不同邊界和初始條件下非飽和軟土路基一維固結

陰 可，姚舜禹，顧洋洋，姜道旭

(1. 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室(重慶大學), 重慶 400030； 2. 重慶大學 土木工程學院, 重慶 400045)

0 引 言

我國道路交通網絡遍布全國各地，現在以及將來也陸陸續續有很多道路工程在全國范圍內實施。近年來，軟土路基病害時有發生，引起眾多學者對軟土路基的關注。軟土路基一般由天然含水量高、擾動性大、透水性差、孔隙比大、壓縮性高、抗剪強度低的細粒土構成，通常在地表層附近的軟土路基多為非飽和土，目前對于非飽和土的研究相對較少。在實際工程中的軟土路基都采用飽和土沉降理論來預測路基的沉降和固結，比如Terzaghi有效應力原理，Biot固結理論[1]等。

非飽和土是固、液、氣三相介質，與飽和土之間相比物理力學性質更復雜。非飽和軟土這類問題最早開始引起關注是在20世紀60年代在倫敦舉辦的土力學相關的國際會議上。隨后A. W. BISHOP[2]根據Terzaghi的飽和土有效應力原理類比提出了一種以基質吸力為變量的非飽和土有效應力計算公式，這個公式理論上成立，但是很多地方不滿足非飽和土的性質，比如非飽和土的抗剪強度[3]，飽和度[1]和濕陷性等。1990年,E. E. ALONSO等[4]提出的非飽和土的BBM模型(Barcelona basic model)，能夠描述非飽和土的屈服應力、吸力和濕陷等之間關系，成為非飽和土的經典模型。1993年，D. G. FREDLUND等[5]發表《非飽和土力學》，在之前非飽和土理論上加入凈應力為變量推導出非飽和土一維、二維和三維固結理論，雙變量理論概念簡單易懂，也能反映非飽和軟土很多基本特性。隨后1995年第一屆國際非飽和土會議在巴黎召開，一直到2013年，多屆非飽和土力學相關會議在國內召開，推動了非飽和土的研究進程。近幾年非飽和軟土理論進一步發展，沈珠江[6]在假設孔隙氣排氣率為常量的基礎上推導出非飽和土的簡化固結理論，但是假設條件有待進一步探討；秦愛芳等[7]推導出了均布瞬時加載條件下的一維固結解析解；周萬歡等[8]采用差分法分析非飽和土固結初始和邊界條件對固結過程的影響；L. HO等[9]采用特征函數法和Laplace變換推導出簡化的非飽和土一維固結沉降公式，對于多種邊界和初始條件都適用；J. A. BLATZ等[10]通過在非飽和土三軸試驗中控制吸力，得到了一種非飽和土彈塑性本構模型。

由于非飽和土滲透性差，固結時間長，土的變形模量小，所以不能忽視在長期固結過程中的蠕變效應，筆者針對蠕變效應提出非飽和土的非線性黏彈性的本構模型，并由此本構模型推導出軟土路基長期沉降的理論公式。

1 軟土的非線性黏彈性蠕變模型

軟土路基在工后受到自身重力和上部車輛荷載的作用下，需要較長的時間才能完成固結，在這個過程中，固結會伴隨著蠕變的發生。為了考慮這一現象，將Kelvin蠕變模型與Duncan非線性彈性模型串聯構成一個非線性黏彈性模型，來模擬土骨架的本構關系[11]，模型的結構如圖1。

圖1 非線性黏彈性模型示意Fig. 1 Nonlinear and viscoelastic model

令土體有效應力與應變之間的彈塑性剛度矩陣[Dnew]=[Cnew]-1，該模型在平面應變條件下的應力應變關系方程[11]為

(1)

式中：[A]為系數矩陣；[Cnew]為彈性柔度矩陣；ηε=E1/η，η為黏滯系數；E1為黏彈性模量，其大小按式(2)確定：

(2)

(3)

(4)

式中：k1、ηt為該模型的參數；patm為大氣壓力；Et、vt為Duncan-Zhang模型中的非線性彈性參數，可通過軟土三軸排水試驗測得，也可以通過壓縮和剪切常規試驗參數求得近似值。

一維條件下，此本構模型可簡化為

ε=CDKσ′

(5)

