基于加權馬爾可夫鏈的榆林地區年降水狀態預測研究

苗正偉 徐利崗

(1.河北水利電力學院，河北 滄州 061001； 2.寧夏水利科學研究院，寧夏 銀川 750021)

0 引言

降水的科學預測，不僅可為制定水資源開發利用策略提供依據，又可為防災、抗災、減災提供參考。由物理成因的定性分析及大量降水序列資料的統計分析得知，降水量可視為一列相依的隨機變量，其相依程度的強弱，可采用自相關系數作為其定量的測度[1]，基于此，可建立馬爾可夫鏈模型進行預測分析。但實際上，降水是一種非常復雜的自然現象，具有大量的不確定性因素，很難嚴格滿足“齊次性”[2]；同時，有研究表明：考慮隨機變量的中間過程狀態從而充分利用信息，可提高預測精度[3]，因此本文以降水量序列的規范化后的各階自相關系數為權，建立加權馬爾可夫模型進行預測。

1 加權馬爾可夫鏈模型

其原理參見文獻[4]，基本步驟如下：

1)建立年降水量的分級標準[5]，從而確定降水序列的狀態空間。可以樣本的均值—標準差為標準，將年降水序列劃分為五級，此時年降水序列的狀態空間E={1,2,3,4,5}。

2)按照上述分級標準確定資料序列中各年降水量的狀態，構成年降水狀態序列。

3)計算一步轉移概率：對于降水狀態這一隨機變量，很難確定其準確的轉移概率，但樣本序列足夠長時，可用轉移頻率近似代替轉移概率，其計算公式如下：

(1)

其中，m為樣本序列的狀態個數；fij為樣本序列中年降水量從狀態i一步轉移到j的頻次；pij為由樣本序列統計得出的狀態i到j的一步轉移概率(頻率)。

4)對樣本序列做馬氏性檢驗[6]：當樣本序列長度較大時，構造服從自由度為(m-1)2的χ2分布的統計量：

(2)

其中，p*j為邊際頻率，計算公式如下：

(3)

給定顯著性水平α，查表可得分位點χ2((m-1)2)的值，若χ2>χ2((m-1)2)，則認為樣本序列具有馬氏性，可作為馬爾可夫鏈來處理。

5)計算各階自相關系數：

(4)

6)對各階自相關系數規范化：

(5)

其中，ωk為步長為k的轉移概率的權重；b為按預測需要計算到的最大步長。

7)計算轉移矩陣：與式(4)同理，由樣本序列統計各狀態間各步長的轉移概率，各步長的轉移概率構成相應步長的轉移矩陣，它決定了降水狀態轉移的概率法則。

關于擴大灌溉面積。第一，還是要堅持外延與內涵相結合。內涵就是對老的配套不完善的這些灌區進行挖潛改造，特別是著力解決好“最后一公里”的問題，這樣可以使有效灌溉面積得到恢復和改善。第二，在水土資源條件組合比較好、有開發利用潛力的地方，結合千億斤糧食生產規劃，大力發展灌溉面積。第三，大力推行節水措施，包括北方地區的節水、東北四省區的節水、西北地區的節水。第四，充分地調動農民的積極性，調動社會的資金。比如像剛才郝益東同志提出，內蒙古搞的大型噴灌，基本上很多都是用社會資金來搞的。還有水權置換，工業企業要上新項目，但是沒有用水指標，那么就支持河套灌區的農業節水，通過節出來的水量發展工業項目。

9)將同一狀態的各預測概率加權后求和：

(6)

則，max{pi，i∈E}所對應的i即為該年年降水的預測狀態。若該年年降水狀態可確定，將其加入原序列，重復以上步驟進行下一年度的預測。

10)進一步對該馬爾可夫鏈的特征(非周期、遍歷性、平穩分布等)進行分析。

2 榆林地區年降水狀態預測

于“中國氣象數據網”下載了榆林地區1951年—2010年的逐月降水數據，并將之整理為年降水序列。首先以1951年—2008年的資料建立模型預測2009年的年降水狀態。

