雙曲線解題十二招式理論與實踐

摘 要：筆者結合教學經驗，總結了雙曲線解題十二招式，指導學生在解題時應用所學招式破解雙曲線常見題型，提高學習趣味性，增強學習針對性，提高學生學習成績。

關鍵詞：雙曲線解題招式；破解雙曲線問題；增強學習針對性

作者簡介：薛超群，福建省寧德市高級中學校長、黨總支書記，中學高級教師。（福建 寧德 352101）

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）07-0083-02

《普通高中數學課程標準》的具體目標提出：“提高數學地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力，數學表達和交流的能力，發展獨立獲取數學知識的能力。”教學是一種創造性活動，要求教師不能墨守成規，要勇于創新、積累、總結、提高。數學解題招式理論，即對特定的數學問題形成特定的解題模式；解題招式實踐，即應用解題招式理論解決實際問題。在雙曲線教學中，筆者在實踐中總結出了雙曲線解題十二招式，現簡介如下：

招式一：“建設現代化”。求軌跡方程步驟：建——建立直角坐標系；設——設點坐標；現（限）——限制條件；代——代入計算；化——化簡。

招式二：“雙曲線c最大”。c是a、b、c中最大的，c2=a2+b2，字母c形狀如雙曲線右支。

招式三：“誰正聽誰的”。給定雙曲線標準方程，判斷是x型還是y型，看系數正的，再看分子是x還是y。

招式四：“實軸你真實啊”。雙曲線中，不論是x型還是y型，雙曲線圖像和實軸相交。

招式五：“通徑：上下通氣不咳嗽”。通徑音似通氣，電影《紅高粱》主題歌歌詞“上下通氣不咳嗽”，即x型雙曲線通徑垂直于x軸。

招式六：“a、b、c總動員”。飛機也來了：“a、b、c總動員”，類同“玩具總動員”，數字2形狀似同飛機，即x型雙曲線通徑上端點P坐標（c， ）。

招式七：“點P在雙曲線上，滿足定義”。點P在雙曲線上，滿足定義|PF1|-|PF2|=2a.

招式八：“點P在雙曲線上，坐標滿足方程”。點P（x0，y0）在雙曲線上，滿足方程 - =1.

招式九：“點P在雙曲線上，地毯式轟炸”。焦點三角形面積公式S=b2·cot ，其中字母b為炸彈英文首字母，數字2形狀似同飛機。

招式十：“點P在雙曲線上，直角坐標轉化為參數式”。即x0= ，y0=b·tan？茲.

招式十一：“商標d=b”。在雙曲線中，焦點到漸近線的距離等于半虛軸的長，即d=b，如同商標圖案。

招式十二：“鳥兒問答”。與已知雙曲線 - =1有公共漸近線的雙曲線方程為 - =？姿，（其中？姿≠0），字母？姿形如鳥兒。

應用以上雙曲線解題十二個招式，可以破解雙曲線常見題型，提高學生分析和解決數學問題的能力。

例1. 推導雙曲線標準方程。

分析：要求雙曲線標準方程，用招式一“建設現代化”。建——建立直角坐標系；設——設點P（x，y）；現（限）——限制條件c>a；代——代入 - = ±2a；化——化簡，得 - =1（a>0、b>0）.

例2. 雙曲線方程：- + =1，判斷是x型還是y型。

分析：要判斷是x型還是y型，用招式三“誰正聽誰的”即得，一看系數正的，是4，二看分子是y，得知是y型。

例3. F1、F2為雙曲線 - =1左、右焦點，點P在雙曲線上，∠F1PF2 =90°，求焦點三角形△PF1F2面積S.

分析：F1、F2為雙曲線 - =1左右焦點，點P在雙曲線上∠F1PF2 =90°，要求焦點三角形△PF1F2面積S，用招式九“點在雙曲線上，地毯式轟炸”，代入焦點三角形面積公式，即得S=b2·cot =5·cot45°=5.

例4. 已知科考隊員在相距6百米的海面上觀測某種海魚活動軌跡，隊員甲比隊員乙遲4秒接收到海魚發出的聲音，假設海魚聲音在海平面傳播速度為每秒1百米，求海魚活動軌跡方程。

分析：要求海魚活動軌跡方程，用招式一“建設現（限）代化”，以甲乙隊員所在直線為x軸，甲乙連線的中垂線為y軸建立直角坐標系，設海魚為點P，依題意點P的軌跡為雙曲線的右支，2a=4，得a=2，而c=3，用招式二“雙曲線c最大”，c2=a2+b2，得b2=5，所求軌跡方程為 - =1（x>0）.

例5. 已知雙曲線方程為 -y2=1，求焦點到漸近線的距離。

分析：要求焦點到漸近線的距離，用招式十一“商標”，在雙曲線中，焦點到漸近線的距離等于半虛軸的長，即d=b=1。

例6. 已知雙曲線 -y2=1，求與已知雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程：（1）過點（3，1）；（2）焦距為10.

分析：已知雙曲線 -y2=1，要求與已知雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程，用招式招式十二“鳥兒問答”，即可設所求方程為 -y2=？姿.（其中？姿≠0）

（1）因為所求雙曲線過點（3，1），用招式七“點在雙曲線上，滿足定義”，得？姿=2，所以，即得 -y2=2，即得 - =1.

（2）因為所求雙曲線焦距為10，得c=5。當？姿>0時，雙曲線為x型， - =1，a2=3？姿、b2=？姿、c2=a2+b2=4？姿=25，得？姿= ，所求雙曲線方程為 - =1；

當？姿<0時，雙曲線為y型，- + =1，a2=-？姿，b2=-3？姿，c2=a2+b2=-4？姿=25，得？姿=- ，所求雙曲線方程為- + =1.

總之，在雙曲線解題教學中，教師指導學生巧用所學招式、開展解題訓練，能有效破解雙曲線常見題型，增強訓練學習的針對性，在靈活形象的招式變化練習中逐步提高學生的數學解題能力，增添雙曲線課堂教學的趣味性，促進數學學習能力和素質的發展。

參考文獻：

[1] 教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2003：1.

[2] 莊榮婉.中學課程改革巡禮[M].福州：福建教育出版社，2004：79-80.

[3] 薛超群.高中立體幾何二十四招式理論與實踐（上）[J].考試周刊，2015，（59）：52.

[4] 嵇廣陽.雙曲線重要考點分析及解題策略[J].中學數學，2012，（8）.

[5] 向清耀、張世林.剖析直線與雙曲線位置關系的解題誤區[J].數學通訊，2010，（3）.

責任編輯 黃 晶