2 固結-蠕變耦合方程推導

在方程推導過程中，為了使問題簡化，假設土體是均質的各向同性體，符合小變形假設，土顆粒和水是不可壓縮的。在計算時不考慮氣體在水中的溶解，即如果氣體在壓力的作用下溶解到水中，在壓力解除后氣體會逸出恢復原有狀態。水和氣體在壓力梯度下的運動分別符合Darcy定律和Fick定律。相對于路堤來說，路基的寬度無限大，在路堤范圍內作用均布荷載q。由于荷載和模型的對稱性，水平方向不存在變形，可簡化為一維固結問題來分析。

Bishop的非飽和土有效應力公式為

σ′=σ-[χuw+(1-χ)ua]

(6)

式中：σ′為非飽和土的有效應力；ua、uw分別為非飽和土孔隙內的空氣壓力和水壓力；χ為與飽和度有關的經驗參數。

當土顆粒不受外荷載作用時，可得土的總體平衡方程：

-σ′=χuw+(1-χ)ua

(7)

一維條件下土體變形的幾何方程為

(8)

式中：Xz為土體的豎向位移增量。

結合式(1)、式(4)和式(5)，可得

(9)

根據孔隙氣體和孔隙水的動量平衡方程和運動方程，可得非飽和土的孔隙水和孔隙氣體的控制方程[1]為

(10)

其中：

A1=Sr-α1n0;A2=β1n0；K1=Kf/γf;K2=Kg/γf；B=n0(1-Sr)/pg0+β1n0

式中：Sr為土層的飽和度；n0為土體的初始孔隙率；α1和β1為材料參數[1]，由試驗測定；γf為氣相真密度；Kf、Kg分別為滲水系數和滲氣系數。

非飽和土的飽和度是隨著時間變化的一個變量，但在每個單位時間的計算中可近似認為其為一個定值。式(9)與方程組式(10)組成了非飽和土蠕變-固結的封閉方程組，可以求出Xz、ua、uw3個未知數。

假設非飽和土土層厚度為H，任意豎向位置為z。路堤在修筑的過程中一般采用分層填筑的方法逐步完成加載。將路堤的自重等效為均布荷載q(t)，作用在路基的上表面。為了考慮施工過程，假設路基的上表面作用的荷載是隨時間變化的：

q(t)=q0[1-exp(-b·t)]

(11)

式中：q0為修筑完成后路堤的自重；b為調整完成時間的荷載參數。

將式(9)加入荷載邊界條件：

(12)

式(12)對時間t求導后代入式(10)，可得到關于uw(z,t)和ua(z,t)的二階偏微分方程組：

(13)

式中：

借助數值計算軟件由方程(13)可解得ua和uw在不同時刻和不同深度處的數值解，再將數值解代入方程(12)解出路基沉降Xz的數值解。

3 工程實例驗證

為了驗證理論的適用性，筆者選擇武英高速公路第06合同段K59+710斷面[12]作為工程算例，并與Plaxis數值計算結果和實際觀測結果進行對比。其中數值模擬計算模型如圖2，為了更好地模擬軟土層的固結過程，在路堤填土下方的軟土層中添加間距為2 m的排水線。理論計算中設置荷載參數q0=125 kN/m,b=-0.02。根據該試驗的觀測資料可以獲得各土層的物理、力學性質指標[13]，再根據詹美禮等[14]、陳正漢等[15]的相關試驗文獻可以得到相應的土層蠕變計算參數和固結計算參數，見表1。

圖2 軟土路基示意Fig. 2 Simplified calculation of subgrade

參數亞黏土1淤泥質黏土亞黏土2e0.9030.7620.863a/MPa-10.5450.4960.370K500100450n0.6500.4000.650Rf0.8500.8000.850c/kPa-112225φ/(°)27.023.131.0ηe/d-11.291.101.28χ0.880.910.77α11.4041.4241.229β1/kPa-14.85×10-33.18×10-31.49×10-3K1/(cm2·s-1·kPa-1)1.85×10-42.50×10-41.85×10-4K2/(cm2·s-1·kPa-1)4.47×10-35.28×10-34.47×10-3

計算時將時間間隔Δt設置為10 d，最終計算到t=600d時的沉降量。理論方法得到的不同深度處的沉降結果和3種方法得到的沉降值對比如圖3。

圖3 路基中心各層荷載-沉降-時間曲線Fig. 3 Relation between settlement load and time in center of subgrade

