一道習(xí)題引發(fā)的“洪荒之力”

唐明

[摘 要]學(xué)生受生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維水平的影響，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，從而影響了解決問(wèn)題的效率。在實(shí)際教學(xué)中，畫(huà)圖策略不但是教師分析問(wèn)題的工具，更是學(xué)生解決問(wèn)題的法寶。從一道習(xí)題入手，滲透畫(huà)圖策略，幫助學(xué)生厘清思路、展示思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

[關(guān)鍵詞]畫(huà)圖策略；數(shù)形結(jié)合；思想；能力

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）14-0022-03

隨著里約奧運(yùn)會(huì)上游泳運(yùn)動(dòng)員傅園慧的一次采訪，“洪荒之力”迅速成為網(wǎng)絡(luò)熱詞。在我的數(shù)學(xué)課堂上，因?yàn)橐坏懒?xí)題引發(fā)的討論、思考和啟示，也讓學(xué)生腦洞大開(kāi)，使出了“洪荒之力”。

習(xí)題：

【題意簡(jiǎn)析】在日常生活中平均分物體，結(jié)果無(wú)非是兩種情況：一種是恰好分完，沒(méi)有剩余；另一種是平均分后還有剩余。新人教版教材二年級(jí)下冊(cè)第六單元“有余數(shù)的除法”要解決的問(wèn)題大多是對(duì)單一物體的平均分，而課本70頁(yè)的第8題是一道綜合題，需要學(xué)生綜合考慮3種花的情況，這對(duì)二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度：要以3種花中要求的枝數(shù)所能扎的束數(shù)最少的那種花為標(biāo)準(zhǔn)才能確定答案。此題有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性與靈活性，使學(xué)生能辯證地思考問(wèn)題。

【鏡頭回放】教學(xué)時(shí)，我預(yù)設(shè)到這道題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)很難理解，于是讓學(xué)生在審題后交流思路。生1第一個(gè)舉手：“我打算先把這些花的總數(shù)算出來(lái)，再把每束花的枝數(shù)算出來(lái)，然后用總數(shù)除以枝數(shù)。”其他學(xué)生有的點(diǎn)頭表示同意，有的保持觀望。生2小聲地嘀咕：“7+3+2=12（枝），除數(shù)是12，我們沒(méi)學(xué)過(guò)啊？”生3表示反對(duì)：“我覺(jué)得應(yīng)該分開(kāi)算，把玫瑰、百合、郁金香分別能扎成幾束先算出來(lái)再比較。”兩種方法都有支持者，但誰(shuí)也沒(méi)有足夠的理由說(shuō)服對(duì)方。于是我讓學(xué)生先自己試試看。在巡視的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生選擇了生3的算法，小部分學(xué)生仍在糾結(jié)。生1很快就算出了答案：22+16+10=48（枝），7+3+2=12（枝），48÷12=4（束）。他的答案剛好給生2的想法一個(gè)“回?fù)簟保骸澳悴皇钦f(shuō)除數(shù)是12，沒(méi)學(xué)過(guò)就不能算嗎？我能計(jì)算是不是就對(duì)呢？”我把生1的解題過(guò)程進(jìn)行展示，并提問(wèn)：“最多能扎成4束，這樣做行嗎？怎么驗(yàn)證？”“畫(huà)圖！”有幾個(gè)學(xué)生不約而同地說(shuō)。學(xué)生用圖形表示各種花，然后按照要求圈出相應(yīng)的枝數(shù)后，發(fā)現(xiàn)最多只能扎3束。（如圖2）

“為什么算出來(lái)的是4束，圈出來(lái)的是3束呢？”我把問(wèn)題拋給學(xué)生，并引導(dǎo)他們觀察每種花剩下的枝數(shù)“1+7+4=12（枝）”，而每束花需要的枝數(shù)恰恰也是7+3+2=12（枝）。終于真相大白了，“玫瑰只剩下1枝，根本不夠扎一束。”“雖然多扎了一束，但不符合要求。”學(xué)生七嘴八舌地議論開(kāi)來(lái)。“你們覺(jué)得利用畫(huà)圖來(lái)分析這道題是不是更清楚？”學(xué)生紛紛點(diǎn)頭。“我有不同的想法。”生4從不人云亦云，“雖然畫(huà)圖很清楚，但我們畫(huà)了幾十個(gè)圖形，太麻煩了。如果花的枝數(shù)更多，那怎么畫(huà)？老師不是說(shuō)數(shù)學(xué)語(yǔ)言要簡(jiǎn)潔嗎？”我緊接著說(shuō)：“你們有沒(méi)有辦法讓畫(huà)圖變得更簡(jiǎn)單呢？”大家都沉默了，生5突然眼前一亮，脫口而出：“線(xiàn)段圖！”學(xué)生在二年級(jí)上冊(cè)就接觸過(guò)線(xiàn)段圖，所以當(dāng)聽(tīng)到生5的想法后，也有不少學(xué)生能根據(jù)題意畫(huà)出線(xiàn)段圖。（如圖3）

