簡單易學的開源動態數學軟件

楊林 劉梅

幾何畫板是很多數學教師常用的軟件，它可以將圖形運動過程很直觀地呈現在學生面前，從而讓他們能更好地理解和掌握有關圖形的一些知識。但幾何畫板也存在一些弊端，如在解決圓錐曲線切線的問題上很不方便，而且圖形的變化不能顯示數值的變化。隨著科技和信息化的發展，有關學科類的制作軟件也越來越多，其功能性也比原有軟件提高了不少。這里筆者要為大家介紹一款在幾何畫板繪圖功能的基礎上增加了處理變數等能力的簡單易學的開源動態數學軟件——GeoGebra。

GeoGebra的簡要介紹

GeoGebra是一款免費、開源、性能可靠的數學教育軟件，它是由美國佛羅里達州亞特蘭大大學的數學教授Markus Hohenwarter設計的，軟件架構思路非常清晰，GeoGebra一詞由幾何（Geometry）與代數（Algebra）兩個詞構成，簡單點說就是數形結合。GeoGebra不只局限于代數與幾何，還增加了統計、微積分、邏輯運算等功能，數學操作方面的功能可謂強大，軟件設計定位于數學教育，非常重視界面的簡潔、操作方便和數學課堂教學的演示，學習起來簡單容易，具有強大的運算和測量功能，跨平臺且開源。此外，它還支持LaTex語法，可在畫面上顯示根號、次方及分數以及其他數學標號，這些都是幾何畫板無法做到的。

GeoGebra的使用方法

大家可以去官網（https：//www.geogebra.org/）下載GeoGebra的最新版本，安裝后打開。軟件默認打開為圖形計算器界面（如圖1）。圖形計算器界面分為代數區（方程、函數）和幾何區（畫圖、描點、函數圖像），可根據需要在兩個區域間來回切換。當選擇代數區域時，點擊軟件左下角的小鍵盤，就會彈出GeoGebra的計算器按鍵，點擊“計算器”按鍵擴展按鈕，就可以彈出功能強大的數學函數區域，如向量與矩陣、圓錐曲線指令等（如上頁圖2）。當選擇幾何區域時，會彈出常用的幾何作圖工具，如角、直線、多邊形等。最新版本的GeoGebra軟件對計算和幾何作圖區域做了區分。因此，筆者推薦使用GeoGebra的經典視圖模式，該模式可以兼顧圖形計算功能和幾何作圖功能。大家可以在最新版本中依次點擊左側的“菜單—應用—Geogebra經典”切換到GeoGebra經典界面（如圖3）。當切換到經典界面后就可以看到功能強大的GeoGebra菜單欄，如點、線、向量、圓、多邊形、角等菜單，可根據需要隨意點擊選擇。在GeoGebra經典界面中還可點擊右側擴展菜單欄，可設置網格線、3D繪圖區、表格區、概率統計以及顯示繪圖過程（如圖4）。

1.利用GeoGebra繪制平面函數圖像與數據動態結合

GeoGebra輸入區域具有函數自動聯想功能，在輸入區域手動輸入函數或者在計算器鍵盤擴展按鍵中選擇某一數學函數（如圖5），直角坐標系中就可以立即顯示函數圖像。例如，選中數學函數的正弦函數表達式Sin（x），直角坐標系中就可以立即得到正弦函數的圖像。當需要查看正弦函數Sin（x）上的特殊點時，可點擊特殊點選項，正弦函數圖像上的特殊點及其坐標會立即顯示（如圖6）。當想要查看正弦函數上某點的運動軌跡時，可以點擊菜單欄的“描點”按鍵，在函數圖像上選擇一點A，也可直接輸入A點坐標（如圖7）。點擊坐標旁邊的“播放”按鍵，就可以自動播放A點在該函數上的運動軌跡，還可以控制A點的移動速度。例如，某題想要求得該正弦函數上兩點與坐標軸間圍成的面積時，可以點擊菜單中的函數檢視，然后點擊該正弦函數圖像，函數圖像上就會直觀地出現兩點所圍成的面積（如圖8），兩個點可以在函數圖像上隨意拖動，也可以輸入在函數圖像上的坐標值，這兩個點在改變的同時，它們圍成的圖形的屬性和數值也會在函數檢視中同步變化，如面積、極值等數值。此外，教師還可點擊擴展菜單3D繪圖區，直接把平面函數圖像轉化成3D視圖（如圖9），讓學生直觀地看到一個函數從一維平面空間到三維立體空間的轉化過程。