從圖3可以看出，當荷載保持不變時，路基仍然產生了一定的沉降變形，這是軟土的蠕變現象。理論計算結果所得的最終沉降值與數值模擬結果、觀測數據基本一致，由此可以證明理論方法的正確性?？傮w來說，此方法能夠將傳統的非飽和土固結沉降計算方法進行改進，考慮到土體的固結-蠕變耦合作用，特別是針對非飽和軟土路基具有很好的適用性。

4 邊界條件與初始條件對非飽和土固結的影響

4.1 邊界條件對非飽和土固結的影響

在求解非飽和軟土路基固結沉降時，需要給出偏微分方程組的邊界條件。邊界條件可以根據工程的具體情況而變化，但一般情況下，軟土路基的上表面與空氣接觸，為可以自由排水的邊界，此時空隙水壓力和孔隙氣壓力為0，如果非飽和土相鄰土層為滲透性良好的砂土地基，則邊界孔隙水壓力和孔隙氣壓力也為0。將此邊界條件用數學式表示如下：

(14)

上邊界為排水條件、下邊界不排水時，邊界條件的數學表達式為

(15)

兩種邊界條件的計算結果如圖4、圖5。由圖4、圖5可見，在水和氣體的滲透系數相同的條件下，孔隙氣壓力的消散速度遠大于孔隙水壓力。固結邊界條件對其孔隙壓力在土層中的分布和消散速度都有明顯的影響。雙排水條件下孔隙壓力消散的速度明顯大于單排水條件下的。軟土邊界的排水條件越好、滲流通道越短，孔隙壓力消散所用的時間越短，越有利于軟土盡快完成固結沉降。

圖4 雙排水和單排水條件下孔隙壓力等時線Fig. 4 Isochrones of pore pressure under double and single drainage conditions

圖5 雙排水和單排水條件下不同深度處的孔隙壓力-時間曲線Fig. 5 Pore pressure-time curve at different deepness under double and single drainage conditions

4.2 初始孔隙水壓力分布對固結的影響

在實際工程中，孔隙水壓力在土層中的分布會受到各種因素的影響，其大小沿深度方向并不是一個定值。為了進一步分析初始孔隙水壓力的分布對固結沉降的影響，筆者引入式(16)來討論孔隙水壓力為非線性分布時對固結沉降的影響：

(16)

式中：參數b可以控制孔隙水壓力分布的范圍；參數R控制孔隙水壓力的最大值。

圖6 孔隙水壓力分布(b=2、6、12)Fig. 6 Pore water distribution(b=2、6、12)

由圖6可見，隨著時間的發展，3種情況下孔隙水壓力在土層中都出現了負值，且負值的范圍不斷擴大，當最小負孔隙水壓力出現后，孔隙水壓力又逐漸增大變為正值，最終趨近于0。在非飽和土體中當孔隙氣壓力消散過程中造成土體中氣壓與大氣壓失去平衡時，氣壓差形成了負孔隙水壓力。負孔隙水壓力對土粒產生吸附作用，從而增加了非飽和土的有效應力和抗剪強度，當氣壓達到平衡時，負孔隙水壓力消散。由此可見，不論是邊界條件還是初始條件，對于非飽和軟土路基固結的固結速度、孔隙壓力消散速度和土體工程性質都有明顯的影響，這對軟土路基在實際工程的設計提供一定的依據。

5 結 語

筆者使用非線性黏彈性蠕變模型作為軟土的本構模型，并將本構方程與非飽和土有效應力理論以及孔隙水壓力和孔隙氣體壓力控制方程結合，推導出了一維條件下非飽和軟土的固結-蠕變耦合方程，可求解非飽和軟土路基豎向的沉降值和孔隙壓力。通過理論計算結果與數值計算結果和工程觀測數據進行比對，驗證了該固結-蠕變理論的正確性，為路基長期固結沉降的研究提供了新的思路。利用所推導的固結-蠕變耦合方程，筆者討論了邊界排水條件和初始孔隙水壓力分布對于非飽和土孔隙壓力消散的影響，發現軟土邊界排水條件越好，孔隙壓力消散所需時間越短。而且非飽和軟土在固結過程中的孔隙壓力不一定是單調遞減的，有可能出現孔隙壓力重分布的現象，固結過程中孔隙水壓力可能出現負值，這對于實際工程有一定的借鑒意義。由于筆者的理論推導是在一維的條件下進行的，對實際情況作出了大量的簡化，在后續的研究中，需要進行二維、三維條件下的擴展。

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