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)是不能省略的。學(xué)生以結(jié)果作為已知條件，驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)：按照要求只能扎成3束花，雖然每種花都有剩余，一共剩余12枝，每個(gè)花束也需要12枝，但只是數(shù)量上相等，花的品種卻不符合要求。（如圖4）

【精彩繼續(xù)】課堂練習(xí)中有一道類(lèi)似的題目（如圖5），我要求學(xué)生在隨堂本上完成，這樣會(huì)有足夠的空間讓他們展示個(gè)性化的思考過(guò)程。

很快，學(xué)生就想到了將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與形象的圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。（如圖6-1、6-2）

雖然只是圍繞這一道習(xí)題做文章，我卻覺(jué)得時(shí)間“浪費(fèi)”在這很值得。我們往往認(rèn)為教師的講授能節(jié)省教學(xué)時(shí)間，但學(xué)生自己習(xí)得知識(shí)的過(guò)程卻更加寶貴。在結(jié)束學(xué)習(xí)后，學(xué)生分享了許多經(jīng)驗(yàn)：這類(lèi)題目可以命名為“混合包裝”，首先要看清關(guān)于包裝的要求，可以通過(guò)擺出實(shí)物圖、畫(huà)出線(xiàn)段圖等來(lái)理解題意，列式時(shí)要分類(lèi)計(jì)算，確定答案時(shí)以商的最小值作為標(biāo)準(zhǔn)，最后還要將結(jié)果作為條件進(jìn)行驗(yàn)證。更有學(xué)生總結(jié)出了解題四部曲“理解要求、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)計(jì)算、確定答案”，真正學(xué)習(xí)并體會(huì)到要解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題所要經(jīng)歷的步驟。

當(dāng)天我安排了兩道數(shù)學(xué)作業(yè)題：

1.用2個(gè)雞蛋和3片吐司就可以做出一份三明治，現(xiàn)在有10個(gè)雞蛋、10片吐司，能做出幾份三明治？

學(xué)生在解決“做出幾份三明治”這一問(wèn)題時(shí)還發(fā)現(xiàn)：在雞蛋和吐司總數(shù)相同的情況下，只要算10÷3就能確定答案。因?yàn)?>2，被除數(shù)相同，除數(shù)越大商就越小，只需要將商的最小值作為標(biāo)準(zhǔn)就能得到答案。

2.自編一道有關(guān)混合包裝的題目。

在自由編題的過(guò)程中，學(xué)生的想法更加鮮活。在他們的眼里，包裝的對(duì)象十分寬泛：

新教材從一年級(jí)開(kāi)始就出現(xiàn)了大量的情境圖，二年級(jí)則通過(guò)條形圖呈現(xiàn)信息，三年級(jí)正式引入線(xiàn)段圖……這樣的編排符合學(xué)生對(duì)畫(huà)圖策略的認(rèn)識(shí)、理解和運(yùn)用的過(guò)程。然而在實(shí)際教學(xué)中，我們常常只把畫(huà)圖策略看作教師分析問(wèn)題的工具，忽略了它也是學(xué)生解決問(wèn)題的法寶。

數(shù)形結(jié)合，是一種數(shù)學(xué)思想方法，也是方法上的思想。雖然劉加霞在《數(shù)形結(jié)合思想及其在教學(xué)中的滲透》一文中提出“借助直觀模型理解抽象的數(shù)量關(guān)系并不算是嚴(yán)格意義上的數(shù)形結(jié)合”，但她也認(rèn)可這是數(shù)形結(jié)合的雛形。“有余數(shù)的除法”重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)注意借助直觀幫助理解題意、分析數(shù)量關(guān)系。但在實(shí)際學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)往往忽視對(duì)題意的理解，雖然能做對(duì)題，但不見(jiàn)得真正懂了，有時(shí)題目稍加變化，就無(wú)法應(yīng)對(duì)。對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解題意的過(guò)程，往往需要借助直觀。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)充分借助直觀，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用圖形來(lái)描述和分析問(wèn)題，從而清晰地“看到”數(shù)量關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路，并最終得到解決問(wèn)題的方案。

考慮到學(xué)生不同的認(rèn)知水平，教師可以先從實(shí)物圖開(kāi)始，再過(guò)渡到幾何符號(hào)表示的圖，最后抽象成線(xiàn)段圖。這樣就是將多種表征結(jié)合起來(lái)，借圖促思，據(jù)圖說(shuō)理，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明和形象。畫(huà)圖策略的滲透不能停留在“教師畫(huà)，學(xué)生看”的狀態(tài)，而是要提升到“學(xué)生畫(huà)，學(xué)生用”的水平。這實(shí)際上是一個(gè)“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形或圖像結(jié)合起來(lái)思考，使“數(shù)”與“形”優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、相輔相成，就能使學(xué)生的邏輯思維和形象思維完美地統(tǒng)一起來(lái)。

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，畫(huà)圖不是最終目的，學(xué)生把文字轉(zhuǎn)化成圖畫(huà)，再把圖畫(huà)轉(zhuǎn)化成思維，由數(shù)思形、見(jiàn)形想數(shù)，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。只要學(xué)生能不斷地運(yùn)用畫(huà)圖策略，就能提高自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和解決問(wèn)題的能力。

（責(zé)編 金 鈴）