并利用預測點與目標點之間的偏差設計了制導律；文獻[7]采用了神經(jīng)網(wǎng)絡方法進行落點估計，并利用預測點與目標點之間的偏差設計了制導律。

前人對落點預測的方法作了較多探索，取得了許多成果。但是在制導律設計方面還沒有將拓展卡爾曼濾波與敏感矩陣結合的先例。考慮到彈載計算機的快速性、實時性，這里采用了3自由度質點彈道模型，既保證了彈道計算精度，又提高了計算速度；采用歐拉法將非線性質點彈道模型離散化，利用拓展卡爾曼濾波器對衛(wèi)星測量的實際彈道參數(shù)進行估計后得到實際落點坐標，而后采用微小擾動法確定出近似敏感矩陣，根據(jù)敏感矩陣確定射程偏差量與彈道傾角偏差量的關系，據(jù)此給出加速度制導指令，最后結合蒙特卡洛模擬打靶法驗證此制導律的可行性與有效性。

1 EKF落點預測算法

1.1 質點彈道模型

彈箭的飛行環(huán)境十分復雜，這對彈載計算機的要求非常嚴格，彈載計算機不僅要接收衛(wèi)星測量參數(shù)，還要進行濾波并計算出彈丸的預測落點和制導指令。為了保證彈載計算機的快速性、實時性[8]，本研究采取簡化的質點彈道模型進行相關的計算，質點彈道模型[9]為

(1)

式中：Vx，Vy，Vz為彈丸的速度在地面坐標系下的分量；x，y，z為彈丸在地面坐標系下的位置坐標；Wx，Wz分別為縱風和橫風速度；Vr為相對速度，其計算公式為

ρ為空氣密度函數(shù)；S為彈體特征面積；m為彈丸質量；Cx(Ma)為阻力系數(shù)；g為當?shù)刂亓铀俣取＿x取狀態(tài)變量為

則狀態(tài)方程為

(2)

其中：

式(2)中：w為模型噪聲，是為了補償質點彈道模型對真實運動描述的不足而引入的高斯白噪聲，w服從均值為零方差為Q的正態(tài)分布，w～N(0,Q)。

1.2 衛(wèi)星測量模型

采用衛(wèi)星測量的二維彈道修正彈是利用彈上的衛(wèi)星信號接收機來獲得彈丸當前時刻的位置和速度參數(shù)，即Vx、Vy、Vz、x、y、z。因此觀測矢量為

觀測方程為

y=h(X)+v

(3)

其中：v為量測噪聲，服從均值為零，方差為R的高斯分布，即v～N(0,R)。

1.3 EKF算法

EKF算法是經(jīng)典卡爾曼濾波算法的推廣，經(jīng)典卡爾曼濾波算法只適用于線性系統(tǒng)，而狀態(tài)方程(2)是非線性的，必須采用適合于非線性問題的濾波算法，拓展卡爾曼濾波正是解決此類非線性估計問題的算法。

EKF算法使用的是離散時間非線性模型，在進行濾波前，需將其離散化。采用歐拉法將方程組(2)離散化，得到離散化后的狀態(tài)模型和觀測模型如下

Xk+1=Xk+f(Xk)T+wk

(4)

yk+1=h(Xk)+vk

(5)

其中T為衛(wèi)星采樣周期

EKF算法具體過程分為4步：

第一步 初值初始化

(6)

(7)

第二步 狀態(tài)預測

(8)

(9)

第三步 計算增益

(10)

第四步 狀態(tài)更新

(11)

Pk+1|k+1=(I-Kk+1Hk+1)Pk+1|k(I-Kk+1Hk+1)T+

(12)

式(6)～式(12)即為拓展卡爾曼濾波過程，其中yk+1為量測值，由式(5)得到。Φ為狀態(tài)轉移矩陣，H為觀測矩陣，它們都是雅各比矩陣，其計算表達式如下

經(jīng)過以上步驟的濾波估計以后，得到彈丸的彈道參數(shù)估計值，取最后一時刻的估計結果代入理想質點彈道模型即可計算出預測落點。

2 敏感矩陣導引律設計

2.1 落點預測導引原理

落點預測導引的原理是利用前面預測得到的落點坐標與目標點的位置坐標進行比較，得到偏差量，根據(jù)偏差量產(chǎn)生制導控制信號，從而修正彈道。射程修正原理如圖1所示，側偏修正原理如圖2所示。

Δx=xp-xt， Δθ=θc-θd

其中：xp為預測落點橫坐標；xt為目標點橫坐標；θc為當前彈道傾角；θd為期望彈道傾角。

圖2中，az為側偏修正加速度指令， Δz為預測落點與目標點之間的側偏偏差， Δψ為當前彈道偏角與期望彈道偏角之間的偏差，計算公式為

Δz=zp-zt， Δψ=ψc-ψd

其中：zp為預測落點縱坐標；zt為目標點縱坐標；ψc為當前彈道偏角；ψd為期望彈道偏角。

(13)

同理，也可得到側偏修正加速度指令

(14)