2.利用GeoGebra繪制立體函數圖像與數據動態結合

點擊“3D視圖區”，就可以進入立體幾何圖形編輯界面。操作菜單也切換成了點與線、點與面、棱錐、棱柱、球體等常用的立體幾何菜單（如圖10）。例如，某題目要求一個圓柱體和一個平面相切所得的截面積。已知圓柱體兩個底面圓心A、B的坐標，以及底面半徑為2cm，平面是圓柱體側面的三個點C、D、E所組成的平面，并已知三個點的坐標。對于這道題，利用GeoGebra就可以輕松得到答案。首先，創建一個圓柱體，點擊立方體菜單，選擇圓柱，按照題目給定的兩底面圓心A、B的坐標，在三維直角坐標系上設置兩點A和B。然后，輸入兩底面圓的半徑2cm（如圖11），即可得到一個圓柱體（如圖12）。要求得到該圓柱體與某平面相切的截面，先選擇平面菜單，在圓柱體上選取題目給定的三個點C、D、E，GeoGebra就自動形成這三個點組成的平面，與圓柱體相切，即可得到截面（如圖13）。隨后，可利用數學函數公式求截面面積。在視圖菜單中，教師可以讓它切換到旋轉、平移等不同視覺特效，方便學生從不同角度觀察截面。

3.GeoGebra的平面空間、立體空間與數據動態結合

既然GeoGebra提供了繪制平面區域，也提供了繪制立體幾何區域，當然也支持平面與立體空間同步繪制。在三維直角坐標系中繪制的圖像同樣也可以借助三視圖的形式在平面直角坐標系中同步顯示。具體操作步驟是直接在平面繪圖區擴展菜單中添加立體繪圖區，這時GeoGebra中就同時出現平面直角坐標系與三維直角坐標系，在三維直角坐標系上做操作，平面直角坐標系就會按照X、Y、Z軸的設定同步操作。例如，已知四棱錐的頂點A，底面四個點B、C、D、E的坐標，畫出對應的三視圖。這道題只需要利用GeoGebra的平面與立體空間同步功能即可畫出圖形，完成解題。在三維直角坐標系中按照給定的頂點以及底面的四個點繪制出四棱錐的立體圖形，當立體圖形繪制完成后在左側的平面直角坐標系界面就可以看到在X軸和Y軸所呈現的俯視圖圖形（如圖14）。不斷切換平面直角坐標系顯示的坐標，如顯示X軸、Z軸，就可以看到它的側視圖。同理，可查看其正視圖，至此這個題目就求解完成。此外，我們還可以點擊視圖菜單，將四棱錐隨意轉換角度方便學生觀察，還可以在選擇面菜單將四棱錐按照某一平面展開，查看該立方體的展開圖，求體積等。

4.GeoGebra的其他功能

（1）顯示操作步驟

當我們輸入函數或者繪制幾何圖形時，系統會自動記錄操作步驟，并顯示出來。例如，某題目要求繪制向量U和向量V，并求出兩向量夾角的角平分線表達式。使用GeoGebra計算這道題非常容易，只要點擊向量菜單，分別設置向量U、向量V，之后選擇角度菜單中的角平分線，選中向量U、V后，即可出現兩向量的角平分線。GeoGebra就會自動計算出向量夾角以及角平分線的表達式，點擊顯示操作步驟，所有的操作步驟都可以顯示出來（如圖15）。

（2）表格及概率統計

GeoGebra還具有Excel的基本功能，可以在表格中輸入數值，顯示柱狀圖、餅圖等模型，還可以進行概率統計，以及顯示正態分布圖（如圖16）。

（3）動態的變換功能

在數學上，經常會碰到研究函數參數變化時對圖像的影響這類題目，很多學生初學冪函數時很難弄清楚它的圖像是如何變換的，對此，教師可以利用GeoGebra做出冪函數圖像，讓α的數值不斷動態變化，從而觀察冪函數圖像。例如，y=xα，可以先在輸入框中輸入y=xα，點擊創建滑動條，這樣，就可以創建該冪函數的圖像，通過控制α數值的動態變化，就可以直觀地看到該冪函數圖像和性質的變化（如圖17）。

總的來說，開源的GeoGebra給數學教師提供了一個簡單易學的動態數學教學工具。利用如此強大、優秀的動態數學軟件服務于數學教學，無疑會對學生的數學學習產生深遠的影響。未來的社會是一個學習型的社會，因此教師需要不斷接受新知識、新技術，優化自己的教學環節，借助多重科技手段服務教學。