表1 榆林地區1951年—2008年降水量分級表

表2 榆林地區1951年—2008年降水量及其狀態

3)一步轉移概率及馬氏性檢驗。經統計計算：

由表1知榆林地區年降水序列的狀態數m=5，給定顯著性水平α=0.05，查χ2分布分位數表可得χ2((5-1)2)=χ2(16)=26.296。可見，χ2>χ2(16)，因此，該時間序列具有馬氏性，即榆林地區1951年—2008年年降水狀態序列可視為馬爾可夫鏈。

4)計算各階自相關系數和權重，結果如表3所示。

表3 各階自相關系數及權重

5)對降水狀態序列進行統計計算，得步長從1～5的轉移概率矩陣：

6)根據2004年—2008年的年降水狀態預測2009年的年降水狀態，結果見表4。

表4 2009年年降水狀態預測

由表4可知max{pi，i∈E}=0.449，對應的狀態為3，即榆林地區2009年年降水量狀態為3，平水年。榆林地區2009年的實際降水量為420.8 mm，由表1知，正屬于狀態3。預測結果與實際結果吻合。

7)以1951年—2009年的實測資料重復上述步驟預測2010年的降水狀態，結果見表5。

表5 2010年年降水狀態預測

由表5知，榆林地區2010年年降水量預測狀態為3，其實際降水量為363.9 mm，屬于平水年，預測與實際相吻合。

3 結論與展望

1)按照均值—標準差方法將榆林地區實測年降水序列劃分為豐水、偏豐、平水、偏枯、枯水年五種狀態，利用加權馬爾可夫鏈分別對2009年，2010年降水狀態進行預測，結果均與實測情況吻合，初步說明用加權馬爾可夫鏈預測榆林地區的年降水狀態是可行的。

2)狀態標準的劃分有一定的隨意性，對結果會產生一定影響，如何更科學的劃分降水狀態有待于進一步探討。

3)馬爾可夫鏈的預測結果是一個區間，如何結合其他理論或方法進一步預測出較為精確的具體數值，從而拓展預測結果的適用范圍，值得進一步研究。

4)用馬爾可夫鏈進行預測的基本假設是：年降水狀態序列是齊次馬爾可夫鏈，但實際上這很難嚴格滿足：齊次馬氏鏈的統計特性完全取決于初始分布和一步轉移概率，但對于年降水狀態序列卻很難獲得準確的轉移概率，只能用由足夠長的實際資料進行統計得出的轉移頻率代替轉移概率；齊次馬爾可夫鏈的n步轉移概率矩陣等于一步轉移概率矩陣的n次方，這對于由統計計算得出的各步轉移矩陣顯然是難以成立的。這些都會對預測精度產生影響，盡管引入了加權馬氏鏈，但這不能從根本上消弭不足。因此該方法對于水文時間序列預測的適用程度有待進一步檢驗。

參考文獻：

[1] 韓璞璞,張 生,李暢游,等.基于權馬爾可夫鏈模型的廬江縣降水量預測[J].水文,2012,32(3):38-42.

[2] 韓合忠,高淑會,國偉華.基于加權馬爾可夫模型的濟南市降水豐枯狀況預測研究[J].水文,2012,32(5):72-75.

[3] 王鑫東.加權馬爾科夫鏈模型在農業灌溉用水預測中的應用研究[J].中國農村水利水電,2016(5):58-64.

[4] 劉次華.隨機過程[M].第5版.武漢:華中科技大學出版社,2014.

[5] 王宇博,梁秀娟,喬 雨,等.基于疊加馬爾科夫鏈和BP神經網絡模型的降水量預測研究[J].中國農村水利水電,2014(9):80-86.

[6] 王 濤,錢 會,李培月.加權馬爾可夫鏈在銀川地區降雨量預測中的應用[J].南水北調與水利科技,2010,8(1):78-81.