式中，κ為導引系數(shù)。

2.2 敏感矩陣法

從式(13)、式(14)可以看出，俯仰和側偏的加速度指令由 Δθ和 Δψ決定，確定這兩個偏差角有兩種方法，第一種是采用射表法，第二種是采用敏感矩陣法。射表法就是通過查找射表，找到一組 Δθ與 Δx、 Δψ與 Δz的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)當前的 Δx和 Δz插值確定 Δθ和 Δψ；敏感矩陣法就是通過敏感矩陣確定 Δθ和 Δψ，本研究采用敏感矩陣法。敏感矩陣關系方程可以表示為

(15)

(16)

通過敏感矩陣法確定彈道傾角輕微擾動量與落點偏差之間的關系如表1所示，從表1可以看出εθ對εz的影響很小，εψ對εx的影響也很小，可近似取

(17)

將式(16)、式(17)代入式(15)得：

(18)

根據(jù)式(18)求出Δθ和Δψ后，代入式(13)、式(14)便可以得到修正加速度指令，進行彈道修正。

表1 輕微擾動量與落點偏差量

3 仿真結果

3.1 EKF落點預測仿真

針對炮射衛(wèi)星測量二維彈道修正彈，進行數(shù)值仿真，仿真條件為無風，標準氣象條件，初速V0=900 m/s，初始射角θ0=35°。衛(wèi)星測量的數(shù)據(jù)由理想彈道數(shù)據(jù)疊加測量隨機誤差而成，其中測量誤差取：σX=[10 m 10 m 10 m 0.3 m/s 0.3 m/s 0.3 m/s]T衛(wèi)星采樣周期0.01 s,發(fā)射2 s后開始測量。對全彈道進行彈道濾波，文中選取第20～35 s時刻的彈道參數(shù)進行落點估計。仿真結果如圖3、圖4所示。

圖3～圖4分別是二維彈道修正彈的速度估計誤差和位置估計誤差曲線，可看出，速度估計誤差和位置估計誤差都在0.5 s內完成了從初始誤差趨于零的過程，之后時間的速度估計誤差始終保持在0.1 m/s以內，位置估計誤差保持在2 m以內，表明了拓展卡爾曼濾波對彈道參數(shù)估計精度高、收斂速度快，應用于彈道參數(shù)估計的有效性好。

3.2 蒙特卡洛打靶精度分析

采用蒙特卡洛模擬打靶1 000次，保存每一次打靶得到的落點坐標與目標點之間的位置偏差(Δxi,Δzi)，通過數(shù)據(jù)處理得到射程和側偏的均方差σx、σz。現(xiàn)代武器系統(tǒng)精度評估的指標通常采用圓概率偏差(CEP)，其近似計算公式[10]為

其中Ex、Ez為中間誤差，計算公式為

Ez=0.674 5σz，Ex=0.674 5σx

假設控制系統(tǒng)理想工作，舵機進行一次彈道修正，啟控時刻為第35 s，修正時間為10 s，仿真得到蒙特卡洛打靶結果，計算得到的落點散布參數(shù)如表2所示，質點彈道仿真結果如圖5～圖6所示，俯仰和側偏方向修正加速度指令如圖7所示，落點散布如圖8～圖9所示。

表2 落點散布 m

從表2看出，無控彈的圓概率偏差為92.913 m，采用落點預測制導后二維彈道修正彈的圓概率偏差為14.613 m；圖5～圖6是在縱向平面內和水平面內的質點彈道仿真結果，可看出，經(jīng)過修正后的彈道逐漸向理想彈道靠近；圖7是俯仰方向和側偏方向的修正加速度指令，由于控制系統(tǒng)只執(zhí)行一次修正，因此修正加速度從35 s時刻開始出現(xiàn)，45 s時刻消失，其余時間指令為零；從圖8～圖9看出，經(jīng)過制導控制后，二維修正彈的落點散布明顯減小，說明落點預測制導律的可行性好。

4 結論

將拓展卡爾曼濾波與敏感矩陣法結合設計了一種落點預測導引律，針對敏感矩陣不易求解的問題，采用微小擾動得到了近似敏感矩陣并進行仿真驗證。仿真結果表明：拓展卡爾曼濾波器估計彈道參數(shù)算法的精度高、收斂速度快，可滿足彈載計算機的快速性和實時性的要求；基于敏感矩陣設計的制導律有效減小了圓概率偏差，顯著提高了命中精度，對于控制系統(tǒng)比較簡單的二維彈道修正彈來說，具有實際工程參考意義。

[1] 陳浩，劉秋生，楊洋.修正彈落點預測方法[J].火力與指揮控制，2015，40(12)：177-179.

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[5] LEONARD HAINZ III C，COSTELLO M.In Flight Projectile Impact Point Prediction[C]//AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit，2004.

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[7] WOOSUNG PARK，CHANG-KYUNG RYOO，BYOUNG SOO KIM，et al.A New Practical Guidance Law for a Guided Projectile[C]//AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference，2011.

[8] 徐明友.高等外彈道學[M].北京：高等教育出版社，2003.

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